Tema 5: Contrastes de hip´ otesis

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Tema 5: Contrastes de hip´ otesis

Estad´ıstica Aplicada (Bioqu´ımica). Profesora: Amparo Ba´ıllo Tema 5: Contrastes de hip´otesis 1

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Planteamiento del problema

SeaX una v.a. con distribución de probabilidad dada por un modelo paramétrico cuya expresión matemática es totalmente conocida a excepción de algún parámetro desconocidoθ∈Θ.

SeaX1, . . . ,Xn una muestra aleatoria de la poblaciónX. Objetivo:Dada una partición del espacio paramétrico

Θ = Θ0∪Θ1, deseamos decidir, en base a la muestra obtenida, si θ∈Θ₀ o siθ∈Θ₁. Queremos contrastar

H0 :θ∈Θ0 (hip´otesis nula) H1 :θ∈Θ1 (hip´otesis alternativa)

Un test para contrastar estas dos hipótesis consiste en proporcionar una regla de decisión que, a cada posible observación de la

muestra (x , . . . ,x ), le asigne una decisi´on: aceptar o rechazarH .

(3)

Espacio muestral

(x

1

,...,x

n

)

(x

1

,...,x

n

) Región crítica o de rechazo R

Región de aceptación A

Rechazo H

0

Acepto H

0

TEST

Decisión

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Posibles errores de un test:

Error de tipo I:RechazarH0 cuandoH0 es cierta.

Error de tipo II:Aceptar H₀ cuandoH₀ es falsa.

Lo ideal ser´ıa

0 = M´axima probabilidad de error de tipo I = m´ax

θ∈Θ0

P_θ(R) y

0 = M´axima probabilidad de error de tipo II = m´ax

θ∈Θ₁P_θ(R^c).

Pero, cuando la probabilidad de uno de los dos errores disminuye, la probabilidad del otro aumenta.

(5)

Lo que en realidad se hace (teor´ıa de Neyman-Pearson):

1. Acotar la m´axima probabilidad de error de tipo I.

• Se fija un nivel de significaci´on α∈(0,1). T´ıpicamente α= 0.05.

• Se busca una regi´on de rechazo R tal que la m´axima probabilidad de error de tipo I sea menor o igual que α.

2. Minimizar la probabilidad de error de tipo II. Se intenta buscar una regi´on de rechazo R que minimice la m´axima probabilidad de error de tipo II.

Consecuencia: Las hip´otesis H0 y H1 no son “sim´etricas”.

Los test de hip´otesis suelen ser conservadores con la hip´otesis nula:

hace falta mucha evidencia muestral para rechazarH₀.

(6)

Contrastes en poblaciones normales

Contrastes sobre la media µde una poblaci´on normal

•Sea X1, . . . ,Xn una muestra deX ∼N(µ, σ) conσ desconocido.

H₀:µ=µ₀ R=

(x₁, . . . ,x_n) :|¯x−µ₀| ≥t_n−1;α/2 s

√n

H0:µ≤µ0 R=

(x1, . . . ,xn) : ¯x−µ0 ≥tn−1;α s

√n

H0:µ≥µ0 R=

(x1, . . . ,xn) : ¯x−µ0 ≤tn−1;1−α

√s n

En todo contraste las regiones de rechazo se pueden expresar en términos del estad´ıstico del contraste, una función de la muestra cuya distribución de probabilidad es (al menos aproximadamente paran grande) totalmente conocida bajo la hipótesis nulaH0 (o en la frontera entreH yH , que es la situación más desfavorable

(7)

En loscontrastes acerca de la media de una poblaci´on normalel estad´ıstico del contraste es elestad´ıstico t

t= X¯−µ0

S/√ n ,

que sigue una distribuci´ont de Studenttn−1 si µ=E(X) es igual aµ0. Por eso estos contrastes reciben el nombre det-tests. Las regiones de rechazo se pueden expresar de manera equivalente as´ı:

H₀ :µ=µ₀ R=

(x₁, . . . ,x_n) :|t| ≥t_n−1;α/2 H₀ :µ≤µ₀ R={(x₁, . . . ,x_n) :t ≥tn−1;α} H0 :µ≥µ0 R={(x₁, . . . ,xn) :t ≤tn−1;1−α} C´omo hacer un contraste de la t con R:

help(t.test)

t.test(x, y = NULL,

alternative = c("two.sided", "less", "greater"), mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE, conf.level =

0.95,...)

(8)

Ejemplo 5.1:Se certifica que un material estándar de referencia de un suelo contiene 94.6 ppm de un contaminante orgánico. Un análisis repetido arrojó los siguientes resultados: 98.6, 98.4, 97.2, 94.6 y 96.2 ppm. A un nivel de significaciónα= 0.05 ¿hay suficiente evidencia estad´ıstica para concluir que los resultados difieren del valor esperado?. Si se disminuyeα a 0.01, ¿se rechazar´ıaH0?.

(9)

Ejemplo 5.1 (cont.):

X = c(98.6, 98.4, 97.2, 94.6, 96.2) t.test(X,alternative="two.sided",mu=94.6) One Sample t-test

data: X

t = 3.2421, df = 4, p-value = 0.03161

alternative hypothesis: true mean is not equal to 94.6 95 percent confidence interval:

94.94468 99.05532 sample estimates:

mean of x 97

¡Qué curioso! Rno parece dar una solución al problema del contraste. ¿O s´ı? Presentemos el concepto de p-valor (página 31).

(10)

Relaci´on entre contrastes de hip´otesis e intervalos de confianza

La regi´on de rechazo R =

(x₁, . . . ,x_n) :|¯x−µ₀| ≥t_n−1;α/2 s

√n

del anterior contraste

H₀ :µ=µ₀ H1 :µ6=µ0 α equivale a

R ={(x₁, . . . ,xn) :µ0∈/ IC1−α(µ)}.

En general, en muchos casos dehipótesis nula simple (es decir, del tipoH₀ :θ=θ₀) el test usual rechaza H₀ (al nivel de significación α) si y sólo si el intervalo de confianza para θde nivel de confianza

(11)

Contrastes sobre la varianza σ² de una poblaci´on normal

•Sea X₁, . . . ,X_n una muestra deX ∼N(µ, σ) conσ desconocido.

H₀:σ=σ₀ R=

(n−1)s²

σ₀² ∈/ (χ²_{n−1;1−α/2}, χ²_n−1;α/2)

H0:σ≤σ0 R=

(n−1)s²

σ₀² ≥χ²_n−1;α

H0:σ≥σ0 R=

(n−1)s²

σ₀² ≤χ²_n−1;1−α

El estad´ıstico del contraste χ² = (n−1)S²

σ²₀ =

Pn

i=1(Xi−X¯)²

σ₀² (X-squared en R) sigue una distribuci´on χ²_n−1 si σ²=V(X) es igual a σ²₀. Para hacer este contraste con R hay que instalar el paquete TeachingDemos. Primero pinchar en Install Packages:

(12)

(13)

En el cuadro de di´alogo

escribirTeachingDemosen el hueco y pinchar enInstall. Si el paquete se instala correctamente, en la consola aparece:

> install.packages("TeachingDemos")

Installing package(s) into C:/R/R-2.15.1/library (as lib is unspecified)

probando la URL ’http://cran.es.r-project.org/bin/windows/contrib/2.15/

TeachingDemos_2.9.zip’

Content type ’application/zip’ length 772933 bytes (754 Kb) URL abierta

downloaded 754 Kb

package TeachingDemos successfully unpacked and MD5 sums checked The downloaded binary packages are in

C:\usuarios\AppData\Local\Temp\Rtmp00ZpFR\downloaded_packages

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Luego hay que “cargar” el paquete instalado, marc´andolo en la lista de paquetes disponibles:

Observemos que, al tratar de cargar el paquete, en la consola aparece el aviso de que la versi´on de R que el autor de

TeachingDemosutiliz´o era m´as moderna que la que yo utilizo.

Esto no tiene por qué suponer ningún problema, a menos que en el paquete se utilicen funciones de la versión más reciente.

La funci´on espec´ıfica deTeachingDemosque utilizaremos es sigma.test.

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X = c(98.6, 98.4, 97.2, 94.6, 96.2) sigma.test(X)

One sample Chi-squared test for variance data: X

X-squared = 10.96, df = 4, p-value = 0.05403

alternative hypothesis: true variance is not equal to 1 95 percent confidence interval:

var of X 2.74

sigma.test(X,sigma=2,alternative="greater")

One sample Chi-squared test for variance data: X

X-squared = 2.74, df = 4, p-value = 0.6022

alternative hypothesis: true variance is greater than 4 95 percent confidence interval:

1.155176 Inf sample estimates:

var of X 2.74

(16)

Contrastes con dos poblaciones normales independientes

•SeanX₁, . . . ,X_n₁ e Y₁, . . . ,Y_n₂ muestras aleatorias independientes deX ∼N(µ1, σ1) e Y ∼N(µ2, σ2) respectivamente (σ1 yσ2 desconocidas). X e Y son v.a.

independientes.

H₀ :σ₁ =σ₂ R = s₁²

s₂² ∈/ (F_n₁_−1;n₂_{−1;1−α/2},F_n₁_−1;n₂_−1;α/2)

=

1∈/ IC1−α

σ₁² σ₂²

H0 :σ1 ≤σ2 R = s₁²

s₂² >Fn1−1;n2−1;α

H₀ :σ₁ ≥σ₂ R = s₁²

s₂² <F_n₁−1;n₂−1;1−α

(17)

Ejemplo 5.2:Un microbi´ologo desea averiguar si hay diferencia en el tiempo que tarda en producir yogur utilizando dos tipos de bacterias:lactobacillus acidophilus(A) ybulgaricus (B). Se prepararon siete remesas de yogur con cada tipo de lactobacilo. A continuaci´on se muestra el tiempo (en horas) hasta que se produjo cada remesa:

Cultivo A

6.8 6.3 7.4 6.1 8.2 7.3 6.9 Cultivo B

6.1 6.4 5.7 5.5 6.9 6.3 6.7 Suponiendo que la distribuci´on de ambos conjuntos de

observaciones se puede considerar normal, contrastar la hip´otesis de homocedasticidad (igualdad de varianzas):

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A = c(6.8, 6.3, 7.4, 6.1, 8.2, 7.3, 6.9) B = c(6.1, 6.4, 5.7, 5.5, 6.9, 6.3, 6.7)

var.test(A,B,ratio=1,alternative="two.sided",conf.level

=0.9)

F test to compare two variances data: A and B

F = 1.9814, num df = 6, denom df = 6, p-value = 0.4259 alternative hypothesis: true ratio of variances is not

equal to 1

90 percent confidence interval:

ratio of variances 1.981378

(19)

•SeanX₁, . . . ,X_n₁ e Y₁, . . . ,Y_n₂ muestras aleatorias independientes deX ∼N(µ₁, σ₁) e Y ∼N(µ₂, σ₂) respectivamente (σ1 =σ2 desconocida). X e Y son v.a.

independientes.

H₀ :µ₁=µ₂ R=

|¯x−y¯| ≥t_n₁_+n₂_−2;α/2s_p r 1

n₁ + 1 n₂

={0∈/IC1−α(µ1−µ2)}

H0 :µ1≤µ2 R=

¯

x−y¯≥tn1+n2−2;αsp

r 1 n₁ + 1

n₂

H₀ :µ₁≥µ₂ R=

¯

x−y¯≤t_n₁_+n₂−2;1−αs_p r 1

n₁ + 1 n₂

donde

s_p²= (n₁−1)s₁²+ (n₂−1)s₂² n1+n2−2

(20)

El estad´ıstico del contraste

t= X¯−Y¯ Sp

q1 n1 +_n¹

2

sigue una distribuci´on tn1+n2−2 si µ1 =µ2. Podemos reexpresar las regiones de rechazo as´ı:

H0 :µ1 =µ2 R=

|t| ≥t_n₁_+n₂−2;α/2

H0 :µ1 ≤µ2 R={t≥tn1+n2−2;α} H₀ :µ₁ ≥µ₂ R={t≤t_n₁_+n₂−2;1−α} Ejemplo 5.2 (cont.):

(21)

t.test(A,B,alternative="two.sided",conf.level=0.95,var.

equal=TRUE)

Two Sample t-test data: A and B

t = 2.3375, df = 12, p-value = 0.03755

alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0

mean of x mean of y 7.000000 6.228571

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•Datos emparejados:Sea (X₁,Y₁), . . . ,(X_n,Y_n) una muestra aleatoria de (X,Y) dondeX e Y no son independientes, pero los pares (X_i,Y_i), parai = 1, . . . ,n, son independientes entre s´ı.

DenotemosE(X) =µ₁ yE(Y) =µ₂ y supongamos que D=X −Y ∼N(µ=µ1−µ2, σ). Entonces

D₁ =X₁−Y₁, . . . ,D_n =X_n−Y_n es una muestra aleatoria de D.

Podemos realizar los siguientes contrastes de hipótesis basándonos en los tests de la página 6:

H0 :µ1=µ2 ⇔H0 :µ= 0 H₀ :µ₁≤µ₂ ⇔H₀ :µ≤0 H0 :µ1≥µ2 ⇔H0 :µ≥0

(23)

Ejemplo 5.3:Consideremos el contenido en colesterol de 6 muestras de plasma sangu´ıneo humano medido con dos t´ecnicas distintas.

Contenido de colesterol (g/l) Muestra

de plasma M´etodo A M´etodo B Diferencia d_i

1 1.46 1.42 0.04

2 2.22 2.38 -0.16

3 2.84 2.67 0.17

4 1.97 1.80 0.17

5 1.13 1.09 0.04

6 2.35 2.25 0.10

El método B da un resultado menor que el método A en 5 de las 6 muestras. ¿Es el método B sistemáticamente diferente del A?

(24)

Ejemplo 5.3:

A = c(1.46,2.22,2.84,1.97,1.13,2.35) B = c(1.42,2.38,2.67,1.80,1.09,2.25)

t.test(A,B,alternative="two.sided",mu=0,paired=TRUE) Paired t-test

data: A and B

t = 1.2, df = 5, p-value = 0.2839

alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0

-0.06852909 0.18852909 sample estimates:

mean of the differences 0.06

(25)

Contrastes para distribuciones no normales

Para construir la regi´on de rechazo en los contrastes sobre

par´ametros de distribuciones no gaussianas se suele utilizar el TCL.

Contrastes sobre una proporci´on p

SeaX1, . . . ,Xn una muestra aleatoria de una v.a. X∼Bernoulli(p).

Suponemos quen es grande.

H0:p =p0 R= (

|¯x−p0|>z_α/2

rp0(1−p0) n

)

H0:p ≤p0 R= (

¯

x−p0 >zα

rp0(1−p0) n

)

H₀:p ≥p₀ R= (

¯

x−p₀ <z1−α

rp₀(1−p₀) n

)

(26)

Ejemplo 5.5:Most Like it Hotes el t´ıtulo de un informe publicado por el Pew Research Center el 18 de marzo de 2009:

www.pewsocialtrends.org/2009/03/18/most-like-it-hot/

El informe afirma “by an overwhelming margin, Americans want to live in a sunny place”. La afirmación se basa en una muestra representativa de 2260 adultos estadounidenses. De éstos, 1288 dijeron que preferir´ıan vivir en un clima cálido en lugar de en un clima fr´ıo. ¿Proporcionan los datos suficiente evidencia estad´ıstica de que la mayor´ıa de los estadounidenses adultos prefieren un clima cálido frente a uno fr´ıo? Utilizar un nivel de significaciónα= 0.01.

(27)

prop.test(1288,2260,p=0.5,alternative="greater",correct=FALSE)

1-sample proportions test without continuity correction data: 1288 out of 2260, null probability 0.5

X-squared = 44.1841, df = 1, p-value = 1.495e-11 alternative hypothesis: true p is greater than 0.5 95 percent confidence interval:

p 0.5699115

Lacorrección por continuidadañade un término extra al estad´ıstico del contraste para corregir el error cometido al aproximar una distribución discreta (binomial) por una distribución continua (normal). La corrección ajusta la probabilidad del error de tipo I (que se “infla” al emplear la aproximación normal cuando el tamaño muestral es pequeño). Por ejemplo, en el caso del contrasteH₀:p=p₀, la región de rechazo es R={|z|>z_α/2}donde el estad´ıstico del contraste es

sin correcci´on por continuidad con correcci´on por continuidad z =q^x−p^¯ ⁰

p0 (1−p0 ) n

z = ^|¯q^x−p⁰^|−²ⁿ¹

p0 (1−p0 ) n

(28)

Comparaci´on de dos proporciones

SeanX1, . . . ,Xn1 e Y1, . . . ,Yn2 muestras de X ∼Bernoulli(p1) e Y ∼Bernoulli(p2), v.a. independientes.

H0: p1=p2 R= (

|¯x−y|¯ >z_α/2 s

¯ p(1−p)¯

1 n1

+ 1 n2

)

H0: p1≤p2 R= (

¯

x−y¯>zα

s

¯ p(1−p)¯

1 n₁ + 1

n₂ )

H₀: p₁≥p₂ R= (

¯

x−y¯<z1−α

s

¯ p(1−p)¯

1 n₁ + 1

n₂ )

donde ¯p= Pn1

i=1x_i +Pn2

j=1y_j

n₁+n₂ = n₁x¯+n₂y¯ n₁+n₂ .

(29)

Ejemplo 5.6:Basándose en las propiedades bioqu´ımicas del xilitol, un azúcar obtenido de la madera de abedul, unos investigadores finlandeses creen que el uso regular de este edulcorante puede prevenir las otitis en niños menores de 5 años. Se tomó una muestra de 165 niños que tomaron cinco dosis diarias de un jarabe placebo y 68 de ellos tuvieron infección de o´ıdo. Otros 159 niños tomaron cinco dosis diarias de xilitol y 46 de ellos sufrieron otitis durante el estudio. ¿Hay suficiente evidencia de que el xilitol reduce el riesgo de infección de o´ıdo?

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prop.test(c(68,46),c(165,159),p=NULL,alternative="greater",correct=FALSE)

2-sample test for equality of proportions without continuity correction data: c(68, 46) out of c(165, 159)

X-squared = 5.3554, df = 1, p-value = 0.01033 alternative hypothesis: greater

prop 1 prop 2 0.4121212 0.2893082

(31)

El concepto de p-valor

Dado un test, definido para todos los niveles de significaci´on posibles, se define elp-valor, para unos datos prefijados, comoel

´ınfimo de los valores α para los cuales se rechaza la hip´otesis nula a un nivel de significaci´onα.

P(x1, . . . ,xn) = ´ınf{α:H0 es rechazada al nivelα}.

Cuánto más pequeño es el p-valor, más evidencia estad´ıstica aportan los datos a favor deH₁.

Los programas informáticos que realizan contrastes de hipótesis (R, SPSS, Excel, Matlab,. . . ) no realizan el contraste para un nivel de significaciónα, sino que directamente nos dan el p-valor del contraste.

(32)

Comparaci´ on de medias de m´ as de dos poblaciones normales (an´ alisis de la varianza)

El objetivo del An´alisis de la Varianza es estudiar si existe relaci´on entre el valor medioE(Y) de una variable respuestao

caracter´ıstica,Y, y unavariable cualitativa,atributoo factor.

Ejemplo 5.7:Algunas variedades de nematodos (gusanos

microsc´opicos que viven en el suelo) se alimentan de las ra´ıces de plantas variadas y cultivos. Este par´asito es especialmente

abundante en climas templados y húmedos y puede causar grandes estragos en la producción agraria. Las plagas de nematodos se pueden tratar, por ejemplo, con nematicidas. Sin embargo, debido al pequeño tamaño de los gusanos, es muy dif´ıcil medir la

efectividad de estos pesticidas directamente. Para comparar cuatro nematicidas, se considera la cantidad (en libras) de tomates de una variedad espec´ıfica recogidos en campos de las mismas

(33)

Nematicida

A B C D

18.6 18.7 19.4 19.0 18.4 19.0 18.9 18.8 18.4 18.9 19.5 18.6 18.5 18.5 19.2 18.7

18.3 18.8

Nematodos.txt

Nematodos Produccion Nematicida

18.6 A 18.4 A 18.4 A 18.5 A 18.3 A 18.7 B 19.0 B 18.9 B 18.5 B 19.4 C 18.9 C 19.5 C 19.2 C 18.8 C 19.0 D 18.8 D 18.6 D 18.7 D

Página 1

Queremos averiguar si existen diferencias significativas entre la producci´on media de los campos dependiendo del tipo de nematicida utilizado.

Datos = read.table("Nematodos.txt", header=TRUE)

P = Datos$Produccion N = Datos$Nematicida

plot(P ~ N,xlab="Nematicida",ylab="

Produccion")

A B C D

18.418.618.819.019.219.4

Nematicida

Produccion

(34)

En el Ejemplo 5.7 el factor tomaI = valores (los niveles, grupos o tratamientos del factor). Se mide la producci´on de tomate n₁= veces con el nematicida A,n2 = veces con el B,n3 = veces con el C yn₄ = veces con el D.

n_i = n^o de observaciones de la respuesta para el niveli del factor Sin₁ =n₂=. . .=n_I se dice que el dise˜noesequilibrado.

n=

I

X

i=1

n_i = n^o total de observaciones de Y

yij =j-´esimo valor observado de la respuesta en el niveli, i = 1, . . . ,I,j = 1, . . . ,n_i

(35)

Suponemos que, en el niveli del factor, la respuesta Y oscila aleatoriamente en torno a un nivel desconocidoµi, la media de la poblacióni-ésima:E(Y_ij) =µ_i. Cada observacióny_ij resulta de una perturbación aleatoria en torno al valor medio µ_i.

Nematicida

Producción

A B C D

18.418.618.819.019.219.4

µ1

µ2

µ3

µ4

En el Modelo de Análisis de la Varianza (ANOVA = ANalysis Of VAriance) se supone que lasn_i observacionesY_i1,Y_i2, . . . ,Y_in_i de la poblacióni son una muestra aleatoria de unaN(µi, σ). Se supone también que todas las observaciones Y_ij, para i = 1, . . . ,I, j = 1, . . . ,n_i, son independientes entre s´ı.

(36)

El modelo ANOVA con un factor depende deI+ 1 par´ametros desconocidos: las mediasµ1,. . . ,µI y la varianza com´unσ². Los estimamos respectivamente mediante las medias muestrales por niveles del factor

ˆ µi = 1

n_i

ni

X

j=1

yij = ¯yi•

y mediante lavarianza residual s_R² = 1

n−I

I

X

i=1 ni

X

j=1

(yij−y¯i•)²

= (n₁−1)s₁²+ (n₂−1)s₂²+. . .+ (n_I−1)s_I²

n−I ,

dondes_i² =Pni

j=1(y_ij −y¯i•)²/(n_i −1) es la cuasi-varianza muestral en la poblaci´on i-´esima.

(37)

i y_ij n_i y¯i• s_i²

1 18.6 18.4 18.4 18.5 18.3 2 18.7 19.0 18.9 18.5 3 19.4 18.9 19.5 19.2 18.8 4 19.0 18.8 18.6 18.7

n=

s_R² = tapply(P,N,mean)

A B C D

18.440 18.775 19.160 18.775 tapply(P,N,var)

A B C D

0.01300000 0.04916667 0.09300000 0.02916667

(38)

El contraste de igualdad de medias H0 : µ1 =µ2 =. . .=µI

(todas las medias son iguales, el factor no influye) H₁ : µ_i 6=µ_j para alg´un pari 6=j.

(al menos dos de las medias difieren, el factor influye) El contraste compara las diferencias entre medias muestrales con la variabilidad experimental, medida pors_R², para decidir si ´esta ha podido generar esas diferencias o no.

En concreto, sea

SCT =

I

X

i=1 ni

X

j=1

(y_ij −y¯••)²,

lavariabilidado suma de cuadrados total, que mide la dispersi´on entre los datos y la media global

¯

y = 1X^I

n_i

Xy .

(39)

El an´alisis de la varianza descompone la variabilidad total en dos t´erminos: (1) SCE = la variabilidad entre las medias por grupos y la media general y (2) SCR = la variabilidad residual o variabilidad dentro del grupo. Espec´ıficamente

SCT = SCE + SCR, donde

SCE =

I

X

i=1

n_i(¯yi•−y¯••)²

denota lavariabilidad o suma de cuadrados explicadapor las diferencias entre niveles del factor y

SCR =

I

X

i=1 ni

X

j=1

(y_ij −y¯_i•)² = (n−I)s_R² denota lavariabilidad o suma de cuadrados residual.

(40)

La tabla ANOVA y el contraste

Los t´erminos de la descomposici´on de la variabilidad se disponen en la llamadatabla ANOVA

Fuentes de Suma de Grados de Varianzas o Cuadrados

variaci´on (FV) cuadrados (SC) libertad (gl) medios (CM) Estad´ıstico Explicada o

Entre grupos SCE =

I

X

i=1

n_i(¯yi•−y¯••)² I−1 s_e²= SCE

I−1 F

Residual o

Dentro de los gruposSCR =

I

X

i=1 n_i

X

j=1

(yij−y¯i•)² n−I s_R² = SCR n−I

Total SCT =

I

X

i=1 n_i

X

j=1

(yij−¯y••)² n−1

(41)

Si la hip´otesis nula de igualdad de medias H₀ :µ₁=µ₂=. . .=µ_I es cierta entonces

F = s_e²

s_R² ∼FI−1,n−I. Una regi´on de rechazo para el contraste

H0: µ1=µ2 =. . .=µ_I =µ H1: µi 6=µj para alg´un pari 6=j. al nivel de significaci´onα es

R={F >FI−1,n−I,α}.

ParaI = 2 poblaciones, este contraste es matem´aticamente equivalente al contrastet de Student que compara dos medias de distribuciones normales con varianzas iguales.

(42)

Ejemplo 5.7 (cont.):Para hacer la tabla ANOVA con R:

T=aov(Produccion~Nematicida,data=as.data.frame(Datos)) summary(T)

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Nematicida 3 1.299 0.4329 9.197 0.00129 **

Residuals 14 0.659 0.0471 ---

Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1

(43)

Observaci´on: El modelo de regresi´on lineal simple establece que el valor de la variable respuestaY cuando la variable explicativa X toma el valor x es:

Y =a+bx+, siendouna v.a.N(0, σ).

El modelo de an´alisis de la varianza con un factor establece que el valor de la variable respuestaY es:

Y =µ1F1+µ2F2+. . .+µIFI + donde

Fi =

1 si el factor est´a en el nivel i

0 si el factor est´a en un nivel distinto del i yes una v.a.N(0, σ).

Ambos modelos son casos particulares demodelos lineales, en los que la variable respuesta se estudia en términos de variables explicativas de tal manera que la respuestaY es una función lineal de todos los parámetros del modelo más un término de “ruido” .

(44)

Contrastes no param´ etricos: contrastes χ

²

En los contrastes paramétricos el objetivo es contrastar si el valor de un parámetro está o no en una cierta región del espacio paramétrico, supuesto que la v.a. X de interés sigue un modelo paramétrico espec´ıfico.

En los contrastes no paramétricos no se parte de la hipótesis de queX sigue un modelo paramétrico, sino que se establecen hipótesis más generales y complejas, como, por ejemplo, queX siga o no un cierto modelo paramétrico de distribución.

Los contrastes no param´etricos m´as conocidos son los contrastes χ², llamados as´ı porque el estad´ıstico del contraste sigue

aproximadamente una distribuci´onχ² cuando la hip´otesis nula es cierta.

(45)

Contraste de bondad de ajuste (goodness-of-fit test) Primer caso

SeaX₁, . . . ,X_n una muestra de una poblaciónX con distribución de probabilidad desconocida. Queremos contrastar si, en base a la información muestral, es razonable suponer que la distribución de X viene dada por un determinado modelo de probabilidad P. Es decir, queremos ver si los datos “se ajustan bien” a P:

H0: El modelo de probabilidad de X es P.

H₁: El modelo de probabilidad de X no es P.

Hacemos una partici´on (arbitraria) del espacio muestral de X enk clasesA1, . . . ,A_k. Para cadaA_i definimos

O_i = frecuencia absoluta observada enA_i

= N´umero de individuos de la muestra X1, . . . ,Xn

que pertenecen aA_i

(46)

ei = frecuencia absoluta esperada en Ai si H0 es cierta

= n P(Ai)

Elestad´ıstico del contraste de bondad de ajuste χ²=

k

X

i=1

(O_i −e_i)² e_i =

k

X

i=1

O_i² e_i −n

sigue aproximadamente (cuandon es grande) una distribuci´on χ²_k−1 si H₀ es cierta.

Rechazamos la hip´otesis nulaH₀: “El modelo de probabilidad de X es P” al nivel de significaci´onα si

χ² > χ²_k−1;α.

(47)

Un ejemplo cl´asico: el experimento de Mendel Se cruzaron plantas de guisantes con fe-

notipo rugoso-amarillo con otras de fe- notipo liso-verde. En la segunda gene- ración se pod´ıan observar cuatro fenotipos (liso-amarillo, rugoso-amarillo, liso- verde, rugoso-verde) cuyas respectivas probabilidades, según el principio de la transmisión independiente de Mendel, deb´ıan ser

p₁ = 9

16,p₂= 3

16,p₃ = 3

16,p₄= 1 16. Observados n = 556 guisantes en la segunda generaci´on del experimento se ob- tuvieron los siguientes n´umeros de guisantes con dichos fenotipos:

O₁= 315,O₂ = 101,O₃ = 108,O₄ = 32.

(48)

¿Proporcionan estos resultados alguna evidencia en contra de la teor´ıa mendeliana?

Aplicando el test para contrastar H0:p1 = 9

16,p2= 3

16,p3 = 3

16,p4= 1 16, se tiene

e₁= 556·9

16 = 312.75, e₂=e₃= 556· 3

16 = 104.25, e₄= 556· 1

16 = 34.75 El valor del estad´ıstico del contraste es

χ²= 315²

312.75+ 101²

104.25+ 108²

104.25+ 32²

34.75−556 = 556.47−556 = 0.47 y el punto cr´ıtico de la regi´on de rechazo esχ²_4−1;0.05=χ²_3;0.05= 7.81.

(49)

Segundo caso

SeaX1, . . . ,Xn una muestra de una poblaciónX con distribución de probabilidad desconocida. En base a la información muestral, queremos contrastar si la distribución de X viene dada por un determinado modelo paramétrico de probabilidad perteneciente a la familiaF ={P_θ :θ∈Θ}. Es decir, queremos ver si los datos se ajustan bien a un determinado modelo paramétrico:

H0: El modelo de probabilidad de X es alg´unPθ de la familia F.

H1: El modelo de probabilidad de X no es ning´un P_θ deF.

Hacemos una partici´on (arbitraria) del espacio muestral de X enk clasesA₁, . . . ,A_k. Para cadaA_i definimos

O_i = frecuencia absoluta observada enA_i

ei = frecuencia absoluta esperada enAi siH0 es cierta

= n P_θ(A_i)'n P_θ_ˆ(A_i),

donde ˆθ= (ˆθ1, . . . ,θˆr) = e.m.v. deθ= (θ1, . . . , θr)

(50)

Elestad´ıstico del contraste de bondad de ajuste χ²=

k

X

i=1

(O_i −e_i)² ei

=

k

X

i=1

O_i² ei

−n

sigue aproximadamente (cuandon es grande) una distribuci´on χ²_k−1−r si H₀ es cierta.

Rechazamos la hipótesis nulaH₀: “El modelo de probabilidad de X es algún Pθ de la familiaF” al nivel de significaciónα si

χ²> χ²_k−1−r_;α.

Este tipo de contraste se aplica, por ejemplo, en Genética para contrastar ratios no mendelianos. La herencia no mendeliana comprende patrones de herencia diferentes de los formulados por Mendel (dominancia incompleta, codominancia, alelos múltiples, herencia poligénica o herencia ligada al sexo). En este tipo de

(51)

Ejemplo 5.8 (Equilibrio de Hardy-Weinberg, HWE):En una población de tamaño infinito, con apareamiento al azar (panmixia), en la que no haya mutación, migración o selección, las frecuencias alélicas se mantienen constantes con el tiempo, y las frecuencias genot´ıpicas vienen determinadas por las frecuencias alélicas:

P(AA) =p² P(Aa) = 2pq P(aa) =q²

Para detectar si las frecuencias genot´ıpicas observadas son significativamente diferentes de las esperadas por HWE se realiza una pruebaχ² de bondad de ajuste. ¿Son las siguientes frecuencias compatibles con que la muestra haya sido tomada de una

poblaci´on en HWE?

AA AB BB Total

O_i 130 763 1698 2591 e_i