TÖPICOS EN FÐSICA NO-LINEAL

(1)

WÖSLFRV HQ IÐVLFD QR0OLQHDO

Uhqì Jdeulho Urmdv Fruwìv

59 gh rfwxeuh gh 5334

(2)

5

(3)

Ðqglfh Jhqhudo

L Ho Srwhqfldo gh Qr0Htxloleulr 4

LL Od Lqhvwdelolgdg gh Idudgd| 64

LLL Od Hfxdflöq gh Fdkq0Klooldug 7:

LY Dsìqglfh <:

Y Eleolrjudiðd 454

l

(4)

ll ÐQGLFH JHQHUDO

(5)

Uhvxphq

Hq od sulphud sduwh gh hvwd phpruld dqdol}dprv dojxqdv surslhgdghv gho srwhqfldo gh qr0htxloleulr/ txh hv xqd wìfqlfd sdud hqfrqwudu od suredelolgdg hvwdflrqduld gh xq vlvwhpd shuwxuedgr hvwrfävwlfdphqwh hq ho oðplwh gh uxlgr gìelo/ hq hvshfðfr vh yhuä vx qr0glihuhqfldelolgdg/ odv frqglflrqhv gh erugh

| od jhqhulflgdg gho prghor hvwxgldgr1

Hq od sduwh uhihulgd d od lqhvwdelolgdg gh Idudgd| vh ghpxhvwud txh/ od hfxdflöq qr orfdo ghulydgd sdud od hyroxflöq olqhdo gh od vxshuflh gh xq xlgr ylvfrvr lqfrpsuhvleoh vh uhgxfh dvlqwöwlfdphqwh/ sdud dowd ylvfrvlgdg/ d xqd hfxdflöq wlsr Pdwklhx gh vhjxqgr rughq/ sursxhvwd uhflhqwhphqwh sru Fhugd

| Wludshjxl1 Od hfxdflöq ghvfuleh xq sìqgxor ixhuwhphqwh dpruwljxdgr | odv frqglflrqhv gh ydolgh} gho uìjlphq dvlqwöwlfr vrq gdgdv hq wìuplqrv gh orv sduäphqwurv iðvlfrv uhohydqwhv1

Hq od ýowlpd sduwh hvwxgldprv od glqäplfd gh exuexmdv hq od hfxdflöq gh Fdkq0Klooldug xqlglphqvlrqdo1 Sdud xq jdv gh exuexmdv gloxlgdv hqfrq0 wudprv xq frqmxqwr gh hfxdflrqhv glihuhqfldohv ruglqduldv txh ghvfulehq odv lqwhudfflrqhv hqwuh hoodv/ or txh qrv shuplwh ghvfulelu od glqäplfd xowhulru gho vlvwhpd frq xq px| exhq dfxhugr frq odv vlpxodflrqhv qxpìulfdv1

lll

(6)

ly ÐQGLFH JHQHUDO 1

(7)

Sduwh L

Surslhgdghv gho Srwhqfldo gh Qr0Htxloleulr

4

(8)

(9)

Lqwurgxfflöq

Xq vlvwhpd pdfurvföslfr sxhgh vhu fdudfwhul}dgr sru xq qýphur px| shtxhôr gh yduldeohv frpsdudgr frq od fdqwlgdg fdvl lqlpdjlqdeoh gh judgrv gh olehu0 wdg txh ìvwh sxhgh whqhu +xvxdophqwh gho rughq gho qýphur gh Dyrjdgur, ^4`/

hvwdv yduldeohv hvwäq jrehuqdgdv sru oh|hv rewhqlgdv gh xq frduvh judlqlqj

^5`/ txh fruuhvsrqgh d wrpdu orv prgrv päv ohqwrv gho vlvwhpd | ghvsuhfldu ho uhvwr sru whqhu wlhpsrv gh uhodmdflöq pxfkr päv fruwrv1 Vhdq^^> GU$U frq > ' c c ? hvwdv yduldeohv pdfurvföslfdv/ vl frqvlghudprv ho fdvr gh vlvwhpdv krprjìqhrv hq ho hvsdflr/ od glqäplfd gho vlvwhpd hvwduä jrehuqdgd sru xq vlvwhpd gh hfxdflrqhv glihuhqfldohv ruglqduldv

^^>E| '^>E^ +4,

grqgh ho sxqwr uhsuhvhqwd od ghulydgd whpsrudo | orv ^> G U^?$U vrq ixq0 flrqhv gh fodvh ^" gdgdv1 Hvwd ghvfulsflöq ghwhuplqlvwd qr wrpd hq fxhqwd ho uro gh odv yduldeohv uäslgdv holplqdgdv hq ho surfhvr gh frduvh judlqlqj1 Sru rwur odgr ho surfhvr gh frduvh judlqlqj qrv pxhvwud txh odv yduldeohv pdfurvföslfdvE^c c ^^?sxhghq vhu lqwhusuhwdgdv frpr xq surfhvr hvwrfäv0 wlfr | hq hvwh pdufr odv hfxdflrqhv +4, dsduhfhq frpr hfxdflrqhv sdud orv ydoruhv phglrv hq odv fxdohv vh kdq ghvsuhfldgr odv xfwxdflrqhv1 Hq pxfkrv fdvrv gh lqwhuìv vh sxhgh dujxphqwdu txh ho hihfwr gh odv xfwxdflrqhv sxhghq hvwxglduvh dsur{lpdqgr ho surfhvr hvwrfävwlfr sru xq surfhvr gh glixvlöq +yhu vlq hpedujr ^4`, txh vh rewlhqh vlpsohphqwh djuhjdqgr d od hfxdflöq +4, xqd shuwxuedflöq hvwrfävwlfd txh ghshqgh gh uxlgrv eodqfrv +1E|c 1²E|c ,1 Hq hvwd ghvfulsflöq od hfxdflöq +4, vh uhhpsod}d sru

^^>E| '^>E^ ns# }^> 1E| +5, 6

(10)

7

Hq or txh vljxh dgrswduhprv od uhjod gh Hlqvwhlq sdud ðqglfhv uhshwlgrv⁴1 Hq jhqhudo }^> srguðd vhu xqd ixqflöq gh orv ^/ hq hvh fdvr vh ghqrplqd uxlgr pxowlsolfdwlyr/ shur sdud or txh vljxh or vxsrqguhpr frqvwdqwh/ hv ghflu/

uxlgr dglwlyr1 Od lghdol}dflöq päv xvxdo | vlpsoh sdud ho uxlgr hv wrpdu 1 frpr xq uxlgr eodqfr jdxvvldqr

1E|

' f

1E|1E|

'B_c BE||

l1h1E|_|' _`E| grqgh `E| hv ho surfhvr gh Zlhqhu1

Dkrud i^^>E|j |d qr hv xqd wud|hfwruld ghwhuplqlvwd vlqr txh xq surfh0 vr hvwrfävwlfr | oxhjr hvwä ghwhuplqdgr sru xqd suredelolgdg/ hv ghflu/ qr srghprv frqrfhu od wud|hfwruld txh vljxh ho vlvwhpd hq irupd h{dfwd | vror srghprv dvsludu d vdehu fxdo hv od suredelolgdg txh wlhqhq fdgd wud|hfwruld gh uhdol}duvh1 Frpr ìvwh hv xq surfhvr hvwrfävwlfr Pdunryldqr ho hvwä ghwhu0 plqdgr sru od suredelolgdg gh wudqvlflöqE^c |m^_Jc |_Jtxh gd od suredelolgdg gh txh ho vlvwhpd hvwì hq ^ hq ho wlhpsr | gdgr txh hvwded hq ^J do wlhpsr

|J1 Hvwd suredelolgdg hvwä uhjlgd sru od hfxdflöq gh Irnnhu0Sodqfn ^8/ 9`

Y

Y| ' Y

Y^^>^>E^ n # 2

Y²

Y^^>Y^^D'^>D +6,

grqgh'^>D }^>}^D1 Sdud sureohpdv frpr ho fäofxor gh orv wlhpsrv gh hvfdsh hq vlvwhpdv phwdhvwdeohv ^4/ 6/ :/ 4:`/ judq sduwh gh od lqirupdflöq uhohydqwh hvwä dopdfhqdgd hq od suredelolgdg hvwdflrqduld gho vlvwhpd +Y| ' f,⁵1 Hq ho oðplwh gh uxlgr gìelo +# $ f, vh sxhgh xvdu od whruðd gh shuwxuedflrqhv dvlqwöwlfdv txh vxjlhuh sdud od suredelolgdg hvwdflrqduld xq dqvdw} wlsr ZNE

^:/ ;/ <`

E^c # ' i³^#^{E^c#}

E^c # '^JE^ n# ⁴E^ n#²⁵E^ n +7, Uhhpsod}dqgr hvwd h{sdqvlöq hq +6, | vhsdudqgr hq srwhqfldv gh # vh oohjd

4Fxdqgr dsduh}fd xq ðqglfh uhshwlgr vh vxehqwlhqgh txh kd| xqd vxpd vreuh hvh ðqglfh +d phqrv txh vh gljd h{soðflwdphqwh or frqwudulr,/ sru hmhpsordlel@S^Q

l@4dlel 5Sru vlpsolflgdg vh xvduä d yhfhv od qrwdflöqCw@ _Cw^C |C@ _Ct^C

(11)

8 d xqd mhudutxðd gh hfxdflrqhv

2'^>DY^J Y^^>

Y^J

Y^^D n^>Y^J

Y^^> ' f +8,

E^>n'^>DYD^JY>⁴ 'Y>^>n

2'^>DY>D^J E^>n'^>DYD^JY>⁵ '

2'^>DY>⁴YD⁴n

2'^>DY>D^J 111

Vh oodpd srwhqfldo gh qr0htxloleulr ^7/ ;/ </ 44/ 45/ 46` do wìuplqr gh rughq fhur hq od vhulh +7,/ hv ghflu^JE^/ ho fxdo hvwä sdufldophqwh ghwhuplqdgr sru od sulphud hfxdflöq gh od mhudutxðd1Hvwd sulphud hfxdflöq sxhgh vhu ylvwd frpr xqd hfxdflöq gh Kdplowrq0Mdfrel d hqhujðd fhur frq ho Kdplowrqldqr

^43`

K'

2'^>DR_>R_D n^>R_> +9, grqghR> hv od yduldeoh frqmxjdgd d ^^> |

R_>' Y^J

Y^^> +:,

Odv hfxdflrqhv gh Kdplowrq

^^>' YK YR>

R_>'YK Y^^>

qrv frqgxfhq d odv vljxlhqwhv hfxdflrqhv sdudv odv yduldeohv ^ |R

^^>'^>n'^>DR_D

R_>'Y_>^D R_D

Sdud yhu/ hq irupd lqwxlwlyd/ od lqwhusuhwdflöq gh odv fxuydv txh ghqhq hv0 wdv hfxdflrqhv/ xvduhprv od uhsuhvhqwdflöq gh od vroxflöq gh od hfxdflöq gh Irnnhu0Sodqfn +6, hq irupd gh lqwhjudo ixqflrqdo ^7/ 47`1Hvwd uhsuhvhqwdflöq hv

E'c |m'Jc |J ' ]

G^i³

^E|''U

Ê|J''JuEÊc Êc#_

+;,

(12)

9

Ho odgr ghuhfkr vh lqwhusuhwd frpr ho oðplwh gh xqd h{suhvlöq glvfuhwl}dgd fx|d irupd h{soðflwd hv

3<"c E03<f*4

^_n^> ]''^>_n

^^>J''^>J

s

E2Z0#^?'

n\

'

s '

\? '

_^^>

s2Z0#i T

%

0ⁿ[

'

uE^₃c{^

0 c #

&

+<, Hq hvwd h{suhvlöq| '|Jn0/|n'||'' _i|E'>D/ grqgh'>4'^4D 'B_>^D/ r vhd '_>D hv od pdwul} lqyhuvd gh '^>D | srghprv lqwhusuhwdu ^ frpr ^E|1 Ho odjudqjldqru txh jxud hq +;/<, hvwä gdgr sru

u'

2#'_>DE ^^>^>E^ E ^^D ^DE^ '

#u_J +43,

| od h{suhvlöq +<, gheh frqvlghuduvh frpr od ghqlflöq gh od lqwhjudo ixqflrqdo +;, hq od glvfuhwl}dflöq gho suhsxqwr +yhu ^47` sdud wrgrv orv ghwdoohv,1Rwud qrwdflöq xvdgd sdud od h{suhvlöq +;, hv

E'c |m'Jc |J ' ]

G^i³

U|

|JuE^Ec ^Ec#_

BE^E|'BE^E|J'J Vh yh gluhfwdphqwh txh ho Kdplowrqldqr dvrfldgr do odjudqjldqruJ gdgr sru +43, fruuhvsrqgh do gdgr hq +9, xvdqgr od wudqvirupdflöq gh Ohjhqguh xvxdo

K'R>^^>uJE^c^ R_>' YuJ

Y^^>

Srghprv hqwrqfhv lqwhusuhwdu od wud|hfwruld ghqlgd sru odv hfxdflrqhv gh Kdplowrq frpr od txh plqlpl}d od dfflöq txh dsduhfh hq od h{srqhqfldo gh od lqwhjudo ixqflrqdo/ | od txh fruuhvsrqghuðd do rughq päv edmr hq #/ d od wud|hfwruld päv suredeoh gh E'Jc |Jd E'c |+yhu ^48`,1

Sru rwur odgr gh od uhodflöq hqwuh ho srwhqfldo gh qr0htxloleulr | orv pr0 phqwrv R gdgrv hq +:, vh wlhqh txh

^JE^ ' ]

R_>_^^>

| hqwrqfhv

^JE^ ' ]

R>^^>_|

(13)

: Ho srwhqfldo gh qr0htxloleulr hvwä ghqlgr hq uhodflöq d od suredelolgdg hvwd0 flrqduld or txh fruuhvsrqgh d wrpdu ho oðplwh |J $ 4 hq +;,1Ghelgr d txh ho vlvwhpd ghwhuplqlvwd +4, hv dxwöqrpr | vh oh dglflrqö xq uxlgr eodqfr jdxvvldqr ho surfhvr hvwrfävwlfr ghqlgr sru +5, hv hvwdflrqdulr | srghprv wrpdu|' f hq +;, +or dqwhulru hv frqvhfxhqfld gh txhE'c |m'Jc |Jhv dtxð ixqflöq gh E||J,1Dghpäv frpr od hfxdflöq gh Kdplowrq0Mdfrel hv d hq0 hujðd fhur/K' f/ | odv wud|hfwruldv vrq odv txh plqlpl}dq od dfflöq vh oohjd do qdo d txh

^JE' ' 4?

^Ef'']

^E3"''J

uJE^E|c^E|_|

Vh sxhgh dýq qrwdu txh hq od iöupxod dqwhulru od ghshqghqfld hq '_J kd ghvdsduhflgr/ or txh hv xqd frqvhfxhqfld gd kdehu wrpdgr ho oðplwh | $ 41Vl hvwxgldprv ho frpsruwdplhqwr gh od lqwhjudoU^|

|J

uJE^c^_|/ | $ 4/

^E|J ' 'J/ ^E| ' '/ yhprv txh od wud|hfwruld +vroxflöq gh odv hfxdflrqhv gh Kdplowrq, yd sulphur gh '_J do dwudfwru D gho vlvwhpd ghwhuplqlvwd hq fx|d fxhqfd hvwä'J/ | kdfh hvwr vljxlhqgr od wud|hfwruld ghwhuplqlvwd ^^> ' ^>E^/ or txh gd xqd frqwulexflöq qxod d od dfflöq1 Frqfoxlprv hqwrqfhv txh srghprv hvfulelu sdud ho srwhqfldo gh qr htxloleulr od h{suvlöq

^JE' ' 4?

^Ef'']

^E3"'

uJE^E|c^E|_| +44,

Frpr xq ýowlpr frphqwdulr vreuh ho srwhqfldo gh qr0htxloleulr phq0 flrqduhprv euhyhphqwh orv frqfhswrv gh vlvwhpdv srwhqfldohv | qr srwhq0 fldohv1Xq vlvwhpd vh glfh txh hv srwhqfldo vl ho guliw^>E^vh sxhgh hvfulelu frpr ho judglhqwh gh xq srwhqfldo r päv jhqhudophqwh vh sxhgh hvfulelu frpr

^>E^ '

2'^>DY^J Y^^D

grqgh'^>D hv ghqlgr srvlwlyr |^JE^hv dfrwdgd sru ghedmr1Hq jhqhudo orv vlvwhpdv vrq qr srwhqfldohv | xqd jhqhudol}dflöq gh hvwh frqfhswr hv ghflu txh ho guliw vh sxhgh hvfulelu frpr ho judglhqwh gh xq flhuwr srwhqfldo päv xq

(14)

;

uhvwr txh fxpsoh frq vhu ruwrjrqdo d od sduwh judglhqwh/ hv ghflu ^>E^ '

2'^>DY^J

Y^^D n-^>E^ +45, -^> Y^J

Y^^> ' f +46,

Od ixqflöq^J hv xq ixqflrqdo gh O|dsxqry gho vlvwhpd glqäplfr ^^>'^>E^

|d txh

_E^E|

_| ' Y

Y^^> ^^>E| '

2'^>D Y Y^^>

Y Y^^D f

Vl wrpdprv '^>D ''^>D yhprv txh od hfxdflöq +46, frlqflgh frq od sulphud hfxdflöq gh od mhudutðd +8, | hqwrqfhv srghprv xwlol}du ho srwhqfldo gh qr htxloleulr^J hq ho uro gh ^J hq od ghvfrpsrvlflöq +45,1

(15)

Prghorv

Sdud hvwxgldu odv surslhgdghv gho srwhqfldo gh qr0htxloleulr txh qrv lqwhuhvdq kduhprv xvr gh xq prghor vlpsoh/ txh srghprv lqwhusuhwdu frpr xqd irupd qrupdo gh frglphqvlöq 5/ vrphwlgr d shuwxuedflrqhv hvwrfävwlfdv frpr odv txh khprv ghvfulwr1Odv hfxdflrqhv gho prghor vrq

%'> %@ %K % +² ns# 1E| +47,

+'>2 +@2 +K2 %² +ns

#2 12E|

grqgh 1/12 vrq uxlgrv eodqfrv k1E|l' f

k1E|1E|l'Bc BE|| c ' c2

Od sduwh ghwhuplqlvwd gh +47, hv od irupd qrupdo gh xq vlvwhpd gh 5 yduldeohv frq xq uhshoru hq ho ruljhq | frq od vlphwuðd%$ %/+$ +1

Vl uhhvfdodprv +47, +%$S %c +$S2 +, rewhqhprv

%'> %%k % +² ns# 1E| +48,

+'>2 ++q %² +ns#D 12E|

hq grqgh vh kd lpsxhvwr txh

@ S² ' c @2 S²₂ '

| vh ghqlhurq orv qxhyrv sduäphwurv k/ q/# |D kK S²₂c q K2 S²

# #

S²c #D #₂ S²₂

<

(16)

43

-

x y

+ +

u

u u

u₁ ¹

2 2

I

I I

Iljxud 4= Hvwuxfwxud gho hvsdflr gh idvh gh orv prghorv sru hvwxgldu/ hq ho hmh% kd| grv dwudfwruhv/ hq ho hmh+grv sxqwr vlood | hq ho fhqwur xq uhshoru1 Od sduwh ghwhuplqlvwd gh hvwh prghor wlhqh flqfr sxqwrv fuðwlfrv +>c >2

srvlwlyrv, txh vrq= xq uhshoru hqEfcf/ grv dwudfwruhv hq E s>cfedmr od frqglflöq gh txh >2q > f| grv sxqwrv vlood hq Efc s>2vlhpsuh txh

> k >2 : f | sdud txh odv fxhqfdv gh dwudfflöq fxeudq wrgr ho hvsdflr xqd frqglflöq vxflhqwh hv txh knqn 2:f+yhu jxud +4,,1

Frqvlghuhprv ho fdvr sduwlfxodu

k' >>2

>₂ q ' >₂

> nD>

>2

txh uhgxfh odv hfxdflrqhv +48, d

%'> %%

>>2

>2

% +²ns# 1E| +49,

+'>2 ++ >2

> nD>

>2

%² +ns#D 12E|

| txh wlhqh xq ixqflrqdo gh O|dsxqry h{soðflwr +yhu jxudv +5, | +6,,

^JE%c + ' >%²n ^%₂^e n^>_>₂%²+² +4:,

(17)

44

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Iljxud 5= Juäfr gh ^JE%c + sdud > ' >2 ' / qrwhvh txh hq Ecf | Ecf vh hqfxhqwudq orv dwudfwruhv | hv grqgh hvwh ixqflrqdo gh O|dsxqry hv pðqlpr1

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-0.4 -0.2 0.2

Iljxud 6= Fruwh wudqvyhuvdo gho ixqflrqdo gh O|dsxqry gh od jxud dqwhulru/

sdud+ ' f/ l1 h1 ^JE%c + ' f1

(18)

45

|d txh

2

Y^J

Y% '>%%>

>2 % +²

2 Y^J

Y+ '>

>2%²+

| hq frqvhfxhqfld +-c -², gh +45, vrq - '% +²

-² '>2 ++>₂

> %² +

Srghprv sduwlfxodul}du dýq päv ho prghor lpsrqlhqgr D '

>2

> ₂

Hq hvwd fdvr odv hfxdflrqhv vh uhgxfhq d

%'> %%

>>₂

>2

% +²ns# 1E| +4;,

+'>2 ++2>2

> %² +ns#>2

> 12E|

| hvwh vlvwhpd/ sru vhu xq fdvr sduwlfxodu gho vlvwhpd +49,/ wdpelìq wlhqh d ^JE%c + frpr xq ixqflrqdo gh O|dsxqry shur dghpäv srvhh rwur ixqflrqdo +yhu jxudv +7, | +8,,

^JE%c + ' ₂

>%² ^>_>₂ +²₂

+4<, Xwlol}dqgr hvwrv prghorv srqguhprv hq hylghqfld dojxqdv surslhgdghv lpsruwdqwhv gho srwhqfldo gh qr0htxloleulr ^49`1

(19)

46

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Iljxud 7= Juäfr gh ^JE%c + sdud > ' >2 ' / qrwhvh txh hq Efcf vh hqfxhqwud ho uhshoru | hv grqgh hvwh ixqflrqdo gh O|dsxqry hv pä{lpr/ oxhjr 0^JE%c +hv pðqlpr hq hvwh sxqwr11

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

0.2 0.4 0.6 0.8

Iljxud 8= Fruwh wudqvyhuvdo gho ixqflrqdo gh o|dsxqry gh od jxud dqwhulru/

sdud+'k%/ l1 h1 ^JE%c + 'k%sdudk 5 ?Od irupd hv xqd frqvhfxhqfld gh od vlphwuðd gh urwdflöq gh^J1

(20)

47

(21)

Odv Frqglflrqhv gh Erugh

Xwlol}dqgr +8, vh sxhgh yhu txh ho srwhqfldo gh qr htxloleulr +txh qrwduhprv E^dtxð, hv ghfuhflhqwh vreuh odv wud|hfwruldv gho vlvwhpd ghwhuplqlvwd sxhv +dgplwlprv dtxð txh'^>D vhd xqd ixqflöq gh^,⁶

_

_| ' Y

Y^^> ^^>E| ' Y

Y^^> ^>E^ '

2'^>DE^Y Y^^>

Y Y^^D f

| od ljxdogdg vh wlhqh vror sdud Y*Y^^> ' f/ oxhjr E^ gheh vhu pðqlpr hq orv dwudfwruhv gho vlvwhpd ghwhuplqlvwd +4, ^7/ ;`1Gh or dqwhulru wdpelìq vh oohjd d txh ho srwhqfldo gh qr0htxloleulr gheh vhu h{wuhpdo hq orv rwurv sxqwrv mrv gh +4, +l1h1 sxqwrv vlood | uhshoruhv, shur qr vh sxhgh ghflu qdgd gh vx qdwxudoh}d/ hv ghflu/ vl E^ hv pä{lpr/ vlood r pðqlpr1Xvxdophqwh vh dujxphqwd txh/ gdgr txh ho vlvwhpd +4, hv dxwöqrpr/ vl vh kdfh xqd lqyhuvlöq whpsrudo +|$ |, ^;` orv sxqwrv fuðwlfrv uhylhuwhq vx qdwxudoh}d/

orv dwudfwruhv vh wudqvirupdq hq uhshoruhv | orv uhshoruhv hq dwudfwruhv +orv sxqwrv vlood txhgdq frpr sxqwrv vlood shur fdpeld ho vhqwlgr gh vxv ydulhgdghv hvwdeohv h lqhvwdeohv, | sru or wdqwr ho qxhyr srwhqfldo gh qr0htxloleulr gheh vhu pðqlpr hq orv qxhyrv dwudfwruhv gho vlvwhpd +l1h1 orv dqwljxrv uhshoruhv,1 Sru rwur odgr frprE^fxpsoh frq od hfxdflöq gh Kdplowrq0Mdfrel sdud ho vlvwhpd ruljlqdo

2'^>DE^Y Y^^>

Y

Y^^D n^>E^Y Y^^> ' f

hqwrqfhv E^ fxpsoh frq od hfxdflöq gh Kdplowrq0Mdfrel sdud ho vlvwhpd frq lqyhuvlöq whpsrudo sxhv

2'^>DE^YE Y^^>

YE

Y^^D n E^>E^YE Y^^> ' f

6Hvwh fdvr fruuhvsrqgh d uxlgr pxowlsolfdwlyr/ r vhd fxdqgr odv fdqwlgdghvj_l hq +5, vrq ixqflrqhv ght1

48

(22)

49

| gh dtxð ghgxfhq txh vlE^hv ho qxhyr srwhqfldo gh qr0htxloleulr hqwrqfhv gheh vhu pðqlpr hq orv dwudfwruhv gh hvwh vlvwhpd | sru or wdqwr E^ hv pä{lpr hq orv uhshoruhv gho vlvwhpd ruljlqdo1 Ho sureohpd frq hvwh dujxphqwr hv txh/ vl elhqE^fxpsoh frq od qxhyd hfxdflöq gh Kdplowrq0Mdfrel/ qdgd dvhjxud txh hvwh vhd ho qxhyr srwhqfldo gh qr0htxloleulr |d txh xq plvpr vlvwhpd sxhgh whqhu ydulrv ixqflrqdohv gh O|dsxqry shur vror xqr gh hvwrv hv hvfrjlgr frpr srwhqfldo gh qr0htxloleulr/ ho fxdo fxpsoh frq vhu pðqlpr hq orv dwudfwruhv1 Or dqwhulru vh yh fodudphqwh xvdqgr do vlvwhpd +4;, frpr hmhpsor/

hvwh vlvwhpd wlhqh grv ixqflrqdohv gh O|dsxqry frqrflgrv^JE%c +| ^JE%c +/

grqgh ho sulphur fxpsoh frq od frqglflöq gh vhu pðqlpr hq orv dwudfwruhv | sru or wdqwr hv ho srwhqfldo gh qr0htxloleulr hq ho grplqlr 4 % 4>

s>2 + s>2 +od fdxvd gh od uhvwulfflöq d hvwh grplqlr vh h{solfduä hq od vljxlhqwh vhfflöq,/ shur do lqyhuwlu ho wlhpsr orv qxhyrv ixqflrqdohv gh O|dsxqry vrq ^JE%c + | ^JE%c + hq grqgh dkrud ho vhjxqgr hv pðqlpr hq orv qxhyrv dwudfwruhv | sru or wdqwr hv ho qxhyr srwhqfldo gh qr0htxloleulr +| qr^JE%c +,1 Hvwh qxhyr srwhqfldo gh qr0htxloleulr hv yäolgr hq od uhjlöq

%²

> n +²

>2 c

| sru or wdqwr/ hq hvwd uhjlöq/ od yhugdghud wudqvirupdflöq frq lqyhuvlöq whpsrudo hv

| $ |c ^J $ ^J

Frpr vh yhud päv dghodqwh hvwr |d dsduhfh hq prghorv gh frglphqvlöq 5 | qr vror hq prghorv srfr jhqìulfrv frpr ho gho hmhpsor +vlvwhpd +4;,, txh hv gh frglphqvlöq 8 +vh dmxvwdurq 6 sduäphwurv= k/q | D hq xq prghor gh frglphqvlöq 5,

(23)

Od Qr0Glihuhqfldelolgdg gho Srwhqfldo gh Qr0Htxloleulr

Frpr vh ylr hq od lqwurgxfflöq/ gh od irupxodflöq frq lqwhjudo ixqflrqdo gh od vroxflöq gh od hfxdflöq gh Irnnhu0Sodqfn/ vh oohjd d xqd h{suhvlöq sdud ho srwhqfldo gh qr0htxloleulr frpr xqd lqwhjudo d wudyìv gh xq fdplqr gdgr sru od vroxflöq gho vlvwhpd Kdplowrqldqr dvrfldgr d od plqlpl}dflöq gh od dfflöq suhvhqwh hq od lqwhjudo ixqflrqdo/ gh hvwr vh oohjd d od h{lvwhqfld gh sureohpdv gh qr0glihuhqfldelolgdg hq od yhflqgdg gh od vhsdudwul} ghelgr do frpsruwdplhqwr jhqìulfr gh od ydulhgdg lqhvwdeoh gho dwudfwru fhufd gh od vhsdudwul} ^7/ ;/ <`1 Hvwd surslhgdg hvwä dvrfldgd d vlvwhpdv kdplowrqldqr qr lqwhjudeohv +fdvr jhqìulfr,1 Rwur prwlyr gh srvleoh qr0glihuhqfldelolgdg hv od fr0h{lvwhqfld gh dwudfwruhv |d txh do sdvdu gh xqd fxhqfd gh dwudfflöq d rwud srguðdq suhvhqwduvh vdowrv hq od ghulydgd gho srwhqfldo ghelgr d txh ho sxqwr gh sduwlgd gh od lqwhjudo sdvd gh vhu xq dwudfwru d rwur hq odv glvwlqwdv fxhqfdv gh dwudfflöq/ | rwur prwlyr hv od fr0h{lvwhqfld hqwuh xq dwudfwru sxqwxdo | xq flfor oðplwh ^:`1 Sru ýowlpr/ xqd fdxvd gh qr glihuhqfldelolgdg txh qr kd vlgr phqflrqdgd hq od olwhudwxud/ hv ghe lgr d txh od ydulhgdg lqhvwdeoh gho dwudfwru gho vlvwhpd ghwhuplqlvwd/ txh vh kd wudqvirupdgr hq xq sxqwr vlood hq ho vlvwhpd Kdplowrqldqr/ sxhgh qr uhfxeulu frpsohwdphqwh vx fxhqfd gh dwudfflöq +hq ho vlvwhpd ghwhuplqlvwd, frq or fxdo kdeuðdq sxqwrv/

hq vx fxhqfd gh dwudfflöq/ txh qr sxhghq vhu dofdq}dgrv ghvgh ho dwudfwru gluhfwdphqwh | vh gheh sdvdu sru dojýq rwur sxqwr fuðwlfr +sxqwrv vlood r uhshoruhv, sdud ghvgh dkð oohjdu/ d wudyìv gh od ydulhgdg lqhvwdeoh gh hvh sxqwr fuðwlfr/ do sxqwr hq fxhvwlöq/ hv vreuh hvwr ýowlpr txh qrv h{whqghuhprv sdud prvwudu frq xq hmhpsor hvwd ixhqwh gh qr0glihuhqfldelolgdg1

4:

(24)

4;

Frqvlghuhprv ho vlvwhpd +49, | vx Kdplowrqldqr dvrfldgr M '

2ER²_%nD R²₊ n

> %%

>>2

>2

% +²

R_% n

>₂ ++ >₂

> nD>

>2

%² +

R₊ Odv hfxdflrqhv gh Kdplowrq vrq

%'> %%

> >2

>2

% +²nR%

+ '>2 ++ >2

> nD>

>2

%² +nD R+

R% '

>%²

> >2

>2

+²

R%n 2 >2

> nD>

>2

% + R+

R+ ' 2

>>2

>2

% + R%

>2+² >2

> nD>

>2

%²

R+

Hvwh vlvwhpd glqäplfr wlhqh xq ixqflrqdo gh O|dsxqry gdgr sru +4:, ^JE%c + '> %² n%^e

2 n>

>₂ %² +²

txh srghprv xwlol}du sdud frqvwuxlu xqd ydulhgdg lqyduldqwh +R_% ' ^Y_Y%^J/ R₊ '

Y^J

Y+, hq od fxdo od glqäplfd vh uhgxfh d R_% ' 2

> %n%n>

>2 % +²

R+ ' 2>

>₂ %² +

%'0> %n%n

>n>2

>₂

% +²

+'>2 ++ >2

> D>

>₂

%² +

Hv lqphgldwr txh hvwh vlvwhpd fruuhvsrqgh d od ydulhgdg lqhvwdeoh gh orv dwudfwruhv gho vlvwhpd ghwhuplqlvwd | ghelgr d txh orv sxqwrv vlood pdqwlhqhq vx hvwuxfwxud gh sxqwr vlood/ hq hvwd ydulhgdg lqyduldqwh/ vh oohjd d txh hvwd

(25)

4<

-2 -1 1 2

-1 1

Iljxud 9= Od sur|hfflöq vreuh ho sodqr +%c +, gh od ydulhgdg lqyduldqwh gho vlvwhpd Kdplowrqldqr dvrfldgr do ixqflrqdo^J

ydulhgdg qr uhfxeuh wrgr ho hvsdflr/ r phmru glfkr/ ghvgh ho dwudfwru qr vh sxhghq dofdq}du wrgrv orv sxqwrv fruuhvsrqglhqwhv d vx fxhqfd gh dwudfflöq hq ho vlvwhpd ghwhuplqlvwd | sru or wdqwr od lqwhjudo hq +44, gheh sdvdu sru rwur sxqwr fuðwlfr sdud fxeulu d dtxhoorv sxqwrv txh qr vrq fxelhuwrv sru od ydulhgdg lqhvwdeoh gh orv dwudfwruhv/ hq qxhvwur hmhpsor vh gheh sdvdu sru orv sxqwrv vlood sdud/ d wudyìv gh vx ydulhgdg lqhvwdeoh/ oohjdu d wrgrv hvwrv sxqwrv txh hvwdq ixhud gh od ydulhgdg lqhvwdeoh gho dwudfwru1

Vl dkrud qrv uhvwulqjlprv do vlvwhpd+4;, +D ' E>2*>², vh re wlhqh xqd ylvlöq päv fodud gh or phqflrqdgr hq ho säuudir dqwhulru |d txh ho vlvwhpd Kdplowrqldqr txhgd uhgxflgr d

R% ' 2

> %n%n>

>2 % +²

R₊ ' 2>

>2 %² +

%'0> %n%n

>n>2

>₂

% +²

+'>₂ ++

oxhjr/ ghqwur gh hvwd ydulhgdg lqyduldqwh/ + ' s>2 vrq ydulhgdghv lqydul0 dqwhv dvrfldgdv d od gluhfflöq lqhvwdeoh gh orv sxqwrv vlood | sru or wdqwr vrq odv iurqwhudv gh od ydulhgdg lqhvwdeoh gh orv dwudfwruhv |d txh xqd wud|hf0 wruld txh sduwh px| fhufd gh orv dwudfwruhv qr sxhgh sdvdu hvwd iurqwhud/

(26)

53

-2 -1 1 2

-1 1

Iljxud := Od sur|hfflöq vreuh ho sodqr +%c +, gh od ydulhgdg lqyduldqwh gho vlvwhpd Kdplowrqldqr dvrfldgr do ixqflrqdo ^J

oxhjr od ydulhgdg lqhvwdeoh gh orv dwudfwruhv hvwä uhvwulqjlgd d od uhjlöq 0 s>2 + s>2/ oxhjr ho ixqflrqdo gh O|dsxqry +4:, hv ho srwhqfldo gh qr0htxloleulr vror hq hvwd uhjlöq1 Or txh dkrud vh qhfhvlwd hv od ydulhgdg lq0 hvwdeoh gh orv sxqwrv vlood txh mxvwr hvwä gdgd sru ho ixqflrqdo gh O|dsxqry +4<,

^JE%c + ' 2

>%² >

>2 +² ₂

Frq ^J vh frqvwux|h od ydulhgdg lqyduldqwh

R_% ' Y^J Y% ' 2

> %n%n >

>2 % +²

R+ ' Y^J

Y+ ' 2>

>₂

> +n%² +n>

>₂ +

%'0> %n% n

>n>2

>₂

% +²

+'>₂ +n+

txh gd od ydulhgdg lqhvwdeoh gh orv sxqwrv vlood | hv/ dghpäv/ od ydulhgdg hvwdeoh gho uhshoru | uhfxeuh wrgr ho hvsdflr | sru or wdqwr vluyh frpr ho srwhqfldo gh qr0htxloleulr hq od uhjlöq hq txh ^J qr or hv/ oxhjr qxhvwur

(27)

54 srwhqfldo gh qr0htxloleulr hv gdgr sru wud}rv

E%c + '

;?

=

> %²n^%₂^e n ^>_>₂ %² +² cm+m s>₂

2

>%² ^>_>₂ +²₂

cm+m s>₂

Oxhjr ho srwhqfldo gh qr0htxloleulr hv qr0glihuhqfldeoh hq+ ' s>2 shur hv frqwlqxr hq wrgr ho hvsdflr/ hq sduwlfxodu hq+ ' s>2 sxhv

^JE%c s>2 ' ^JE%c s>2 ' %^e 2

(28)

55

(29)

Jhqhulflgdg gh odv surslhgdghv dqwhulruhv

Hq odv vhfflrqhv dqwhulruhv vh prvwudurq surslhgdghv suhvhqwhv hq prghorv px| hvshfðfrv gh frglphqvlrqhv 7 | 8 sdud orv vlvwhpdv +49, | +4;, uhvshf0 wlydphqwh |d txh d sduwlu gho prghor +48,/ gh frglphqvlöq 5/ vh lpsxvlhurq 5 | 6 ljxdogdghv uhvshfwlydphqwh/ shur dkrud prvwuduhprv txh sdud txh vh ghq odv surslhgdghv ghvfulwdv hq odv grv vhfflrqhv dqwhulruhv vror vh qhfhvl0 wdq lpsrqhu ghvljxdogdghv sdud orv sduäphwurv gho vlvwhpd +48, or fxdo qr dxphqwd od frglphqvlöq gho sureohpd txhgdqgr dvð gh frglphqvlöq 5 ^55`1

Frpr |d ixh phqflrqdgr dqwhv/ odv surslhgdghv vh suhvhqwdq ghelgr d txh/ hq od ydulhgdg lqhvwdeoh gho dwudfwru/ orv sxqwrv vlood vh pdqwlhqhq frpr sxqwrv vlood/ grqgh od ydulhgdg lqhvwdeoh vdoh hq od gluhfflöq gho hmh {/ | sru or wdqwr hvwd ydulhgdg qr sxhgh wrfdu do hmh { frq or fxdo olplwd od uhjlöq gh ydolgh} gh od ydulhgdg lqhvwdeoh gho dwudfwru |d txh orv sxqwr ghedmr gh hvd ydulhgdg qr sxhghq frqhfwduvh frq orv txh hvwäq vreuh hvd fxuyd |d txh hv xqd ydulhgdg lqyduldqwh1

Or txh kduhprv vhuä uhvroyhu od hfxdflöq gh Kdplowrq0Mdfrel gho vlvwhpd sdud rewhqhu od ydulhgdg lqhvwdeoh gho dwudfwru hq wruqr d od yhflqgdg gh orv hmhv | dvð rewhqhu odv frqglflrqhv vreuh orv sduäphwurv sdud txh vh fxpsod or

|d dqwhv phqflrqdgr ^4;/ 4</ 53`1

Vreuh ho hmh { +m+m , kdfhprv xqd h{sdqflöq gho srwhqfldo hq wruqr d +' f/ hv ghflu

^JE%c + 'sfE% nsE%+ns2E%+²nRE+ +53,

| hq ho hmh | +m%m , kdfhprv or plvpr sdud %

^JE%c + '}fE+ n}E+%n}2E+%²nRE% +54, 56

(30)

57

-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Iljxud ;= Hq od uhjlöq dfkxudgd vh uhvroyhuä od hfxdflöq gh Kdplowrq0Mdfrel/

sulphur vreuh ho hmh % | oxhjr vreuh ho hmh + | hq grqgh vh lqwhuvhfwdq vh shjduäq hvwdv grv vroxflrqhv1

Od hfxdflöq gh Kdplowrq0Mdfrel hv f '

2 Y^J

Y%

₂ n D

2 Y^J

Y+

₂

n E> %%k % +² Y^J

Y% n +55, n E>2 ++q %² + Y^J

Y+

Uhhpsod}dqgr +53, hq +55, gd ho vljxlhqwh frqmxqwr gh hfxdflrqhv D

2 sE%²n E>%%n

2s_fE%s_fE% ' f E>2 q%²n 2Ds2E%sE% n E>%%ns_fE%sE% ' f k%s_f n

2 s²n 2E>2q%²s2n 2Ds22 n E>%% ns_fs₂ ' f +56, sru od vlphwuðd gh+$ +/R₊ $ R₊ vh rewlhqh txhsE% ' f/ oxhjr sdud sf vh wlhqh txh

E>%%n

2s_fE%s_fE% ' f

(31)

58

| sru or wdqwr

s_fE% ' f ö s_fE% '2>%n 2% +57, Sru rwur odgr ho vlvwhpd Kdplowrqldqr/ sdud od ydulhgdg lqyduldqwh ghqlgd sru^J/ hv frpr vljxh

%'> %%k % +²n Y^J Y%

+'>2 ++ q %² +nD Y^J Y+

| do olqhdol}du hvwh vlvwhpd hq wruqr do sxqwr E%Jc +J vh rewlhqh od pdwul}

Mdfreldqd

# >%²_Jk +_J²n ^Y_Y%²2^JE%_Jc +_J 2k %_J +_Jn_Y+Y%^Y²^JE%_Jc +_J 2q %J +JnD_Y%Y+^Y²^JE%Jc +J >2+²_Jq %²_JnD^Y_Y+²2^JE%Jc +J

$ +58, Uhhpsod}dqgr/ hq hvwd h{suhvlöq ho srwhqfldo gdgr hq od h{sdqvlöq +53, | xvdqgr txhsE% ' f gd

>%²_Jk +²_Jns_fE%_J ns₂E%_J+²_J 2k %_J +_Jn 2s₂E%_J+_J 2q %J +Jn 2Ds₂E%J+J >2+_J²q %²_Jn 2Ds2E%J

Sru ho prphqwr vror ph lqwhuhvd or txh hvwä sdvdqgr hq ho hmh {/ oxhjr wrpduhprv+_J ' f | revhuyduhprv txh sdvd hq ho dwudfwru | hq ho uhshoru

>%²_Jns_fE%_J f

f >2q %²_Jn 2Ds2E%J

sulphur yhdprv txh sdvd hq ho dwudfwru sdud or fxdo wrpdprv %J ' s>/ | frpr or txh txhuhprv hv od ydulhgdg lqhvwdeoh gh hvwh dwudfwru lpsrqguhprv txh hq hvwd ydulhgdg vhd xq uhshoru hv ghflu

2>ns_fEs> f

f >2q >n 2Ds2Es>

gheh vhu ghqlgd srvlwlyd | sru or wdqwr vh lpsrqh txh s_fEs>:2> :f ) s2Es>: >2 nq >

2D :f

(32)

59

| sru or wdqwr/ gh od frqglflöq +57,/ vh ghgxfh txh sfE% '>%²n%^e

2

qrwhprv txh hqwrqfhv orv ydoruhv sduds_f |s2 hq%J 's> vrq s_fEs> ' e> ) s2Es> ' >2nq >

D

frq or txh vh fxpsoh txh ho dwudfwru vhd xq uhshoru hq hvwd ydulhgdg lqyduldqwh1 Xvdqgr wrgr hvwr hq od hfxdflöq sdud s₂ +56, vh oohjd d

E>%%s₂E% ' 2k%²E>%² n 2E>₂q%²s₂E% n 2Ds₂E%² +59, dkrud qrv wudvodgdprv do uhshoru | sru or wdqwr hydoxdprv hvwd hfxdflöq hq

%' f or txh qrv gd

s₂Ef E>₂nDs₂Ef ' f Hvwr lpsolfd txh

s2Ef ' f ö s2Ef '>2

D f

Hq ho fdvr txh uhvxowdvh vhu txhs2Ef '^>_D² f | ghelgr d txh hq%'s>

vh wlhqh txh s2Es> ' E>2 nq >*D : f | frpr s2 hv xqd ixqflöq frqwlqxd vh oohjd d txh h{lvwh %7 5ofcs>d wdo txh s2E7% ' f a s₂E7% : f vl dkrud hydoxdprv hq +59, frq %' 7% qrv gd txh

s₂E7% ' 27% k

hq frqvhfxhqfld xqd frqglflöq vxflhqwh sdud txhs2Ef 9'>2*D hv txhk f hqwrqfhv s₂Ef ' f1Gh wrgr hvwr vh ghgxfh txh ho uhshoru Efcf hq hvwd ydulhgdg hv xq sxqwr vlood sxhv hydoxdqgr od pdwul} Mdfreldqd hq %J ' f/

+J ' fwhqhprv

> f f >2

hq grqgh ho hmh { hv od ydulhgdg hvwdeoh | ho hmh | hv od lqhvwdeoh1Fdofxodqgr s₂ fhufd gho uhshoru +m%m , | frpr s₂ $ f fxdqgr % $ f hq +59, vh wlhqh

>%s₂E% ' 2k>%²n 2>2 s2E%

(33)

5:

', s₂E%* >k

>>2%²n %^2>²^*> Vl wrpdprv>2 : > hqwrqfhv whqguhprv sdud % shtxhôr txh

s2E%* >k

>>2%² :f

oxhjr sdudm%m a m+m ho srwhqfldo gh qr0htxloleulr hv ^JE%c +*>

n k

>>2+²

%² +5:,

Uhshwluhprv wrgr ho plvpr fäofxor shur dkrud hq ho hmh | +m%m ,1 Uhhpsod}dqgr +54, hq +55, vh rewlhqh ho vljxlhqwh frqmxqwr gh hfxdflrqhv

2 }E+²n E>2++nD

2}_fE+}_fE+ ' f +5;, E> k+²n 2}2E+}E+ n E>2++nD}_fE+}E+ ' f

q+}_f n D

2 }²n 2E>k+²}2n 2}22n E>2++nD}_f}₂ ' f +5<, Qxhydphqwh sru od vlphwuðd%$ %/ R% $ R% vh rewlhqh txh}E+ ' f/

oxhjr sdud}f vh wlhqh txh

E>2++nD

2}_fE+}_fE+ ' f

| sru or wdqwr

}_fE+ ' f ö }_fE+ '2

DE>++ +63, Yroylhqgr d od pdwul} Mdfreldqd +58, dkrud vreuh ho hmh |/ hydoxdqgr sdud

%' f/ whqhprv

> k+_J²n 2}2E+J f

f >₂+_J²nD}_fE+_J

| hvwr hydoxdgr hq ho uhshoru ++' f,

>n 2}2Ef f f >2nD}_fEf

(34)

5;

Do frpsdudu hvwr frq od pdwul} Mdfreldqd rewhqlgd dqwhulruphqwh hq ho uhshoru vh oohjd d txh

}2Ef '> a }_fEf ' f

| hqwrqfhv gh od hfxdflöq +5;, vh ghgxfh txh }fE% ' f Oxhjr od hfxdflöq sdud}2 +5<, vh uhgxfh d

2E>k+²}2n 2}22n E>2++}₂ ' f fx|d vroxflöq hv

}₂E+ ' E>₂+²^>^*>²^3k +^2>^*>²2+^2>^*>²U_I>₂

+ E>₂ 5²^>^*>²^3k35^32>^*>²³

kdflhqgr ho fdpelr gh yduldeoh ' 5²*>2 vh oohjd d od vljxlhqwh h{suhvlöq hq wìuplqrv gh odv ixqflrqhv Ehwd h Klshujhrpìwulfd +E@c Kc 28E@c K(S(5,

^54`

}2E+ ' E>2+²^>^*>²^3k

!

E>^3k3₂ E>

>2c>

>2 k+^2>^*>²

>³ >^>₂^*>²^3k28E>

>₂ nkn c>

>₂(>

>₂ n ( +²

>₂

frpr

28E@c K(S(+²*>2* n @ K

S >2+²nRE+^e

| dghpäv> >2 vl

>^3k3₂ E>

>2c>

>2 k9' f

hqwrqfhv }2E+ * n 7 +^2>^*>² sdud m+m vroxflöq txh qr fdo}d frq od rewhqlgd vreuh ho hmh {/ oxhjr od frqvwdqwh gheh ydohu

'>^3k3₂ E>

>2c>

>2 k n4

(35)

5<

Dvð od vroxflöq sdud}₂ txhgd }2E+ '>

E ⁺_>²₂^>^*>²^3k

28E^>_>₂ nkn c^>_>₂(^>_>₂ n (_>⁺²₂ H{sdqglhqgr hvwd h{suhvlöq sdud+ shtxhôr gd txh

}2E%* >

n k

>>₂+²

nRE+^e

oxhjr ho srwhqfldo hydoxdgr hq ho hmh | fhufd gho uhshoru +m%m a m+m , gd

^JE%c +* >

n k

>₂>+²

%²

txh frlqflgh shuihfwdphqwh frq ho rewhqlgr ghvgh ho hmh { +5:,1Or ýowlpr txh qrv idowd hv yhu txh rfxuuh hq ho sxqwr vlood1Sdud hoor hydoxdprv od pdwul}

Mdfreldqd hq ho sxqwr vlood +%_J ' f/ +_J 's>₂, or fxdo gd >k>2n 2}2Es>2 f

f 2>2nD}_fEs>2

shur frpr}_fEs>2 '}2Es>2 ' f hvwd pdwul} vh uhgxfh d >k>2 f

f 2>₂

or fxdo ghpxhvwud or txh txhuðdprv/ txh ho sxqwr vlood/ hq hvwd ydulhgdg lq0 yduldqwh/ hv gh qxhyr xq sxqwr vlood frq od gluhfflöq + hvwdeoh | od gluhfflöq

% lqhvwdeoh | sdud oohjdu d hvwr vror ixh qhfhvdulr lpsrqhu odv vljxlhqwhv ghvljxdogdghv

k fc > >2c ^>_>² q c knqn 2:f

frq or fxdo od frglphqvlöq qr dxphqwd gdqgr txh odv surslhgdghv gh0 vfulwdv hq odv grv vhfflrqhv dqwhulruhv vh gduäq jhqhulfdphqwh/ sru or phqrv/

hq frglphqvlöq 51

(36)

63

1 2 3 4 5

Iljxud <= Juäfrqyv>2*>odv frqglflrqhv vh fxpsohq hq od uhjlöq dfkxudgd1

1 2 3 4 5

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Iljxud 43= Juäfrk yv q hq od uhjlöq dfkxudgd vrq yäolgdv odv frqglflrqhv sdud suhvhqwdu ho ihqöphqr1

(37)

Sduwh LL

Lqhvwdelolgdg gh Idudgd| hq Ioxlgrv Dowdphqwh Ylvfrvrv

64

(38)

(39)

Lqwurgxfflöq

Fxdqgr xqd fdsd gh xlgr gh dowxud txh |dfh vreuh xq sodqr krul}rq0 wdo hv yleudgd yhuwlfdophqwh/ sdud dpsolwxghv vreuh xq xpeudo/ dsduhfhq rqgdv hvwdflrqduldv hq od vxshuflh oleuh +lqhvwdelolgdg gh Idudgd|,1Vhdq O%' E%c +5U² odv frrughqdgdv krul}rqwdohv/ 5 5U ho hmh yhuwlfdo | holmdprv ho ruljhq hq od vxshuflh oleuh/ fxdqgr ho vlvwhpd hvwä hq uhsrvr +ho sodqr hvwä hq 5 ',1Oodpdprv 1EO%c | +l1h 1 G U² U$U, do ghvsod}dplhqwr gh od vxshuflh oleuh | 1_O&E| +O& 5 U², vx wudqvirupdgd gh Irxulhu krul}rq0 wdo +frqvlghudprv ho vlvwhpd frpr lqqlwdphqwh h{whqglgr hq od gluhfflöq krul}rqwdo,1Sdud xq xlgr qr ylvfrvr Ehqmdplq | Xuvhoo^56` ghulydurq/ hq od dsur{lpdflöq olqhdo/ xqd hfxdflöq gh Pdwklhx sdud 1_O&E| gh od irupd +ho sxqwr uhsuhvhqwd od ghulydgd frq uhvshfwr do wlhpsr,

1_O&E| n /²_&1_O&E| ' f +64, grqgh/²_&'&|@?E& E}n &²*4hv od uhodflöq gh glvshuvlöq xvxdo sdud rqgdv gh vxshuflh +}hv od judyhgdg/ od whqvlöq vxshufldo |4od ghqvlgdg,1 Od hfxdflöq +64, fruuhvsrqgh d xq sìqgxor qr dpruwljxdgr | od ylvfrvlgdg gìelo kd vlgr lqwurgxflgd ihqrphqroöjlfdphqwh djuhjdqgr xq wìuplqr glvl0 sdwlyr d od hfxdflöq gh Ehqmdplq0Xuvhoo +EX, +64,1Hq hvwrv ýowlprv dôrv ho fdvr gh ylvfrvlgdg ixhuwh kd lqwhuhvdgr d pxfkrv dxwruhv1Hvwxglrv qxpìulfrv gh odv hfxdflrqhv gh Qdylhu0Vwrnhv kdq vlgr khfkdv ^57/ 58` | frpsdudgdv frq h{shulphqwrv1Vlq hpedujr qlqjxqd hfxdflöq vlpsoh/ txh mxhjxh dtxð ho uro gh od hfxdflöq gh EX/ kd vlgr sursxhvwd1Uhflhqwhphqwh Fhugd | Wludshjxl +FW, ghulydurq wdo hfxdflöq ^59/ 5:/ 5;/ 5<` sdud frqglflrqhv gh erugh uhdolv0 wdv1Od hfxdflöq FW hv gh qxhyr xqd hfxdflöq wlsr Pdwklhx txh fruuhvsrqgh d xq sìqgxor ixhuwhphqwh dpruwljxdgr frq frhflhqwhv txh glhuhq gh orv gh od hfxdflöq EX/ yäolgd sdud ylvfrvlgdg gìelo1Od hfxdflöq gh Fhugd0Wludshjxl ghvfuleh dvlqwöwlfdphqwh/ sdud ylvfrvlgdg ixhuwh/ od hyroxflöq olqhdo gh od vx0

66

(40)

67

shuflh oleuh gho xlgr | qxhvwur sursövlwr dtxð hv gdu xqd suxhed irupdo gh od ydolgh} gh hvwd ghvfulsflöq dvlqwöwlfd^63`1

(41)

Ghulydflöq gh od Hfxdflöq gh Fhugd0Wludshjxl

Sulphur prvwuduhprv od ghulydflöq gh od hfxdflöq FW sdud 1_O&E| fxdqgr ho xlgr hvwä hq uhsrvr | hqwrqfhv prvwuduhprv frpr vh djuhjd ho hihf0 wr gh od yleudflöq gho sodwr +wrgrv orv ghwdoohv sxhghq vhu hqfrqwudgrv hq orv wudedmrv suhylrv ^5;/ 5<`,1Ho sxqwr gh sduwlgd hv od ghulydflöq gh xqd hfxdflöq h{dfwd sdud1_O&E|txh hv qr orfdo hq ho wlhpsr ghelgr do hihfwr gh od phpruld1Frphq}dprv frq od hfxdflöq gh Qdylhu0Vwrnhv sdud od yhorflgdg OEO%c 5c | ' Ec ₂c frq odv frqglflrqhv gh erugh fruuhfwdv sdud xq xlgr ylvfrvr1Lqvlvwlprv hq hvwh sxqwr sxhvwr txh xqd hfxdflöq qr orfdo sdud1_O&E|

kd vlgr ghulydgd uhflhqwhphqwh ^66` shur lpsrqlhqgr frqglflrqhv gh erugh qr iðvlfdv hq ho irqgr gho sodwr or txh uhvwulqjh od ydolgh} gh od hfxdflöq do fdvr gh djxd surixqgd1Qrvrwurv lpsrqhprv hq od vxshuflh vxshulru odv frqglflrqhv flqhpäwlfdv xvxdohv txh uhodflrqdqO frq1EO%c || od ljxdogdg gh ixhu}dv

[ ,'

A_,?_, ' ER_JnE*-n *-₂ ? c ' c2c

grqghRJ hv od suhvlöq dwprviìulfd/E-c -2orv udglrv gh fxuydwxud hq odv grv gluhfflrqhv krul}rqwdohv/ ? ' E?c ?2c ? od qrupdo xqlwduld d od vxshuflh | A,ho whqvru gh vwuhvv txh wlhqh od irupdA,'R B,4DEY,Y,grqghD hv od ylvfrvlgdg |R od suhvlöq1Vreuh ho sodwr lpsrqhprv od frqglflöq gh erugh qr ghvol}dqwh OEO%c 5 ' c | ' f1Hvfulelprv O ' uO nO | oodpdprv d OEO%c 5c | ' Ec 2c od yhorflgdg glixvlyd sxhvwr txh frqwhqguä orv hihfwrv gh erughv ghshqglhqwhv gh od ylvfrvlgdg txh qr sxhghq vhu uhdol}dgrv sru xq wìuplqr srwhqfldo1Ghvsxìv gh olqhdol}du hq wruqr d od vroxflöq hvwdflrqdu0 ld +O ' fc Rr| ' RJ 4}5 gh od hfxdflöq gh Qdylhu0Vwrnhv suredprv txh

68

(42)

69

olqhdophqwh xqr wlhqh

EY|n 2D&²²1_O&E| n/²_&1_O&E| n EY_|n 2D&²

ULt& _O&E5c |

5'3n 2D&|@?& Y₅_O&E5c |

5'f' f +65,

Hvwd hfxdflöq h{dfwd uhodflrqd 1_O&E| d od wudqvirupdgd gh Irxulhu krul0 }rqwdo _O&E5c | gh od frpsrqhqwh yhuwlfdoEO%c 5c | gh od yhorflgdg glixvlyd1 Od ixqflöq_O& vdwlvidfh od hfxdflöq

Y|nDEY₅²&²

_O&E5c | ' f +66,

frq odv frqglflrqhv gh erugh

_O&E5c |

5'f '2D&²1_O&E| +67, dt?& _O&E5c | n&ULt& _O&E5c |o

5'f '&EY|n 2D&²1_O&E|

Od hfxdflöq +65, vhuä qxhvwud hfxdflöq h{dfwd sdud1_O&E| fxdqgr_O&E5c | vhd h{suhvdgr frpr xq ixqflrqdo gh 1_O&E| uhvroylhqgr odv hfxdflrqhv +66, | +67,1Od lqwhusuhwdflöq iðvlfd gh +65, hv fodud= orv hihfwrv gh orv grv erughv fru0 uhvsrqghq d orv grv ýowlprv wìuplqrv hq +65, | ho rwur wìuplqr dglflrqdo/ frq uhvshfwr d od hfxdflöq EX qr glvlsdwlyd +64,/ hv od wudvodflöqY|$Y|n 2D&² gh od ghulydgd whpsrudo txh srghprv lghqwlfdu frq ho hihfwr gh glvlsdflöq sru iulfflöq hq od uhjlöq gho prylplhqwr srwhqfldo gho xlgr ^5;`1Sxhvwr txh hvwdprv lqwhuhvdgrv hq ho frpsruwdplhqwr d wlhpsr odujr/ uhvroyhprv od hfxdflöq +66, wrpdqgr od frqglflöq lqlfldo hq|J $ 4 | rewhqhprv

_O&E| ' ] _"

3"_| i TdD&²E||ogE||c 51_O&E| +68, grqgh ho nhuqhogE|c 5sxhgh vhu fdofxodgr h{dfwdphqwh ^5;/ 5<` | ho fdudfwhu qr orfdo hq ho wlhpsr/ ghelgr d orv hihfwrv gh phpruld gh od hfxdflöq dxwöqr0 pd sdud1_O&E|rewhqlgd uhsod}dqgr +68, hq +65,/ hv dkrud h{soðflwd1Srghprv hvfulelu hvwd hfxdflöq qr orfdo h{dfwd irupdophqwh frpr xqd vhulh lqqlwd hq od ghulydgdv whpsrudohvY_|^E?'Y^?*Y|^?/ ?1Ho uhvxowdgr hv

(43)

6:

[

?D

S?Y_|^E?1_O&E| n/_&²1_O&E| ' f +69, grqgh orv frhflhqwhv S? vhudq hvshflfdgrv päv dghodqwh1Vl ho sodwr hvwä yleudqgr yhuwlfdophqwh vx frrughqdgd 5_R vhuä 5_RE| ' n )E ' l|/

grqgh)Ewlhqh shuðrgr 2Z/ 4@ m)Em'E1Od judyhgdg hihfwlyd }eE|

hq ho vlvwhpd gh uhihuhqfld hq ho fxdo ho sodwr hvwä hq uhsrvr hv +ho sxqwr uhsuhvhqwd ghulydgdv frq uhvshfwr do wlhpsr,

}_eE| '}n 5_RE| '}E n KEl|

grqgh E ' )E +sulpdv vrq ghulydgdv frq uhvshfwr d x, |K ' l²*}1 Od hfxdflöq sdud hvwd vlwxdflöq hv rewhqlgd gh +65, r +69, uhhpsod}dqgr } sru}eE| hq od h{suhvlöq gh /_&²1Hvwr fdpeld /²_& d /&E|² gdgr sru

/&E|² '/_&²E n K&El|c K&' K

n&²*4} +6:, Orv frhflhqwhvS_? hq +69, vrq E &

S_? ' E^?

ED &²^?32 S_?E c ? +6;, S_?E '[

RD

@RE

RE^?3 c ? +6<,

S2E ' n[

RD

@RE

RE IE

2 +73,

SE 2JE +74,

Dtxð IE hv gh rughq E sdud wrgr plhqwudv txh JE sdud : / JE ₂2 sdud / @RE vrq ixqflrqhv srvlwlydv dglphqvlrqdohv dfrwdgdv gh | +R,

RE ' nkRE

² c R²Z² kRE EE2Rn *2²Z² +75,

(44)

6;

grqgh k_RE vrq ixqflrqhv gh 1Odv h{suhvlrqhv h{soðflwdv gh wrgdv odv ixqflrqhv dqwhulruhv sxhghq vhu ylvwdv hq ^5;/ 5<`1Uhhpsod}dqgr1& ' i TEr|

hq +69, orv ydoruhv ghrhvwäq ghwhuplqdgrv sru od uhodflöq gh glvshuvlöq +yhu wdpelìq ^57/ 64`, (-Er ' 8Er n/_&² grqgh

8Er ' Ern 2D&²² nD²&^²n&²

ULt

e^&t?E^²n&² t?E^

&t?E^ U Lt^t? ULtE^

n eD²&|@?^t?E^ t?&ULtE^ U Lt

&t?E^ U Lt^t? ULtE^ +76, frq^ s

r*Dn&²1Hq wìuplqrv pdwhpäwlfrv whqhprv hq +69, xq rshudgru svhxgr0glihuhqfldo | vx vðperor hv od ixqflöq (-Er^65` | qrwdprv txh odv surslhgdghv +6;075, vrq frqvhfxhqfld gluhfwd gh xqd h{sdqvlöq gh Plwwdj0 Orh hu ^5;/ 5<`gh 81Frqvlghudprv dkrud od hfxdflöq +69, frq iru}dplhqwr +/_&² hv uhsod}dgr sru/&E|² gdgr sru +6:,,= uhhpsod}dqgr' l|/ Y|' lY/

| pxowlsolfdqgr sruED &²³² srghprv hvfulelu +69, hq od irupd dglphqvlrqdo [

?D

E#^?S_?EY^E^?1&E nSJEc 1&E ' f +77,

SJEc ' /&E|²

ED &²² ' |@?E nq ²

k E n K&E +78, 0 l²

D c k D²

} c q

4 } ² # 0

² +79,

Hq odv hfxdflrqhv od ghshqghqfld hq orv sduäphwurv dglphqvlrqdohvE0c kc qc cK hv h{lelgd h{soðflwdphqwh1Od hfxdflöq Fhugd0Wludshjxl hv rewhqlgd gh +77,

pdqwhqlhqgr vror orv sulphurv wuhv wìuplqrv/ l1h1 kdvwd ' 2 hq od vxpd1 Hq or txh vljxh ghulyduhprv odv frqglflrqhv pdwhpäwlfdv txh shuplwhq ho xvr gh od hfxdflöq wuxqfdgd fhufd gh od lqhvwdelolgdg1Vl srqhprv R '# Y od hfxdflöq +77, sxhgh vhu hvfulwd

MEc R'# Y1&E ' f

(45)

6<

frq

MEc R '[

?D

S?ER^?nSJEc +7:, Qxhvwur lqwhuìv hvwä hq ho frpsruwdplhqwr dvlqwöwlfr sdud# 1Kdfh0 prv xq dqvdw} wlsr ZNE

1& ' i³^#