Tema 6: Convergencia en distribuci´ on y teorema central del l´ımite

Probabilidad II

Tema 6: Convergencia en distribuci´ on y teorema central del l´ımite

Jos´e R. Berrendero

Departamento de Matem´aticas Universidad Aut´onoma de Madrid

Estructura de este tema

Convergencia d´ebil y convergencia en distribuci´on Teorema de continuidad de L´evy

TCL para v.a. independientes e id´enticamente distribuidas TCL de Lindeberg-Feller. Arreglos triangulares.

Convergencia d´ ebil

Definici´on

Sea E un espacio m´etrico y sean P,P1,P2, . . . medidas de probabilidad sobre (E,B(E)). Se dice que P_n converge d´ebilmentea P si

P_n(A)→P(A), para todo A∈ B(E) con P(∂A) = 0, donde∂Adenota la frontera de A.

Teorema (portmanteau)

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(1) R

gdPn→R

gdP, para toda funci´ong :E →Rcontinua y acotada.

(2) lim supPn(C)≤P(C), para todo C ∈ B(E) cerrado.

(3) lim infPn(A)≥P(A), para todo A∈ B(E) abierto.

(4) P_n converge d´ebilmente aP.

Convergencia d´ ebil

Proposici´on

Si E =R, la convergencia d´ebil y la convergencia en distribuci´on son equivalentes.

Teorema de la aplicaci´on continua

SeanX,X1,X2, . . . variables aleatorias tales que Xn d

−

→X y sea g :R→R una funci´on continua. Entonces,g(Xn)−→^d g(X).

Teorema de Slutsky

SeanX,X₁,X₂, . . .variables aleatorias tales que X_n−→^d X y seanY₁,Y₂, . . . variables aleatorias tales que Y_n−→^P a, dondea∈R. Entonces

X_n+Y_n−→^d X+a,X_nY_n−→^d aX yX_n/Y_n−→^d X/a, si a6= 0.

Observaci´on: Si el l´ımite de Ynes una v.a. no degenerada el resultado no es cierto en general.

Notaci´ on O

(a

) y o

(a

)

Definici´on

Una sucesi´on de v.a. X_n esacotada en probabilidad si para todo >0 existenM >0 y N≥1 tales que P(|X_n| ≤M)>1−para todo n≥N.

Proposici´on Si Xn d

−

→X para alguna v.a. X, entonces la sucesi´onXn es acotada en probabilidad.

Notaci´on: Sea an una sucesi´on de n´umeros reales.

Xn=Op(an) significa que Xn/an es acotada en probabilidad.

X_n=o_p(a_n) significa que X_n/a_n−→^P 0.

Proposici´on

Si X_n=O_p(1) eY_n=o_p(1), entonces X_nY_n=o_p(1).

Teorema de continuidad de L´ evy

Teorema

Sea F_n una sucesi´on de funciones de distribuci´on sobre Ry sea ϕ_n la correspondiente sucesi´on de funciones caracter´ısticas.

(1) Si Fn d

−

→F, entonces ϕn(t)→ϕ(t), para todot ∈R, donde ϕes la funci´on caracter´ıstica deF.

(2) Si existe limn→∞ϕn(t), para todo t ∈Ryϕ(t) = limn→∞ϕn(t) es una funci´on continua en cero, entoncesϕ es la funci´on caracter´ıstica de una funci´on de distribuci´onF yF_n−→^d F.

Para estudiar la convergencia en distribuci´on de una sucesi´on de variables aleatorias basta estudiar la convergencia de la sucesi´on de sus funciones caracter´ısticas.

La demostraci´on, por ejemplo, en Resnick, pags. 307-312.

Ejemplos

(a) Si X tiene distribuci´on de Poisson de par´ametroλ, estudia el comportamiento asint´otico deX/λ cuandoλ→ ∞.

(b) LDGN: SiX₁,X₂, . . . son v.a.i.i.d. con E|X|<∞. Entonces, X1+· · ·+Xn

n

−→P µ,

dondeµ= E(X₁).

Recordamos: Sea X una v.a. tal que E|X|ⁿ<∞. Seaϕla f.c. deX. Entonces,

ϕ(t)−

n

X

k=0

(it)^kE(X^k) k!

≤E

min

|tX|ⁿ⁺¹

(n+ 1)!,2|tX|ⁿ n!

.

TCL para v.a. independientes e id´ enticamente distribuidas

Teorema

Sea X1,X2, . . . una sucesi´on de v.a. independientes e id´enticamente distribuidas con 0< σ²<∞, dondeσ² = Var(X₁), yS_n=X₁+· · ·+X_n. Entonces,

S_n−E(S_n) pVar(Sn)

−d

→N(0,1).

Observaci´on: Si ¯Xn=Sn/n yµ= E(X1), entonces Sn−E(Sn)

pVar(S_n) = X¯n−µ σ/√

n . Adem´as, el teorema implica

√n( ¯Xn−µ)−→^d N(0, σ²).

M´ etodo delta

Se conoce como m´etodo deltaun resultado que permite determinar la distribuci´on l´ımite de funciones suaves de sucesiones de v.a. cuyo comportamiento asint´otico es conocido.

Proposici´on

Sea Xn una sucesi´on de v.a. tales quean(Xn−c)−→^d X, donde

0≤a_n↑ ∞,c ∈RyX es una v.a. Sea g :R→R una funci´on derivable con derivada continua. Entonces an(g(Xn)−g(c))−→^d g⁰(c)X.

Ejemplo

Sea X1,X2, . . . una sucesi´on de v.a.i.i.d. con distribuci´on de Poisson de par´ametroλ.

¿Cu´al es la distribuci´on asint´otica de √

n(X_n−λ)?

Determina una funci´ong tal que la varianza de la distribuci´on asint´otica de√

n(g(X_n)−g(λ)) no depende deλ. Se dice queg es unatransformaci´on que estabiliza la varianza.

Arreglos triangulares

Consideramos un arreglo triangular de v.a. (X_n,k). Es decir, X1,1 X1,2 · · · X1,r1

X2,1 X2,2 · · · X2,r2

... ... ... ... Xn,1 Xn,2 · · · Xn,rn

... ... ... ...

Teorema de Lindeberg-Feller: Una variable que es el resultado de la suma de muchos efectos independientes entre s´ı sin que ninguno domine al total es aproximadamente normal.

El teorema de Lindeberg-Feller

Sea (X_n,k) un arreglo triangular de v.a. cumpliendo:

(1) Para todo n,Xn,1,Xn,2, . . . ,Xn,rn son independientes y con varianzas finitas no todas nulas.

Si EX_n,k =µ_n,k, Var(X_n,k) =σ²_n,k,S_n=X_n,1+· · ·+X_n,rn, s_n²= Var(Sn) =σ²_n,1+· · ·+σ_n,r² _n.

(2) Condici´on de Lindeberg (CL): Para todo >0, se tiene 1

s_n²

rn

X

k=1

Z

{|X_n,k−µ_n,k|≥s_n}

(X_n,k−µ_n,k)²dP−−−→^n→∞ 0.

Entonces,

Sn−E(Sn) s_n

−d

→N(0,1).

Una aplicaci´ on: estimadores de m´ınimos cuadrados

Modelo de regresi´on lineal simple

Y_i =α+βx_i +_i, i = 1, . . . ,n.

con ₁, ₂, . . . v.a.i.i.d. con E(₁) = 0 y Var(₁) =σ². Estimador de m´ınimos cuadrados de la pendiente

βˆ= Pn

i=1(xi −x)Y¯ i

P_n

i=1(x_i−x)¯ ² = Pn

i=1cn,iYi

Pn

i=1c_n,i² . Pendiente

β = Pn

i=1c_n,iµ_i Pn

i=1c_n,i² , µ_i = E(Y_i) =β₀+β₁x_i. Diferencia entre par´ametro y estimador

βˆ−β= Pn

i=1c_n,ii Pn

i=1c_n,i² =

n

X

i=1

Xn,i, Xn,i := c_n,ii Pn

i=1c_n,i² .