¿QUÉ ES LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS?

• Es la parte de las Matemáticas que estudia Es la parte de las Matemáticas que estudia los números enteros y sus propiedades

los números enteros y sus propiedades

¿QUÉ ES LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS?

¿QUÉ ES LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS?

Matemática

Antigua Matemática

Actual

Figuras Números

Geometría Teoría de los

Números

“La Matemática es la reina de las ciencias y la Teoría de los Números es la reina de las Matemáticas”

Gauss, 1801 Gauss, 1801

2004 2004

Biólogos

Biólogos QuímicosQuímicos FísicosFísicos MatemáticosMatemáticos

¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ^{¡No! ¡No!}

NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN

Aquél divisible sólo por él mismo y por 1 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...

? ? ¿Qué es un número primo? ¿Qué es un número primo?

EUCLIDES (c.300 a.d.C.): Infinitos

“Más que cualquier cantidad de primos dada”.

? ? ¿Cuántos números primos hay? ¿Cuántos números primos hay?

NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN

? ? ¿Cuántos números primos hay? ¿Cuántos números primos hay?

? ? ¿En qué proporción? ¿En qué proporción?

CHEBYSHEV (1848): A la larga, la proporción se hace tan pequeña como se quiera pero decrece menos rápidamente que K/log x .

EULER (1737): La infinitud se

puede demostrar utilizando series infinitas. Hay más primos que

cuadrados.

NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN

? ? ¿Se puede aproximar bien la ¿Se puede aproximar bien la

proporción con funciones “normales”?

proporción con funciones “normales”?

10 cifras 40 cifras 70 cifras 100 cifras

< uno de cada 20

< uno de cada 90

< uno de cada 160

< uno de cada 230 Hadamard, de la Vallée-Poussin (Riemann):

Proporción de primos menores que

N ~

cifras de

nº 302

' 2

~ 1 log

~ 1 log

1

2

t N 

dt N

N



(s)= producto sobre sus ceros (nº complejos) Función con primos = fórmula complicada con 



c=Re(cero más a la derecha)

0 1/2 c 1

Prueba “buena”

Prueba “buena”

 

Función rara= fórmula complicada con primos

) log

log ( )

(

2

N N

x O

N dx

N



 



1 1

) 1

( )

(







 ^{ }



p

s n

s

p

n

 s

Riemann

} primos

{

# )

( N   N



x C x

x    





 ( ) 



 ^{    }



dx

x x

x x

x x x

x N dx

2

2 2

log ...

) ( log

) ( ) log

(  



-2 -4

MINI GUÍA DE LA FUNCIÓN



1

Ceros en cautividad (no son peligrosos)

!

Carril exclusivo para los próximos 10⁹ ceros (RIEMANN)

Al infinito No se admiten

ceros



1/2

) log

( )

log log (

) (

2

N N

O N

N x O

N dx

N





 



Hipótesis de Riemann (1859):

Hipótesis de Riemann (1859): Todos los ceros Todos los ceros no triviales de la función

no triviales de la función  están en “fila india”. están en “fila india”.



x N dx

2

log

~ )

 (

Teorema de los números primos Teorema de los números primos

El error en el teorema de los números El error en el teorema de los números primos es lo menor posible (algo más primos es lo menor posible (algo más

que la raíz cuadrada de N).

que la raíz cuadrada de N).

HR HR

“A los matemáticos les es habitual pretender que las ideas de que se ocupan son de naturaleza tan refinada y espiritual que no son dominio de la fantasía, sino que deben ser comprendidas por una visión pura e intelectual de la que sólo las facultades del alma son capaces.”

Hume, 1736 Hume, 1736

EMPIRISMO: FILOSOFÍA “OFICIAL” DE LA CIENCIA Hume: Las ideas son impresiones

debilitadas Abstracción,

Matemáticas Realidad

Gracias a los números primos y sus propiedades se pueden hacer conexiones seguras por canales inseguros, acreditar identidades , etc.

No

hoy

cotidiana

La mayoría de los matemáticos consideran que el valor estético de la teoría de números y de las Matemáticas en general, supera su hipotético valor utilitario.

Pero ...

¿Es posible transmitir públicamente sin

¿Es posible transmitir públicamente sin comprometer la seguridad?

comprometer la seguridad?

¿Se puede jugar a las cartas por correo

¿Se puede jugar a las cartas por correo o por teléfono?

o por teléfono?

A

B

...

¿Cómo construir “candados” con los primos?

¿Cómo construir “candados” con los primos?

Cosas fáciles (con ordenador):

Cosas fáciles (con ordenador):

· Multiplicar dos primos grandes

· Calcular el resto r de a^b al dividir por p Cosas difíciles (incluso con ordenador):

Cosas difíciles (incluso con ordenador):

· Factorizar

· Tomar “logaritmos”: hallar b a partir de a, r y p

· RSA (Rivest, Shamir, Adleman 1978)

· Diffie-Hellman (1976)

La aritmética del reloj La aritmética del reloj

2=14=122 8=20=-4

Suma 11+4=3

Resta

2-3=-1=11

Multiplicación 7·7=1

División 2·algo=5, no existe 5/2.

Notación:

) 12 ( b

a 

a

b

) (

p b

a 

p

números

La aritmética del reloj (primo) La aritmética del reloj (primo)

· En los relojes primos se puede dividir, salvo por 0.

· Siempre hay horas “generadoras”: multiplicadas por sí mismas dan todas las horas no nulas.

), 5 ( 1 2

), 5 ( 3 2

), 5 ( 4 2

), 5 ( 2

2









p=3

) 3 ( 2

8  11  1 ( 5 )

p=5

· (China, comienzos de nuestra era) 2·2· ^{p veces}·2 son siempre las 2 en un reloj primo.

· (Fermat, siglo XVII)

a

a

a

son siempre las

a

a

p=primo grande (cientos de cifras), g= generador

g

g

b

Clave=g

Clave=g

x Cx Cx x

x= mensaje

(p)

A

B

¿ g

, g

g

?

9 10

NÚMEROS + ANÁLISIS

¿Cómo contar con ondas?

¿Cómo contar con ondas?

¿Cuántos enteros hay entre 0’8 y 10’3?

1 2 3 10

...

 ^ondas

enrollar

analizar

Método mejor

Ejemplo no trivial:

n n

d ( )  nº de divisores de







N



n

N O CN

N N

n d

1

315 '

0

)

( log

) (



 ^  ^

 

ondas ]}

/ ,

1 [ intervalo el

en {

# )

(

1 1

N n

N a

a N

b n

d

ab n 

14 4

2 3

2 2

1 ,

6

? ) (

¿

1













 



N n

d

N n

Tambor rectangular:

Tambor hiperbólico (no euclídeo):

Tambor circular, esférico:

Ondas de Maass (formas modulares)

Un muestrario de ondas Un muestrario de ondas

}

, {

# a

 b

 c

 d

 p a

 b

 N

p N

p 1 ) / (

8

~ 

Contar bien estudiar interferencias Dos ideas:

· Con ondas de frecuencia n no se pueden apreciar

objetos de tamaño menor que 1/n. (P. Incertidumbre)

· Estadísticamente, las ondas “independientes” no tienen resonancia.

Teorema de Vinogradov:

· Todo número impar suficientemente grande se puede escribir como suma de tres primos.





N p

px S cos( 2  )

Tiene “resonancias” en y en otros valores,

que podemos estudiar, e interferencias destructivas en el resto.

 0

x

Esta presentación está disponible en:

http://www.uam.es/fernando.chamizo