Sea f : (X, d)→(Z, ρ) una aplicaci´on entre espacios m´etricos

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HOJA DE EJERCICIOS 2 An´alisis Matem´atico.

CURSO 2020-2021.

Sea f : (X, d)→(Z, ρ) una aplicaci´on entre espacios m´etricos.

Decimos quef esLipschitziana,o simplementeLipschitz,si existe una constanteM ≥0 tal que

ρ f(x), f(y)

≤ M d(x, y) , para cualesquiera x, y∈X , y de un tal n´umeroM decimos que es una constante de Lipschitz para f.

Decimos quef eslocalmente Lipschitziana,olocalmente Lipschitz,si para cada punto x₀∈X existen un entorno U de x₀ enX y un n´umeroM_U ≥0 tales que

ρ f(x), f(y)

≤ MUd(x, y) , para cualesquiera x, y∈U , es decir que la restricci´onf|U es Lipschitz.

Problema 1. 1. Demuestra que toda aplicaci´on localmente Lipschitz es continua.

2. Determina, para cada una de la siguientes funciones continuas, si es localmente Lipschitz o no y si es Lipschitz o no lo es.

R→R , x7−→x². R→R , x7−→p

1 +x². R→R , x7−→arctanx.

(−1,1)→R , x7−→arcsenx.

[−1,1]→R , x7−→arcsenx.

(0,+∞)→R , x7−→logx.

Problema 2. Sea L: (V,k · k)→(W,k · k⁰) una aplicaci´on lineal entre dos espacios normados.

Demuestra que son equivalentes:

1. L es continuna en el punto0∈V. 2. L es lineal acotada.

3. L es Lipschitz para las distanciaskv₁−v₂k en V y kw₁−w₂k⁰ en W.

Problema 3. Sea1< p <∞. Demuestra que para todov∈Rⁿ, kvk_∞≤ kvk_p≤ kvk₁≤nkvk_∞.

Problema 4. Seank · k y k · k⁰ dos normas enRⁿ.

Demuestra que un conjuntoE⊆Rⁿ es acotado parak · ksi y s´olo si es acotado parak · k⁰.

Demuestra que si {xn} ⊂ Rⁿ es una sucesi´on de Cauchy para k · k (es decir, para cada ε >0 hay un k=k(ε)tal que n, m≥k =⇒ kxn−xmk ≤ε), entonces es una sucesi´on de Cauchy parak·k⁰; y viceversa.

Dado cualquier subconjunto no vac´ıoE⊆Rⁿ, con las distancias d_E(x, y) =kx−yk y d⁰_E(x, y) =kx−yk⁰, y dada cualquier funci´on f :E →R, demuestra que f es Lipschitz en (E, d) si y s´olo si es Lipschitz en (E, d⁰).

Problema 5.

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1. Sean (X, d) un espacio m´etrico y a ∈X. Demuestra que d_a : X → R, dada por d_a(x) = d(x, a), es una funci´on Lipschitziana en(X, d).

2. Demuestra que, en todo espacio normado(V,k·k), la norma es una funci´on Lipschitz.

Problema 6. (Generalizamos el ejercicio 13 de la hoja 1).Sean(X, d) un espacio m´etrico y A⊆X un subconjunto no vac´ıo. Definimos la distancia a A como la siguiente funci´on

dist(·, A) :X −→ R , dist(x, A) = ´ınf

d(x, y) : y∈A .

1. Demuesta que dist(·, A)es una funci´on Lipschitz en(X, d).

2. Si adem´as A es compacto, demuestra que para todo x ∈X existe a∈ A tal que dist(x, A) = d(x, a); es decir, un punto m´as cercano a x entre los puntos de A.

Problema 7. FijamosRⁿ. Seae1= (1,0, . . . ,0) el primer vector de la base est´andar. Demuestra que:

1. Los subconjuntosB(0,1)∪B(2e₁,1) yB(0,1)∪B(3e₁,1)no son conexos por caminos.

2. Los subconjuntos B(0,1)∪B(2e₁,1)∪ {e1} y B(0,1)∪B(3e₁,1)∪ {te1 : 1< t <2} son conexos por caminos.

Problema 8. Sea (V,|| · ||) un espacio normado.

a) Dadosx0∈V, r >0, prueba que la adherencia de la bola abiertaB(x0, r) es la bola cerradaB(x0, r).

b) Considera la distanciad(x, y) = m´ın{||x−y||,1}. Demostrar que|| · ||yd definen los mismos abiertos enV (y por tanto, definen los mismos cerrados).

c) Demostrar que en el espacio m´etrico (V, d) el cierre de la bola unidad centrada en 0 es distinto de la bola cerrada unidadB_d(0,1).

Problema 9. a) Sea X conexo por caminos, y seaf :X →Runa funci´on continua. Determinar c´omo es f si f(x)⊂Z(lo mismo paraf(x)⊂Qo paraf(x)⊂R−Q).

b) Sea X conexo por caminos y f : X → R una funci´on continua no constante. Demostrar que f(X) es no numerable.

c) Demostrar que no existe ninguna funci´on continuaf :R→Rtal quef(Q)⊂R−Qyf(R−Q)⊂Q

Problema 10. Sea (V,|| · ||) un espacio normado, y seanA, B⊂V. Se define A+B={a+b|a∈A, b∈B}

a) Demostrar que siAes compacto yB cerrado, entoncesA+B es cerrado.

b) Poner un ejemplo de un espacioV y dos cerradosA, Btales queA+B no es cerrado.

Problema 11. Sean (X, d1),(Y, d2) dos espacios m´etricos. Decimos quef :X→Y es una isometr´ıa si satisface:

d₂(f(x), f(y)) =d₁(x, y) para todox∈X, y∈Y.

Demostrar que toda isometr´ıa entre dos espacios m´etricos:

a) Es inyectiva.

b) Es continua enX.

c)f⁻¹:f(X)→X es isometr´ıa, y por lo tantof⁻¹ es continua enf(X).

Problema 12. Sea (F,|| · ||) un espacio normado.

a) SiT :R→F es lineal, demostrar que|||T|||=||T(1)||.

b) Sea L(R,F) el conjunto de las aplicaciones lineales T :R→F. Definimos φ: L(R,F)→ F , de modo que φ(T) =T(1).Demostrar queφes una aplicaci´on lineal, y adem´as es una isometr´ıa.

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Problema 13. Anal´ıcese en cada uno de los ejemplos siguientes, la continuidad, la existencia de derivadas parciales, la diferenciabilidad en el punto (0,0) y la continuidad en (0,0) de las derivadas parciales.

f(x, y) =





 x²y

x⁴+y² si (x, y)6= (0,0), 0 si (x, y) = (0,0).

f(x, y) =







x⁴e^−|x|

x²+y² si (x, y)6= (0,0), 0 si (x, y) = (0,0).

f(x, y) =





 x³

x²+ 7y² si (x, y)6= (0,0), 0 si (x, y) = (0,0).

f(x, y) =







(x²+y²) sen 1

px²+y² si (x, y)6= (0,0),

0 si (x, y) = (0,0).

Problema 14. Consid´erese la funci´on, definida en R²\ {(0,0)}, f(x, y) = ( x

x²+y², y x²+y²).

¿Es posible asignar un valor a f(0,0) de forma que f sea continua en este punto? Calcular la matriz de la diferencial Df(x, y), respecto de las bases can´onicas en R², en cada (x, y) ∈ R²\ {(0,0)}. Para cada (x, y), localizar en el plano su transformadof(x, y) . ¿Esf inyectiva enR²\ {(0,0)}? Hallar la funci´on inversa def.

Problema 15. Sea E un espacio vectorial dotado de un producto escalar<·,·>y una norma asociada|| · ||.

Seaf :E→R, f(x) =||x||².

Demostrar quef es diferenciable en todox∈E, y que

Df(x)u= 2< x, u > para cadau∈E.

Problema 16. Seang1, g2:R²→Rfunciones continuas. Se definef :R²→Rmediante f(x, y) =

Z x 0

g1(t,0)dt+ Z y

0

g2(x, t)dt . a)Probar que

∂f(x, y)

∂y =g2(x, y). b)Hallar una funci´onf :R²→Rtal que

∂f(x, y)

∂x =x y ∂f(x, y)

∂y =y .

c)Hallar una funci´onf :R³→Rtal que

∂f(x, y, z)

∂x = 2xy , ∂f(x, y, z)

∂y =x²−2y y ∂f(x, y, z)

∂z =e^z.

Problema 17. Se dice que una función f :R^N →Res homogénea de grado mcuando f(tx) =t^mf(x) para todox∈R^N yt∈R\ {0}. Sif es diferenciable y homogénea de gradom6= 0, probar que

h∇f(x), xi=m f(x) en cadax∈R^N.

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Problema 18. ConsideremosF :R^N ×R^N →Rdefinida por F(x, y) =hx, yi, producto escalar enR^N.

a)HallarDF(a, b).

b)Sif, g:R→R^N son diferenciables y h:R→Rse define porh(t) =F(f(t), g(t)), calcular la derivada deh. c) Sea f : R→ R^N diferenciable. Demostrar que kf(t)k es constante si y s´olo si los vectores f(t) yf⁰(t) son ortogonales.

Problema 19. a)Calcular las diferenciales def1(x) =ha, xi,f2(x) =hx, L(x)i yf3(x, y) =hx, L(y)i, donde a∈R^N es fijo,x, y∈R^N son variables yL:R^N →R^N es una aplicaci´on lineal.

b)SeaB :R^N×R^N →Runa aplicación bilineal. Calcular la aplicación linealDB(x, y) . c)Considérese la aplicaciónf :R²×R²→Rdefinida

f(x, y) =

x₁ y₁ x₂ y₂ Hallar la aplicaci´on linealDf(x, y) .

Problema 20. Usar laregla de la cadenapara calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones, siendo f :R³→R,g:R²→R,h:R→R.

a)F(x, y, z) =f(h(x), g(x, y), z) , b)G(x, y, z) =h(f(x, y, z)g(x, y)) , c)H(x, y, z) =g(f(x, y, h(x)), g(z, y)) , d)I(x, y, z) = (x, F(x, y, z), z) .

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