Algebroides de Lie

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Algebroides de Lie y sus aplicaciones a la interpolación en variedades diferenciables

Algebroides de Lie y sus aplicaciones a la interpolación en variedades diferenciables

Existen multitud de problemas en matemáticas y en física en los que la presencia de simetrías en los sistemas dinámicos que los describen permiten simplificar su estudio y así facilitar su resolución. En este trabajo, nos centraremos en los problemas de interpolación y aproximación en variedades di- ferenciables, los cuales tienen especial interés en campos como la robótica o la animación 3D. En este último, interpretando el conjunto de estados de un sistema dinámico como una variedad diferenciable, se pueden diseñar trayectorias de objetos que vienen dadas por curvas satisfaciendo ciertas condicio- nes, y así producir animaciones por ordenador. Se buscan trayectorias sin cambios bruscos, y por tanto, estas curvas han de ser diferenciables en todos sus puntos. Para ello, se trabaja con splines cúbicos. En este trabajo se hará uso de la teoría de algebroides de Lie para obtener un método de resolución para este tipo de problemas, trabajando directamente en el espacio reducido y veremos que permite obtener una descripción muy adecuada y ventajosa. Además, aplicaremos los resultados obtenidos a la teoría de Splines y otros métodos de interpolación y aproximación en variedades diferenciables.
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Cálculo de Frölicher-Nijenhuis en la teoría de algebroides de Lie

Cálculo de Frölicher-Nijenhuis en la teoría de algebroides de Lie

cofrontera y derivaci´ on de grado 1 del ´ algebra exterior Γ(Λ • E ∗ ). El complejo coca- dena correspondiente nos da la cohomolog´ıa del algebroide de Lie E y el operador D se llama diferencial de De Rham de E. En el caso particular en que E = T M es el haz tangente y (E, q, [ | , | ]) = (T M, id, [ , ]) es el algebroide de Lie tangente, D es la diferencial de De Rham usual de formas en M. Otro ejemplo importante no trivial es el algebroide de Lie cotangente de una variedad de Poisson que induce la noci´ on de cohomolog´ıa de Poisson [33]. Rec´ıprocamente, dado un operador diferencial D podemos construir un algebroide de Lie de manera natural, definiendo la aplicaci´ on ancla q : E → T M y el corchete de Lie en ΓE en t´ erminos de D. Aqu´ı la identidad de Jacobi y la regla de Leibniz para el corchete son consecuencia de la condici´ on de cofrontera para D y de la propiedad para D de ser derivaci´ on de grado 1. Una de nuestras principales aportaciones es describir algebroides de Lie no triviales en el haz tangente y sus diferenciales de De Rham. Aqu´ı, por algebroides de Lie no triviales nos referimos a que su corchete es distinto al corchete de Lie de campos vectoriales y su diferencial es distinta a la diferencial de De Rham. El punto clave de nuestro trabajo para parametrizar dichos algebroides es utilizar la descomposi- ci´ on de Fr¨ olicher-Nujenhuis para la diferencial D = L q +ı L , donde L es la derivada
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Algunas propiedades topológicas de los Grupoides dobles de Lie

Algunas propiedades topológicas de los Grupoides dobles de Lie

La aplicación de métodos categóricos en geometría diferencial ha cobrado gran interés. Como puede observarse en [C, CF1, CF2] existe una gran variedad de resultados geométricos que se derivan a partir del estudio de estructuras como Grupoides y Algebroides de Lie, Alge- broides de Courant, Espacios Simpliciales, Extensiones de Kan, n-categorías, etc. Pero pocos trabajos se han dedicado al estudio de las categorías iteradas 1 . Los trabajos de Ehresman [Eh], R. Brown y K. Mackenzie [BM], Mackenzie [M1, M2, M3, M4, M5] y, más recientemente, por Th. Voronov [V], Gracia-Saz y Mehta [GM] y R. A. Metha [M], son algunos de los po- cos trabajos dedicados a estudiar propiedades geométricas (y topológicas) sobre estructuras categóricas dobles.
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Ecuación de Riccati mediante grupos de Lie

Ecuación de Riccati mediante grupos de Lie

La cuesti´ on aqu´ı, pr´ acticamente, es la de qu´ e tanto permite avanzar en el estudio de la ecuaci´ on la introducci´ on de los grupos de Lie; adem´ as, la de si la consideraci´ on de los m´ etodos de soluci´ on mediante grupos de Lie permite esclarecer la estructura de las ecuaciones de Riccati que admiten grupos de Lie, o la del conjunto de soluciones.

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Sistemas de Ermakov, Sistemas de Lie y Aplicaciones

Sistemas de Ermakov, Sistemas de Lie y Aplicaciones

Los sistemas de Ermakov forman un campo de investigaci´ on muy activo en la actualidad ya que son casos particulares de los llamados sistemas de Lie, los cuales obedecen ciertas leyes de superposici´ on. De esta manera, es posible estudiar los sistemas de Ermakov desde el punto de vista geom´ etrico, utilizando las herramientas de la Teor´ıa de Lie, lo cual nos permite obtener sus simetr´ıas [10, 16, 17] y as´ı, caracterizar conjuntos completos de sus soluciones.

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Deformaciones de álgebras de Lie nilpotentes filiformes

Deformaciones de álgebras de Lie nilpotentes filiformes

En esta tesis abordamos el problema de rigidez de álgebras filiformes complejas. En primer lugar presentamos un método general para construir deformaciones lineales de álgebras de Lie, que se adapta muy bien y resulta efectivo en el caso de álgebras filiformes. Usando este método construimos deformaciones lineales para cualquier filiforme. Para dimensiones ≤ 11, en las que es posible describir las variedades de filiformes de manera accesible, mostramos que las deformaciones construidas son no triviales en un abierto denso, para luego deducir el resultado principal de la tesis: Teorema. No existen álgebras de Lie filiformes complejas rígidas en dimension ≤ 11.
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G2-estructuras ERP en grupos de Lie

G2-estructuras ERP en grupos de Lie

Habiendo logrado una clasficaci´ on completa de estructuras ERP en gru- pos de Lie salvo equivalencia y multiplicaci´ on por escalar, es natural hacerse otras preguntas que caracterizan a cada una de las cinco estructuras ERP dadas en el teorema. En las ´ ultimas secciones de este cap´ıtulo estudiamos las simetr´ıas en cada una de las estructuras dadas, como as´ı tambi´ en calcu- lamos los n´ umeros de Betti y el grado de nilpotencia del nilradical en cada uno de los ejemplos.

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Caracterización de las Álgebras de Lie Nilpotentes y Solubles

Caracterización de las Álgebras de Lie Nilpotentes y Solubles

Este trabajo tuvo las características de la investigación pura y/o básica ya que "se propone enriquecer el conocimiento sin preocuparse por la aplicación directa o inmedia- ta de los resultados" 4 , en este caso específico se propone enriquecer la caracterización de las álgebras de Lie nilpotente y solubles utilizando los teoremas de Lie y Engel. Se implementó una metodología teórica. Además, se enmarca dentro de la línea de investi- gación: Matemáticas y Física. Esta línea de investigación hace parte del saber específico y el área de formación básica del Programa de Licenciatura en Matemáticas y Física de la Facultad de Ciencias Humanas y la Educación de la Universidad de los Llanos.
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Clases de álgebras de Lie y subálgebras de Cartan

Clases de álgebras de Lie y subálgebras de Cartan

En este trabajo abordaremos las extensiones de los argumentos cl´ asicos pa- ra demostrar la existencia de las sub´ algebras de Cartan en el contexto soluble. Adem´as examinaremos las condiciones que permitan garantizar la conjugaci´ on de tales sub´algebras. Finalmente, es de gran importancia te´orica que si N deno- ta la clase de todas las ´algebras de Lie nilpotentes de dimensi´ on finita, entonces se demuestra que los N-proyectores de un ´ algebra de Lie L son precisamente sus sub´algebras de Cartan.

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Álgebras de Lie. 4.1 Definición y ejemplos

Álgebras de Lie. 4.1 Definición y ejemplos

Ejemplo 4.1.2. Sea V un espacio vectorial sobre un campo F. El conjunto de todos los endomorfismos en V, denotado por End(V), tiene una estructura natural de espacio vectorial sobre F. Adem´as, podemos definir un producto asociativo en End(V) mediante la composici´on de funciones. As´ı, End(V) se convierte en una ´algebra de Lie con el conmutador (4.1). A ´esta ´algebra de Lie se le conoce con el nombre de ´ algebra general lineal de Lie y se denota por gl(V). Cuando el espacio V es de dimensi´on finita, digamos n, podemos identificar al espacio gl(V) con el espacio de matrices M n (F) y se
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Mediante Grupos de Lie

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Mediante Grupos de Lie

El desarrollo de los grupos de Lie ha abarcado diversas ´ areas de la matem´ atica pura y aplicada, causando un gran impacto en cada una de estas, mucho m´ as de lo esperado por el mismo Lie. Las aplicaciones de los grupos de simetr´ıa de Lie se pueden encontrar en topolog´ıa algebr´ aica, geometr´ıa diferencial, teor´ıa de invariantes, teor´ıa de bifurcaciones, mec´ anica cl´ asica, etc. No obstante, el estudio de los trabajos de Lie y de los grupos que llevan su nombre comenzar´ıa hace poco m´ as de un siglo, ya que desafortunadamente cayeron en el olvido por un largo periodo de tiempo durante el siglo XIX, hasta que se logr´ o reformular la geometr´ıa diferencial y gracias tambi´ en al impulso que Eli Cartan les dio al estudiar sus usos geom´ etricos. Los resultados obtenidos por Cartan han sido de gran importancia y abarcan las ´ algebras de Lie, la representaci´ on de los grupos de Lie semisimples, el estudio de simetr´ıas en ecuaciones diferenciales, entre otras. Podemos decir que los trabajos Cartan son una s´ıntesis asombrosa entre la teor´ıa de Lie, la geometr´ıa diferencial y la topolog´ıa.
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GRADO LIE DOCTOR EN CIENCIAS ASESOR DE LA TESIS

GRADO LIE DOCTOR EN CIENCIAS ASESOR DE LA TESIS

Es importante notar clue en los métodos antes mencionados, los controles son bien sea (i) del tipo de baja ganancia -que in-lplica que la estabilización global asintótica s[r]

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Sobre grupos de Lie solubles de curvatura de Ricci negativa

Sobre grupos de Lie solubles de curvatura de Ricci negativa

En el caso homog´ eneo, el ´ unico comportamiento de curvatura que a´ un no se entiende es Ricci negativa y existe evidencia que una caracterizaci´ on algebraica de grupos de Lie que admiten m´ etricas invariantes a izquierda de curvatura de Ricci negativa est´ a muy lejos de nuestro alcance por el momento. En este trabajo se analiza el espacio de las derivaciones de una ´ algebra de Lie nilpotente n fija, tales que la extensi´ on soluble correspondiente tiene una m´ etrica de curvatura de Ricci negativa; trabajamos con el cono abierto y convexo C(n) introducido por Lauret - Will (2019) con el objetivo de responder la pregunta: ¿Cu´ ales son las ´ algebras de Lie solubles con nilradical n fijo, que admiten una m´ etrica de curvatura de Ric < 0?, analizamos conjeturas acerca de este conjunto en ejemplos de dimensiones bajas. Por otro lado se muestran resultados respecto al c´ alculo del cono C(n) en ´ algebras de Lie especiales, como ser Heisenberg, filiforme y libre dos pasos nilpotente.
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Modelos de matrizes aleatórias e integrais sobre Grupos de Lie

Modelos de matrizes aleatórias e integrais sobre Grupos de Lie

Os modelos de matrizes aleatórias podem ser utilizados para gerar essas discretiza- ções e, utilizando esse formalismo, podemos obter informações importantes sobre a teoria da gravitação[r]

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Existencia de Subálgebras de Cartan en Algebras de Lie Solubles

Existencia de Subálgebras de Cartan en Algebras de Lie Solubles

-AL ESTUDIAR ALGUNAS NOCIONES BÁSICAS SOBRE ÁLGE- BRAS DE LIE SOLUBLES, LA ESTRUCTURA Y REPRESENTA- CIÓN DE LAS SUBÁLGEBRAS DE CARTAN, SE CONCLUYE QUE LA TEORÍA DE GRUPOS ES FUNDAMENTAL PARA ESTE TRA- BAJO. -EN ESTE TRABAJO DE GRADO SE ESTUDIO Y SE DE- MOSTRÓ LA EXISTENCIA DE LAS SUBÁLGEBRAS DE CARTAN EN LAS ÁLGEBRAS DE LIE SOLUBLES, MEDIANTE PROCE- DIMIENTOS MATEMÁTICOS QUE PERMITIO ENRIQUECER EL CONOCIMIENTO EN UN NUEVO TEMA. -LA TEORÍA DE ÁLGE- BRAS DE LIE SOLUBLES DE DIMENSIÓN FINITA ES INSPIRA- DO EN EL DESARROLLO DE LA TEORÍA DE GRUPOS FINITOS Y FUE CONSIDERADO INICIALMENTE POR EL PROFESOR D. BARNES DE LA UNIVERSIDAD DE SIDNEY. UNO DE LOS APOR- TES CENTRALES DE ESTE TRABAJO DE GRADO CONSISTIÓ EN PRESENTAR EN DETALLE LOS RESULTADOS ORIGINALES PUBLICADOS EN EL FABULOSO ARTÍCULO DONDE SE DE- MUESTRA LA EXISTENCIA DE LAS SUBÁLGEBRAS DE CARTAN EN LAS ÁLGEBRAS DE LIE SOLUBLES DEL PROFESOR BAR- NES Y DE LOS RESULTADOS DE TRABAJO DE TESIS QUE GE- NERALIZO EL PROFESOR M. NAVARRO, A PARTIR DEL TRA- BAJO DE BARNES, DEL CUAL HEMOS REFERENCIANDO EN ESTE INFORME DE GRADO.
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Isotopismos de álgebras de Lie filiformes sobre cuerpos finitos

Isotopismos de álgebras de Lie filiformes sobre cuerpos finitos

las ´ algebras de Lie nilpotentes de dimensiones superiores. ´ Esta es la raz´ on por la que actualmente, adem´ as de estar consider´ andose problemas que se dirigen m´ as a la b´ usqueda de nuevas propiedades de estas ´ algebras que a la clasificaci´ on en s´ı de las mismas, tambi´en se est´ an centrando los esfuerzos en buscar resultados parciales en estas clasificaciones, como pudieran ser los de clasificar determinadas familias particulares de ´ algebras de Lie o ´ algebras de Lie definidas sobre cuerpos finitos, a diferencia de sobre R o C.

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Deformaciones lineales de álgebras de Lie : una nueva construcción

Deformaciones lineales de álgebras de Lie : una nueva construcción

El trabajo tiene una primera parte, los Capítulos 2 y 3, en la que listamos los resultados preliminares sobre álgebras de Lie y deformaciones de álgebras de Lie necesarios para su desarrollo. En el Capítulo 4, presentamos dos construcciones de deformaciones lineales de álgebras de Lie. La primera, está relacionada de manera más o menos directa con la situación inspiradora y es un caso particular de la segunda. En el último capítulo mostramos diversos ejemplos de clases de álgebras de Lie nilpotentes para las cuales la segunda construcción produce deformaciones no triviales. Nos resultó más o menos fácil hallar estas familias y tenemos la impresión de que podremos hallar muchas más. No sabemos en este momento qué alcance tiene la construcción principal presentada en este trabajo. En las aplicaciones, para asegurar la no trivialidad de la deformación construida, nos hemos guiado solo buscando ejemplos en los que la serie central descendente se vea alterada por la deformación. Esperamos continuar profundizando el estudio de esta contrucción y sus aplicaciones confiando en que producirá nuevos resultados de interés al problema de no rigidez de álgebras de Lie nilpotentes.
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From Finite Groups to Lie Groups

From Finite Groups to Lie Groups

n > 2, and more generally, to the finite subgroups of SU(2). These either are of the form ϕ −1 (G), for a finite subgroup G of SO(3), or are cyclic groups of odd order. For each finite subgroup of SU(2), one can decompose each tensor prod- uct of an irreducible representation and the restriction of the two-dimensional representation of SU(2) into a direct sum of irreducible representations. One can show that the matrix of coefficients appearing in these decompositions can be calculated from a matrix, called the Cartan matrix, associated to a simple Lie algebra. The correspondence between finite subgroups of SU(2) and simple Lie algebras is called the McKay correspondence. See B. Kostant, “The McKay correspondence, the Coxeter element and representation theory,” in Elie Cartan ´ et les math´ ematiques d’aujourd’hui. The Mathematical Heritage of ´ Elie Cartan, Ast´ erisque, hors s´ erie, Soci´ et´ e Math´ ematique de France, 1985, pp. 209–255, and “The Coxeter element and the branching law for the finite subgroups of SU(2),” in The Coxeter Legacy. Reflections and Projections, C. Davis and E. W. Ellers, eds., American Mathematical Society, Providence, RI, 2006, pp. 63–70.
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Algunas aplicaciones de los grupos de Lie a la teoria de la relatividad general

Algunas aplicaciones de los grupos de Lie a la teoria de la relatividad general

Un caso especial de este problema se tiene cuando hay una métrica en llf y se desea saber si un campo vectorial es ortogonal a una familia de hipersuperficies, o bien, cuándo tenemos sub[r]

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Entropia topológica de endomorfismos de Grupos de Lie

Entropia topológica de endomorfismos de Grupos de Lie

Em 2010, mostrou-se em [18] que a entropia topol´ ogica de automorfismos em Grupos de Lie simplesmente conexos ´ e sempre nula, demostrando-se ent˜ ao que, em v´ arios casos, a entropia topol´ ogica ´ e estritamente menor que a entropia de Dinaburg- Bowen. Em 2013, estenderam-se estes resultados em [5] e se determinou a entropia de um endomorfismo sobrejetor de um grupo nilpotente ou redutivo como sendo a entropia da restri¸c˜ ao do endomorfismo a componente toral do centro de G. Em 2016, em [6], estenderam os resultados anteriores para endomorfismos de transforma¸c˜ oes n˜ ao pr´ oprias. Em novembro de 2017, publicou-se no reposit´ orio Arxiv, em [19], a resolu¸c˜ ao do problema quando o endomorfismo ´ e pr´ oprio e, j´ a em fevereiro de 2018, resolveu-se o caso geral. Recentemente (dezembro de 2018) o artigo foi aceito para publica¸c˜ ao no Israel Journal of Mathematics.
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