Algebras de Hopf

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Algebras de Hopf punteadas sobre los grupos simétricos S3 y S4 /

Algebras de Hopf punteadas sobre los grupos simétricos S3 y S4 /

Mostramos que un ´ algebra de Hopf punteada de dimensi´ on finita tal que su trenza infinitesimal es de tipo est´ andar est´ a generada por elementos casi primitivos y grupezcos. Este hecho es un paso clave en la clasificaci´ on de las ´ algebras de Hopf punteadas sobre un grupo abeliano y coincide con una conjetura de larga data planteada por Andruskiewitsch y Schneider. Tambi´ en mostramos que las relaciones cu´ anticas de Serre se satisfacen en cualquier ´ algebra de Hopf punteada corradicalmente graduada de dimensi´ on finita con trenza diagonal y determinamos c´ omo estas relaciones se levantan en el caso est´ andar.

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Algebras de Hopf punteadas sobre grupos no abelianos /

Algebras de Hopf punteadas sobre grupos no abelianos /

La clasicación de álgebras de Hopf de dimensión nita se encarrila por dos caminos diferentes: las semisimples y las no semisimples. Los resultados conocidos hasta ahora ponen de relieve la estrecha relación entre las álgebras de Hopf tanto con los grupos nitos como con las álgebras de Lie. Por un lado, los grupos nitos se relacionan estrechamente con las álgebras de Hopf semisimples; mientras que por otro lado, ejemplos como los núcleos de Frobenius-Lusztig muestran la interacción de la teoría de Lie con la teoría de álgebras de Hopf no semisimples. Una estrategia para estudiar el caso no semisimple es considerar la posición relativa del corradical, es decir, de la mayor subcoálgebra cosemisimple. En efecto, en [AS1, AS4] se consideró una subclase particular de las álgebras de Hopf no semisimples: las punteadas, donde el corradical es una subálgebra de Hopf semisimple, y se mostró que ciertas clases de ellas están constituidas por variaciones de núcleos de Frobenius-Lusztig.

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La integral en álgebras de Hopf

La integral en álgebras de Hopf

Finalmente, presentaremos varios resultados sobre ´ algebras de Hopf en los que se usa la integral. El primero es la F´ ormula de Radford para la potencia cuarta de la ant´ıpoda. De ella derivaremos una importante propiedad estructural de las ´ algebras de Hopf de dimensi´ on finita, a saber, su ant´ıpoda tiene orden finito. El segundo es el Teorema de Maschke, que caracteriza la cosemisimplicidad mediante una condici´ on sobre la integral. En tercer lugar, probaremos que un ´ algebra de Hopf de dimensi´ on finita es un ´ algebra de Frobenius. Para terminar daremos varias caracterizaciones, en t´ erminos homol´ ogicos y de finitud, de la existencia de integral sobre un ´ algebra de Hopf.

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Categorías tensoriales : representaciones y extensiones

Categorías tensoriales : representaciones y extensiones

En esta secci´ on damos la definici´ on concreta de Categor´ıa tensorial, que es quiz´ a el concepto m´ as importante a lo largo de este trabajo. La necesidad del estudio de este objeto radica en las variadas aplicaciones en diversas ´ areas de la matem´ atica tales como variedades topol´ ogicas de dimensi´ on baja [BK], computaci´ on cu´ antica [F], [FKLW], [Ki1], [Ki2], teor´ıa racional y logar´ıtmica de campos [FS1], [FS2], mec´ anica estad´ıstica, teor´ıa de subfactores [Oc], ´ algebras de Hecke afines [B], [BO], y teor´ıa de ´ algebras de Hopf.

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Álgebras de Hopf y categorı́as de fusión

Álgebras de Hopf y categorı́as de fusión

se debilita la asociatividad del coproducto de modo que la categor´ıa de representaciones siga siendo tensorial. Dando as´ı lugar a una versi´ on m´ as general de ´ algebra de Hopf. Es importante destacar que, la categor´ıa de representaciones de una cuasi-´ algebra de Hopf de dimensi´ on finita es una categor´ıa tensorial finita. Asimismo, las categor´ıas de representa- ciones de dimensi´ on finita de (cuasi-)´ algebras de Hopf de dimensi´ on finita est´ an munidas de un (cuasi-)funtor de fibra en la categor´ıa de espacios vectoriales. Rec´ıprocamente, si una categor´ıa tensorial admite un (cuasi-)funtor de fibra, entonces, mediante una gene- ralizaci´ on de la teor´ıa de reconstrucci´ on de Tannaka-Krein para (cuasi-)´ algebras Hopf, se puede construir un (cuasi-)´ algebra de Hopf cuya categor´ıa de com´ odulos es tensorialmente equivalente a la categor´ıa tensorial inicial.

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Representations of finite dimensional pointed
Hopf algebras over S3

Representations of finite dimensional pointed Hopf algebras over S3

some of these facts in Section 2. We investigate, in Section 3, modules over these algebras whose G-isotypic components are 1-dimensional and classify indecompos- able modules of this kind. We find conditions on a given G-character under which it can be extended to a representation of the algebra. We apply these results to the representation theory of two families of pointed Hopf algebras over S n . In Sec-

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Ejemplos de álgebras de Hopf semisimples y de álgebras de Hopf con la propiedad de Chevalley dual

Ejemplos de álgebras de Hopf semisimples y de álgebras de Hopf con la propiedad de Chevalley dual

En otra dirección, los grupos cuánticos pequeños en raíces de la unidad están relacionados con grupos algebraicos en característica positiva (Lusztig); más generalmente, se ha observado una relación entre (ciertas) álgebras de Nichols de dimensión finita (complejas) y álgebras de Lie en característica positiva. En una línea directamente involucrada con el tema de esta tesis, cier- tas álgebras de operadores de vértice, relacionadas con la teoría conforme de campos, admiten como invariante una categoría de fusión, esto es una categoría tensorial semisimple finita (Zhu, Huang). Una formulación análoga en álgebras de operadores es a través de subfactores. Dado que las categorías de módulos sobre álgebras de Hopf semisimples de dimensión finita son de fusión, la clasificación de las álgebras de Hopf semisimples ha suscitado interés entre especialistas en álgebras de operadores de vértice y subfactores.

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Evolution algebras

Evolution algebras

to predict all possible mechanisms to establish the homoplasmy of cell populations. The theory of evolution algebras was introduced by Tian in [30], a pioneering monograph where many connections of evolution algebras with other mathematical fields (such as graph theory, stochastic processes, group theory, dynamic systems, mathematical physics, etc) are established. In this book it is shown the close connection between evolution algebras, non-Mendelian Genetics and Markov chains, pointing out some further research topics. Algebraically, evolution algebras are non-associative algebras (which are not even power-associative), and dynamically they represent discrete dynamical systems. In this context, an evolution algebra is nothing but a finite-dimensional algebra A provided with a basis B = { e i | i ∈ Λ } ,

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Control de la bifurcación de Hopf

Control de la bifurcación de Hopf

el que cada punto define un estado y cada trayectoria una evoluci´ on del sistema. En los problemas de aplicaciones es frecuente encontrar ecuaciones diferenciales cuyos campos vectoriales dependen de ciertos par´ ametros, los cuales tienen que ver con la problem´ atica que se est´ e modelando. Por ejemplo, en problemas de poblaciones, los par´ ametros pueden representar tasas de nacimiento o mortandad, mientras que en problemas de rob´ otica, los par´ ametros suelen ser longitudes, centros de masas, etc. Por lo general s´ olo se tienen estimaciones para estos par´ ametros, las cuales dependen de que tanta informaci´ on se tenga de la problem´ atica que se pretende estudiar. Por ejemplo, en rob´ otica es relativamente sencillo calcular ciertos par´ ametros, como longitudes y centros de masas, no as´ı coeficientes de fricci´ on. Un problema importante es entonces, analizar las soluciones de una ecuaci´ on diferencial cuyo campo vectorial depende de par´ ametros. Ahora bien, la teor´ıa de bifurcaciones estudia los cambios que ocurren en el com- portamiento cualitativo de los sistemas din´ amicos ante la variaci´ on de par´ ametros. Las bifurcaciones se clasifican en estacionarias (est´ aticas) y din´ amicas. Las primeras tienen que ver con cambios en la estructura de los puntos de equilibrio (en n´ umero ´ o estabili- dad), mientras que las segundas con cambios en los ciclos l´ımite (creaci´ on o destrucci´ on de ´ orbitas peri´ odicas). La bifurcaci´ on de Hopf cae en la segunda clasificaci´ on (es gen- erada una soluci´ on peri´ odica).

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Subvariedades de álgebras de De Morgan Heyting y p-álgebras de Kleene

Subvariedades de álgebras de De Morgan Heyting y p-álgebras de Kleene

En [9], Cignoli, Lafalce y Petrovich establecen una dualidad entre los subreticu- lados de un reticulado distributivo acotado y ciertas relaciones de preorden sobre su espacio de Priestley asociado. M. Adams prueba en [2] que toda sub´ algebra de Heyting est´ a a asociada a un conjunto separador definido sobre su espacio dual. En el Cap´ıtulo 3 establecemos un resultado similar para las ´ algebras de De Morgan Heyting, hallamos una correspondencia biun´ıvoca entre ciertas relaciones de equi- valencia sobre el dual de un ´ algebra en la variedad DH y definimos un orden sobre estas clases, de forma tal que el conjunto da las clases de equivalencias con este orden sea isomorfo al dual de la sub´ algebra respectiva. Para esto, en primer lugar, en la Secci´ on 1, probamos que cada sub´ algebra de Heyting tiene asociada, no s´ olo una relaci´ on de preorden como se establece en [9], sino una relaci´ on de equivalencia sobre su espacio dual y establecemos las condiciones que tiene que tener ´ esta para que determine una sub´ algebra de Heyting. Posteriormente, bas´ andonos en esta ca- racterizaci´ on, encontramos una caracterizaci´ on para las sub´ algebras de un ´ algebra de De Morgan Heyting que nos permitir´ a (en el caso finito) recuperar y calcular de manera r´ apida a los elementos primos de la sub´ algebra utilizando una ´ unica clase de equivalencia de su relaci´ on de De Morgan Heyting asociada, lo cual en general no es posible realizar para el caso de las ´ algebras de Heyting.

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Prime ideals of skew PBW extensions

Prime ideals of skew PBW extensions

Abstract. We describe the prime ideals of some important classes of skew PBW extensions, using the classical technique of extending and contracting ideals. Skew PBW extensions include as particular examples Weyl algebras, enveloping algebras of finite-dimensional Lie algebras (and their quantiza- tions), Artamonov quantum polynomials, diffusion algebras, and Manin al- gebra of quantum matrices, among many others.

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Multiparameter quantum groups, bosonizations and cocycle deformations

Multiparameter quantum groups, bosonizations and cocycle deformations

We are particularly interested in one class of braided Hopf algebras in these categories, which turn out to be crucial in the theory: the (pre-) Nichols algebras. Definition 2.2. Let I(V ) ⊆ T(V ) be the largest N -graded ideal and coideal such that I(V ) ∩ V = 0. We call B(V ) = T (V )/I(V ) the Nichols algebra of V . In particular, B(V ) = L

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Preface

Preface

Another class of Hopf algebras introduced by Bichon and Banica, the inner linear ones, is discussed in the paper by Andruskiewitsch and Bichon. Wakui specializes to triangular Hopf algebras his recent results on quasi-triangular ones. Kassel and Masuoka elaborate on certain generic Hopf-Galois extensions considered in previous work by the first of them and Aljadeff. Sommerhäuser re-visits quasi-triangular and ribbon quasi-Hopf algebras from a new perspective. There is also a paper by Dascalescu, Nastasescu and Velicu on incidence coalgebras.

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Generalizaciones de una definición iterativa de álgebra booleana

Generalizaciones de una definición iterativa de álgebra booleana

El aporte significativo de este trabajo consiste en las novedosas definiciones iterativas de cuatro estructuras, presentadas en la segunda parte del documento. Se obtuvo una caracterizaci´on novedosa de los ret´ıculos distributivos y una definici´on de semirret´ıculo de Hilbert ligeramente m´as sencilla que la original, contenida en el trabajo [7]. Se pre- sentaron tres definiciones iterativas de las ´algebras booleanas, una de ellas aparece en el trabajo [13] y aqu´ı se simplific´o la prueba en algunos aspectos. Para terminar, se ob- tuvieron no menos de cuatro definiciones alternativas de las ´algebras de Heyting. Estas caracterizaciones son del todo originales y no se encuentran en la literatura matem´atica disponible.

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Lectures on algebras

Lectures on algebras

Abstract. The purpose of this note is to give a fast introduction to some problems of homological and geometrical nature related to finitely dimensional representations of finitely generated, and especially, finitely dimensional alge- bras over a field. Some of these results can also be extended to the situation where the field is not algebraically closed, and some of the results can even be extended to the situation where one is considering algebras over a commuta- tive artin ring. For the results which hold true in the most general situation the proofs become most elegant since they depend on using length arguments only and thereby forgetting about the nature of a field altogether.

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Algebras de Lie cuanticas

Algebras de Lie cuanticas

localmente isomorfo al grupo de rotaciones en dimensi´on tres. En los modelos de las interacciones fuertes y electrod´ebiles aparecen ´algebras de Lie que son sumas directas de semisimples y abelianas [28]. Sin embargo, problemas m´as complicados en f´ısica fundamental requieren nuevas generalizaciones. La llamada teor´ıa de sistemas cu´anticos inte- grables ha iniciado el estudio de una nueva clase de simetr´ıa; los objetos matem´aticos relacionados son llamados grupos cu´ anticos. El papel de los grupos cu´anticos en mec´anica cu´antica es similar al de los grupos de Lie en geometr´ıa cl´asica y en la teor´ıa general de la relatividad de Einstein [15].

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Álgebras de Hopf y grupos cuánticos /

Álgebras de Hopf y grupos cuánticos /

Si el parámetro que aparece en la definición de los grupos cuánticos se especializa en una raíz de la unidad, se obtiene una conexión con grupos algebraicos sobre cuerpos de característica positiva. Como resultado de sus investigaciones sobre este tema, Lusztig introdujo familias de álgebras de Hopf de dimensión finita en [L1, L2]; estas álgebras se conocen como núcleos de Frobenius-Lusztig. En los últimos quince años, los grupos cuánticos han atraído el interés de matemáticos con diversas formaciones e intereses. En particular, ha habido gran interés en problemas de clasificación de álgebras de Hopf; ver por ejemplo [A2].

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Galois Theory of Module Fields

Galois Theory of Module Fields

In the second chapter we first state our convention concerning algebras, coalgebras, and bialgebras and then cover module algebras. Module algebras are used in this thesis as a framework to describe a large family of struc- tures such as derivations, iterative derivations, endomorphisms and automor- phisms in a unified way. In section 2.2, we first recall their definition and prove some of their basic properties. At the end of this section, we focus on simple module algebras, which behave particularly well. We close this chap- ter with examples illustrating the concept of module algebras by defining a number of bialgebras D and explaining D-module algebras in these cases. Most of the bialgebras we explain there are cocommutative, but we also give two examples of non-cocommutative bialgebras. In chapter 3 we make the as- sumption that the bialgebra is cocommutative. This excludes these bialgebras to be used in our theory, but they are important to describe theories like those of Y. Andr´e and C. Hardouin ([And01], [Har10]). Finally, we show how one can associate a bialgebra D to a given iterative Hasse system D in the sense of R. Moosa and T. Scanlon ([MS10], [MS09]). Then an iterative D -ring poses a canonically associated D-module algebra structure and conversely every com- mutative D-module algebra becomes an iterative D -ring.

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Triangular structures of Hopf algebras and
tensor Morita equivalences

Triangular structures of Hopf algebras and tensor Morita equivalences

can not be obtained from any group Hopf algebra by a twist. In addition, it is interesting to note that the numbers of quasitriangular structures of Hopf algebras k [G N L ] and A N L are the same as shown in [25], however the numbers of triangular structures are nevertheless distinct. So, the author would like to make a suggestion that the triangular structures of a Hopf algebra should be examined in more detail as an tensor Morita invariant. Besides, there are many important contributions to classification on (minimal) triangular Hopf algebras, which are raised by Etingof and Gelaki [6], Gelaki [7, 8], Andruskiewitsch, Etingof and Gelaki [2], Masuoka [16], et al.

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Hopf algebras and finite tensor categories in
            conformal field theory

Hopf algebras and finite tensor categories in conformal field theory

The second issue, a generalization of the notion of modular tensor category that includes non-semisimple finite tensor categories, is the subject of section 4. This generalization, given in section 4.5, makes use of a categorical Hopf algebra that is defined as the coend of a functor related to rigidity. Remarkably, this Hopf algebra gives rise both to three-manifold invariants (section 4.4) and to representations of mapping class groups (section 4.5), albeit they do not quite fit together. One may thus suspect that in the study of conformal field theory, methods from three-di- mensional topological field theory can still be relevant also for non-rational CFTs.

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