Hoja de ejercicios no4 Probabilidad I U.A.M., curso 2005/06
1. SiX tiene funci´on de distribuci´on FX(x), ¿cu´al es la funci´on de distribuci´on de Y = m´ax(X,0)?
2. SeanX1 y X2 variables aleatorias independientes con funciones de distribuci´on F1 y F2 respecti- vamente. Sea Y una variable aleatoria independiente de las anteriores (es decir, X1, X2, Y son v.a.i.) que toma valores 0,1 con probabilidades p, q= 1−p respectivamente. Sea Z =Y X1+ (1−Y)X2 (es decir, con probabilidad p, Z = X1 y con probabilidad 1−p, Z =X2). Demostrar que la funci´on de distribuci´on de Z es la funci´on F(x) definida porF(x) =p F1(x) +q F2(x).
3. La variable aleatoriaX tiene funci´on de distribuci´onFX(x) dada por 2 (1+x1 2) six≤0 y por 2 (1+x1+2x22)
six >0. Mostrar queX es una variable aleatoria continua y determinar su funci´on de densidad.
4. Determinar la constantec y las funciones de distribuci´on correspondientes a las funciones de den- sidad siguientes:a. f(x) =ce−|x|;b. f(x) =cexp (−x−e−x) ;c. f(x) =c[x(1−x)]−1/2 (0,1)(x). 5. La variable aleatoriaX sigue una distribuci´on exponencial de par´ametroλ. Encontrar las funciones de densidad de las variables aleatoriasA= 2X+ 5, B=eX, C= (1 +X)−1, D= (1 +X)−2. 6. Si X es una variable aleatoria N(0,1), encontrar la funci´on de densidad de Y = eX y tambi´en E(Y). ¿C´omo se transforma Y cuandoX pasa a ser una N(µ, σ)? (se dice entonces que la variable Y tiene una distribuci´on lognormal de par´ametros µ yσ).
7. Calcular la media y la varianza de la variableX, cuya funci´on de densidad viene dada por a. f(x) =λ e−λ x (0,∞)(x);
b. f(x) =c λe−λ|x|.
Indicaci´on: Empezar por razonar qu´e densidad tieneX/λ, para reducir todo al casoλ= 1.
8. SeaXuna variable aleatoria cuya funci´on de distribuci´onF es continua. Demostrar que la variable aleatoriaY =F(X) est´a uniformemente distribuida en (0,1).
9. Sea F una funci´on de distribuci´on continua y estrictamente creciente y U una variable aleatoria uniforme en (0,1). Comprueba que la variable aleatoria X = F−1(U) tiene funci´on de distribuci´on F. ¿C´omo se puede utilizar el resultado anterior para generar n´umeros aleatorios con distribuci´on F?
(apl´ıcalo, por ejemplo, al caso de la distribuci´on exponencial).
10. Un bot´anico ha observado que la anchura,X, de las hojas del ´alamo sigue una distribuci´onN(µ, σ) conµ= 6 cm. Si el 90 % de las hojas tienen una anchura inferior a 7,5 cm, hallar σ.
11. La duraci´on, en minutos, de las conferencias en un congreso sigue una distribuci´on lognormal de par´ametros µ, σ. Hallar µy σ sabiendo que el 60 % de las conferencias duran m´as de 40 minutos y el 55 % menos de 50 minutos.
Varias variables aleatorias (continuas)
12. X1, . . . , Xn son variables aleatorias i.i.d. con funci´on de distribuci´on F y de densidad f (com´un a todas ellas). Definimos U = m´ın{X1, . . . , Xn} y V = m´ax{X1, . . . , Xn}. Obtener las funciones de distribuci´on y densidad de U y V. Observar que las distribuciones obtenidas se pueden relacionar a trav´es de m´ın{X1, . . . , Xn}=−m´ax{−X1, . . . ,−Xn}.
Extender estos resultados al caso en el que lasXi, independientes, tengan funciones de distribuci´onFi
y de densidadfi, no necesariamente iguales.
13. X e Y son dos variables aleatorias independientes que siguen distribuciones exponenciales de par´ametrosλy µ, respectivamente. Mu´estrese queZ = m´ın{X, Y}sigue una distribuci´on exponencial de par´ametro λ+µ.
14. Una compa˜n´ıa compra 100 bombillas, cada una de las cuales tiene un tiempo de vida que es una variable aleatoria exponencial de media 1000 horas. Calcular el tiempo esperado en el que fallar´a la primera de ellas.
15. Sea (Xi) una sucesi´on de variables aleatorias continuas i.i.d. Sea N el primer ´ındice para el que XN−1< XN. Probar queP(N =k) = (k−1)/k!. Comprobar queE(N) =ey queP∞
k=2(k−1)/k! = 1.
16. Sean X e Y variables aleatorias i.i.d. con distribuci´on conjunta uniforme en [0,1]×[0,1]. Hallar E(|X−Y|),E(m´ax{X, Y}),E(m´ın{X, Y}),E(X2+Y2) y E((X+Y)2).
17. Las variables aleatorias X e Y est´an uniformemente distribuidas en el disco unidad. Esto es, fX,Y(x, y) = 1/πsi x2+y2 ≤1 y vale 0 en otro caso. CalcularE(√
X2+Y2) y E(X2+Y2).
18. X eY tienen funci´on de densidad conjunta dada porfX,Y(x, y) =e−y si 0< x < y <∞(y 0 en otro caso). CalcularE(X|Y =y) y E(Y |X =x).
19. El par (X1, X2) tiene funci´on de densidad conjunta normal bivariante con par´ametrosµ1, µ2∈R, σ1, σ2>0 y−1< ρ <1. Definimos
Zi= Xi−µi
σi , (i= 1,2).
¿Cu´al es el coeficiente de correlaci´on del par (Z1, Z2)? Hallar la funci´on de distribuci´on conjunta del par (Z1, Z2). Calcular E(Z1Z2)−E(Z1)E(Z2) y E(Z2|Z1=z).
20. SeaX1, X2, . . . una sucesi´on de variables aleatorias i.i.d, con distribuci´on exponencial de par´ame- tro λ com´un a todas ellas. Definimos S0 = 0 y Sn =X1+· · ·+Xn, para cada n≥ 1. Probar que la funci´on de densidad deSn viene dada por
fn(x) = λn
(n−1)!xn−1e−λx (0,∞) .
Fijemos ahora un t > 0 y consideremos N(t) = m´ax{n : Sn ≤ t}. Comprobar que N(t) sigue una distribuci´on de Poisson (Sugerencia: condicionar sobre Sn=s,s < t).
21. Probar que si X e Y son variables aleatorias independientes con distribuci´on N(0, σ2), entonces Z =Y /X sigue una distribuci´on de Cauchy. Deducir que si (R, θ) es la representaci´on en polares del punto (X, Y), entonces θest´a uniformemente distribuida en [0,2π]. ¿Cu´al es la distribuci´on deR2?
22. Dar un ejemplo de dos variables aleatorias continuasX, Y incorreladas pero no independientes.
23. La variable X tiene densidad fX(x) = x exp(−x2/2)[0,∞)(x). La variable Y, independiente de la anterior, es uniforme en [−ε, ε]. Si llamamos Z =X+Y, hallarfZ(z) y calcular P(Z > ε).
24. SeanX e Y variables aleatorias i.i.d. con distribuci´on exponencial de par´ametroλ. Encontrar la funci´on de distribuci´on y la funci´on de densidad de las variables aleatoriasA= 1−e−λX,B = m´ın{X, Y} yC=X−Y. Calcular la probabilidad de que m´ax{X, Y} ≤aX, donde aes un n´umero real dado.
25. Sean X e Y variables aleatorias i.i.d. con distribuci´on normal de media 0 y varianza 1. (a) Mostrar que W = 2X−Y sigue una distribuci´on normal. ¿Cu´ales son su media y su varianza? (b) Encontrar la media de Z=X2/(X2+Y2). (c) Calcular la media de V /U, dondeU = m´ax{|X|,|Y|}y V = m´ın{|X|,|Y|}.
26. Una fuente emite una part´ıcula en tiempo cero. En un cierto instante (aleatorio) S se desintegra y uno de los productos de esa desintegraci´on se observa en tiempo T, T ≥ S. La variable T tiene densidadfT(t) = t e−t (0,∞). Adem´as, para cadat >0, la distribuci´on deS condicionada a que T =t es uniforme en (0, t). Hallar la densidad conjunta deS yT. Calcular la densidad conjunta deS yT−S y mostrar que estas dos son variables aleatorias i.i.d. Si llamamos Z = m´ax{S, T −S}, ¿cu´al es la funci´on de densidad deZ? ¿Qu´e relaci´on hay con el ejercicio 18 de esta hoja?
probabilidad i — hoja 4 — 2005/06
