T E S I S - Departamento MyM

Quisiera agradecer a los investigadores del Grupo de Ingeniería Costera y Portuaria del Instituto de Ingeniería de la UNAM, dr. Tal es el poder de la verdad, que se difunde como el bien.

Elementos de Hidrodin´ amica

Descripci´ on del Movimiento de un Fluido

Ecuaciones de Conservaci´ on

ELEMENTOS DE HIDRODIN ´ AMICA 3

El Fluido Ideal

Flujo Potencial

Ecuaciones B´ asicas de Ondas sobre la Superficie Libre

VARIABLES DE SUPERFICIE Y EL OPERADOR DE DIRICHLET-NEUMANN 5 de la superficie libre con respecto al nivel del agua en reposo en la posición horizontal x en un tiempo t. Se de la superficie libre con respecto al nivel del agua en reposo en la posición horizontal x en un tiempo t.

Ecuaciones B´ asicas en t´ erminos de las Variables de Superficie y el Operador Dirichlet-Neumann

El Operador Dirichlet-Neumann

Las preguntas sobre la existencia estricta de la solución ϕ surgen de la teoría básica de la ecuación de Laplace y no se discutirán aquí (ver [5]). Aunque se ha definido el operador G(η), no se proporciona ninguna fórmula explícita para él.

De esta forma, el operador de Dirichlet-Neumann transforma la condición de Dirichlet sobre (∂D)1 en una función asociada a la derivada normal en la frontera en cuestión. Vale la pena señalar que en la definición se supone que (∂D)1, (∂D)2 son suficientemente diferenciables, de modo que n se define en el límite, que η, Φ son tales que ϕ existe y es única, y que ∂ ϕ ∂ˆexiste en todo∂D.

VARIABLES DE SUPERFICIE Y EL OPERADOR DIRICHLET-NEUMANN 7 Demostraci´ on

En este capítulo veremos que las ecuaciones de ondas en el agua son un sistema hamiltoniano. La estructura hamiltoniana, definida más adelante, es muy útil por varias razones; En este trabajo se utilizará principalmente para simplificar, en combinación con el material del Capítulo 3 del Operador Dirichlet-Neumann, el sistema de ecuaciones para nuestro modelo de ondas de agua sobre un flujo potencial ideal.

Introducci´ on al formalismo Hamiltoniano de Sistemas Conti- nuos

Ecuaciones de Hamilton en sistemas de dimensi´ on finita

Como comentario, mencionamos que existen definiciones más generales del sistema hamiltoniano que permiten definirlos en variantes y no solo en el espacio euclidiano; Un ejemplo de esto es el caso de un cuerpo rígido (ver [6]). Proposición 3 (Independencia temporal del hamiltoniano) Sea el sistema hamiltoniano tal que H =H(q,p); es decir, H no depende explícitamente del tiempo.

Ecuaciones de Hamilton en Sistemas Continuos

En otros casos, como en el ejemplo mostrado, las ecuaciones dinámicas están determinadas por otros argumentos y es interesante saber si el sistema tiene una estructura hamiltoniana. En el caso en que H se interpreta como la energía del sistema, el resultado anterior muestra la Conservación de Energía en el caso en que el Hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo.

Las versiones estrictas de las definiciones de derivadas direccionales y variacionales utilizan conceptos de análisis funcional que no se utilizarán en este trabajo. Definición 6 (Derivadas variacionales del hamiltoniano) Definimos δHδq como la derivada variacional de H|X×{p} con respecto a la variable q.

Formulaci´ on Hamiltoniana del problema de ondas en agua

En cualquier caso, nuestras definiciones formales corresponden al uso común de los términos derivadas direccionales y variacionales en física teórica (ver [6]); Por tanto, la teoría desarrollada hasta ahora en esta sección nos permite extender formalmente la noción de estructura hamiltoniana a sistemas con infinitos grados de libertad. La definición es análoga para el caso en el que el hamiltoniano H = H(q,p,t) depende del tiempo.

EL PROBLEMA DE ONDAS EN AGUA EN FORMA HAMILTONIANA 13

La Energ´ıa del Fluido y el Hamiltoniano asociado al sistema

De lo que hemos desarrollado hasta ahora, vemos que la energía del líquido en reposo (η= 0,K= 0) es Eo=−Ch. Vale la pena enfatizar que después de haber podido escribir la energía E del líquido en términos de variables de superficie y definir el hamiltoniano de Zakharov H (2.12) sobre la base de E, es posible derivar las ecuaciones de evolución de H .Z en el análisis del sistema a partir de las ecuaciones canónicas de Hamilton en los sistemas, vuelve a ser evidente que el comportamiento del sistema depende de las variables de superficie η y Φ.

Propiedades B´ asicas

Deducci´ on de las f´ ormulas para los t´ erminos G j (η)

De la definición de tanh(hD) se puede demostrar que dicho operador es lineal, que conmuta con D y que se cumple tanh(hD)eipx= tanh(hp)eipx, lo que se deduce de queeipx=R. De manera similar, observando las expresiones (3.26) y (3.27), tenemos que todo Gj, j >1 es una composición de operadores lineales y por tanto lo es un operador lineal en la funcióneipx, p∈R.

Los primeros t´ erminos de la serie de G(η)

La teoría de ondas largas es un procedimiento para expandir las ecuaciones de ondas del agua a dos pequeños parámetros adimensionales, α y β, lo que nos permite obtener ecuaciones aproximadas más simples. La teoría de onda larga que presentamos es una extensión de las ideas de Boussinesq, Korteweg y de Vries, donde la aproximación de las ecuaciones se realiza de forma sistemática.

Ecuaciones de ondas en agua en variables adimensionales

Expansi´ on del operador Dirichlet-Neumann

ECUACIONES DE ONDAS EN AGUA EN VARIABLES ADIMENSIONALES 25

Las Ecuaciones de Hamilton

ECUACIONES DE ONDAS EN AGUA EN VARIABLES ADIMENSIONALES 27

Aproximaci´ on del Hamiltoniano y el Sistema Boussinesq

APROXIMACI ´ ON DEL HAMILTONIANO Y EL SISTEMA BOUSSINESQ 29

En (4.46) tenemos una ecuación que debe satisfacer sólo el potencial Φ∗; Si esto se resuelve, la forma funcional de la superficie libre η∗ queda definida por (4.47). Por tanto, para encontrar la evolución de las ondas en el agua según las relaciones de Boussinesq obtenidas basta con resolver la ecuación (4.46).

La Ecuaci´ on Korteweg-de Vries y su relaci´ on con el Sistema Boussinesq

Por otro lado, si analizamos la forma de la ecuación (4.46), queda claro que en este modelo se suman a la propagación lineal de las ondas (dada por las dos primeras sumas, que a su vez corresponden a la ecuación de ondas). asociados a las ondas largas (típicas de la tercera suma, del factor β) y a los efectos de amplitud no lineales (representados por la cuarta suma, del coeficiente α, formado por derivadas de Φ∗ multiplicadas entre sí). LA ECUACIÓN KDV Y EL SISTEMA BOUSSINESQ 33Sin embargo, debemos observar que J y K dependen sólo de η∗.

La Teor´ıa de Solitones de la Ecuaci´ on KdV para las Ondas Solitarias

Soluci´ on KdV de tipo onda solitaria

ONDAS SOLO Y SOLITONES KDV 35 Aplicando estas relaciones a la ecuación KdV (4.60), tenemos eso. Aplicando estas relaciones a la ecuación KdV (4.60), tenemos eso. 4.63) Integrando la última igualdad y usando las condiciones sobre η y sus derivadas en (4.61), resulta que. El problema de la onda de dos solitones y la solución de dos solitones de la ecuación de KdV.

El problema de dos ondas solitarias y la soluci´ on de dos solitones de la ecuaci´ on KdV

Por supuesto, A es la altura máxima de la onda solitaria (su amplitud); El parámetro α tiene el mismo significado que al principio de este capítulo. Algunos autores llaman al factor 1/b β (ver [17]); Sin embargo, no se seguirá esta convención ya que no es adimensional. 4.70) Es importante observar la relación entre la amplitud A y la velocidad de la onda solitaria.

ONDAS SOLITARIAS Y SOLITONES KDV 37

Ahora discutiremos cómo algunas soluciones simples de (4.83) corresponden a soluciones exactas de (4.82) para problemas de ondas solitarias. ONDAS SOLO Y SOLITONES KDV 39De los cambios de variable (4.80), se pasó de las soluciones η a (4.79), visto desde un marco.

ONDAS SOLITARIAS Y SOLITONES KDV 39 De los cambios de variable (4.80), usados para pasar de las soluciones η a (4.79) vistas desde un marco

De esta manera, la solución al problema de las dos ondas solitarias viene dada por los términos O(), que representan una simple superposición de las ondas solitarias sumadas al término cruzado f1f2 asociado a la interacción ´on correspondiente a O(2) (no término cuadrático aparece en el mismo fj ). Usando la transformación logarítmica, encontramos la solución W del problema de dos ondas solitarias en la ecuación KdV normalizada (4.82) dada por.

ONDAS SOLITARIAS Y SOLITONES KDV 41

La interacci´ on de dos solitones en la Ecuaci´ on KdV

Ahora estamos en una posición cerca de la cresta de la onda 2, el origen de ξ2, por lo que ξ2≈0. Sustituyendo los límites (4.101) en la solución (4.96) de dos ondas solitarias (manteniendo solo los términos cuadráticos en f1, ya que son los más grandes), encontramos que la forma de la superficie libre aproximadamente:.

ONDAS SOLITARIAS Y SOLITONES KDV 43

Ahora estudiamos la región a través de la cual esperaríamos encontrar la cima de la onda grande 2 si permanece después de su interacción con la onda pequeña 1, entonces ξ2 ≈0. ONDAS SOLO Y SOLITONES KDV 45 la onda 2 estaría muy por delante de la onda menor 1, debería ser ξ10.

Antecedentes experimentales

Generaci´ on de ondas solitarias con un pist´ on

Esta última sección de la Tesis muestra el trabajo experimental sobre la interacción de ondas solitarias en el agua desarrollado en el Laboratorio de Olas del Instituto de Ingeniería de la UNAM, el cual coordina el Dr. En algunos casos, la altura de la onda de dispersión KdV es el doble que la de la onda de Rayleigh (las alturas mencionadas se registraron a 20 m del fondo del canal donde se originan las ondas).

ANTECEDENTES EXPERIMENTALES 49

Interacci´ on de ondas solitarias en agua

A partir de sus estudios numéricos, encuentran que luego de la interacción de copropagación, se observa un aumento en la amplitud de la onda grande, no mayor al 0,1%, mientras que la más pequeña pierde su amplitud (sin embargo, este fenómeno no cambia significativamente monotónico con la amplitud de dos ondas solitarias). La altura máxima de la superficie del agua es siempre menor que la altura (final) de las olas más grandes y mayor que la de las más pequeñas.

ANTECEDENTES EXPERIMENTALES 51

Primero, una pequeña cresta es absorbida y luego reemitida desde la onda más grande, seguida por una región central de dos crestas. Si definimos A2 como la altura de la ola más grande y A1 como la altura de la más pequeña, la transición del tipo de colisión A a B se produce teóricamente cuando: AA2.

Laboratorio de Oleaje del Instituto de Ingenier´ıa de la UNAM

Generaci´ on de Oleaje

Sin embargo, descubrieron que las transiciones entre regímenes de colisión no son funciones simples de la relación de amplitudes, que varían según el valor de A1 o A2. En realidad dicha velocidad infinita es obvia, ya que realmente debería haber dos crestas tan juntas que no se puedan distinguir, lo que al final aumenta la altura de la cresta más pequeña.

CANAL DE OLAS II-UNAM 53

Instrumentos de Medici´ on: Sensores Resistivos

Los instrumentos utilizados para medir el nivel del agua en posiciones fijas del canal fueron sensores resistivos de nivel de agua (Fig. 5.4). La calibración implica tomar un nivel de agua de referencia, normalmente el del agua en reposo, y poner a cero los voltajes de todos los sensores en ese nivel (mediante potenciómetros).

EXPERIMENTOS DE CRUCE DE DOS ONDAS SOLITARIAS 55

Adquisici´ on de Datos

Experimentos de cruce de dos ondas solitarias

Planeaci´ on y Desarrollo Experimental

Por estas razones, se decidió proceder de la última manera descrita para generar ondas solitarias en nuestros experimentos. El tiempo τint entre las sucesivas generaciones de ondas se determinó empíricamente para cada valor de la altura más pequeña.

EXPERIMENTOS DE CRUCE DE DOS ONDAS SOLITARIAS 57

EXPERIMENTOS DE CRUCE DE DOS ONDAS SOLITARIAS 59

An´ alisis de Datos y Resultados

Este programa permite al usuario seleccionar los intervalos de tiempo de medición de interés para cada sensor y mostrar los extremos de olas individuales observadas en los perfiles de altura inicial y final. Luego compara las ondas individuales antes y después del cruce (mostrando ambas en un gráfico), compara las variables asociadas con ellas con los valores predichos por la teoría de ondas largas (especialmente con los derivados de la solución de KdV ajustado) y muestra gráficas de medidas de altura vs.

EXPERIMENTOS DE CRUCE DE DOS ONDAS SOLITARIAS 63

Luego, en la Figura 5.23, se observa que al separar el apéndice de la cresta principal emerge una pequeña cresta con una altura del orden de milímetros. En la figura 5.24, que corresponde a S6 (XS6 =19,77m), se observa que la corrugación detrás de la cara se ha suavizado y que la pequeña cresta que emergió antes es sólo una proyección en el apéndice.

EXPERIMENTOS DE CRUCE DE DOS ONDAS SOLITARIAS 73

En las Figuras 5.40 y 5.41 de los ensayos experimentales se observa la separación de los picos, tanto en la gráfica teórica como en la experimental, aunque se adelanta el ajuste de KdV con relación a las mediciones en cuanto a la fase de interacción, como en el ensayo anterior. gráficos. Tanto la onda mayor como la menor emergen, tras la interacción, con alturas inferiores a las originales, pero a medida que se van separando van aumentando de altura.

EXPERIMENTOS DE CRUCE DE DOS ONDAS SOLITARIAS 81

De esta manera, el experimento presentado también muestra una interacción de tipo solitón, con las diferencias ya mencionadas respecto a la solución de dos solitones de la ecuación KdV, quizás un poco menos para llegar a su conclusión. Dado que, en cierto sentido, las ondas solitarias "intercambian" posiciones (ya que antes del cruce la onda pequeña está delante y después de la interacción aparece detrás), podemos esperar que el cambio de fase de la onda pequeña sea negativo y el de la onda más grande. la onda grande es positiva (y de hecho esto es lo que predice la solución de dos solitones de la ecuación KdV; compare las fórmulas (4.100) y (4.103) con (4.109) y (4.111), respectivamente), o de manera equivalente, que la El tiempo de llegada cuando hay interacción entre las olas es, para la ola menor, mayor que cuando no hay interacción, y para la ola mayor, menor.

EXPERIMENTOS DE CRUCE DE DOS ONDAS SOLITARIAS 83

Se observa que para la onda pequeña el tiempo de llegada a S11 en los experimentos de interacción es 0.6 s mayor que el tiempo calculado sin interacción, que era el esperado por lo mencionado anteriormente. EXPERIMENTOS DE CRUCE DE DOS ONDAS SIMPLES Como en el experimento anterior, el tiempo de llegada en los experimentos de cruce es de la onda.

EXPERIMENTOS DE CRUCE DE DOS ONDAS SOLITARIAS 85 Como en el experimento anterior, el tiempo de llegada en los experimentos de cruce es, para la onda

Finalmente, se estudió el problema de la interacción de dos ondas solitarias en la ecuación KdV, que predice una interacción solitaria entre ellas. Sin embargo, a partir de la mitad de la interacción existen diferencias cualitativas significativas.