Distribuciones Continuas relacionadas con la Distribución Normal

DISTRIBUCIONES CONTINUAS. DISTRIBUCIÓN NORMAL. 1.- DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE CONTINUA Las distribuciones de probabilidad de variable continua son idealizaciones de las distribuciones estadísticas de variable continua. Estas se obtienen empíricamente (experimentando u observando). Aquellas son distribuciones teóricas. Por ejemplo, estaturas, pesos, tiempos …, son variables continuas.

b) Las plantas más altas corresponden a la distribución N (7;1,5) . En las otras distribuciones, la media de las alturas coincide, y en N (5;1,5) están más agrupadas, respecto a la media, que en N (5;3,5) . 4. Manejando la tabla de la distribución normal, hallamos cada caso:

9. En un examen a un gran número de estudiantes, se comprobó que las calificaciones obtenidas correspondían razonablemente a una distribución normal con calificación media de 6 y desviación típica de 1. Elegido al azar un estudiante, calcular cuál es la probabilidad de que su calificación esté comprendida entre 6’7 y 7’1.

Distribuciones: discretas y continuas 2.2. DISTRIBUCIÓN NORMAL Abraham de Moivre (1667-1754) presento en un artículo de año 1733 la función de densidad de la mal llamada “campana de Gauss”. Gauss (1777-1855) y Laplace (1749-1827) llegaron a ella estudiando la distribución de los errores de observaciones. Es la distribución que aparece con más frecuencia en la práctica, hasta el punto que el nombre lo tiene porque se pensaba en un principio que todas las distribuciones estadísticas eran de este tipo, ya que era una ley de la naturaleza. Esta situación fue parafraseada por Lippmam “todos creen en la ley normal de errores: los experimentadores, porque ellos piensan que puede ser probado por las matemáticas; los matemáticos, porque creen que se ha establecido por la observación”.

Esta distribución juega un papel clave en el desarrollo de la inferencia estadística, pues muchas de las herramientas usadas en la toma de decisiones o en las pruebas de hipótesis, tienen su fundamento en esta distribución. Un gran número de estudios pueden ser aproximados usando una distribución normal. Algunas variables físicas, datos meteorológicos (temperatura, precipitaciones, presión atmosférica, etc.), mediciones en organismos vivos, notas o puntajes en pruebas de admisión o de aptitud, errores en instrumentación, proporciones de errores en diversos procesos, etc.

  , 2 . El teorema central del límite da una justificación teórica del hecho de que en la naturaleza se encuentren con frecuencia variables aleatorias con distribución aproximadamente normal, ya que dichas variables pueden ser consideradas frecuentemente como suma de gran número de variables, todas ellas de poca influencia sobre la conducta de la variable considerada, pero que contribuyen, aunque individualmente sea con poca intensidad, a la cuantificación de sus valores y merced al teorema central del límite, estas variables podrán también ser tratadas por aproximación, como normales.

Como veremos más adelante cualquier distribución normal con media µ y desviación típica σ puede asociarse a una distribución normal con media 0 y desviación típica 1, mucho más sencilla de trabajar. Esta distribución normal con media 0 y desviación típica 1 se llama distribución normal estándar y se denota como N(0,1).

8.-Suponga que la vida de cierto tipo de transistores tiene una distribución exponencial con vida media de 500 horas. Si X representa la vida útil de un transistor. a) Hallar la probabilidad que falle antes de las 300 horas? b) Cuál es la probabilidad que dure por lo menos 300 horas?

g) Verdadero, ya que tienen infinitas cifras decimales no periódicas.. Con ayuda de las propiedades de los números reales, prueba que el producto de cero por cualquier número real da com[r]

CATÍTULO V DISTRIBUCIONES CONTINUAS: Distribución NORMAL En nuestra vida utilizamos muchas veces la palabra normal para decir por ejemplo que es “normal que los jóvenes ingresen a la universidad cuando tienen entre 18 y 19 años” o que es “normal que en Mendoza tengamos en verano temperaturas de alrededor de 30º” o que es “normal que una persona que mide 1,65 m tenga un peso de entre 55 y 60 kg”, etc por supuesto que no todo es tan simétrico y tenemos alumnos en la universidad que ingresan con edades mucho mayores a los 18 años, o que en verano la temperatura pueda llegar a 42 grados, o que una persona de 1,65 m pese 48 kg, etc

• La distribución continua de probabilidad más importante en todo el campo de la estadística es la distribución normal. Su gráfica, que se denomina curva normal, es la curva con forma de campana, la cual describe aproximadamente muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación. Las mediciones físicas en áreas como los experimentos meteorológicos, estudios de la lluvia y mediciones de partes fabricadas a menudo se explican más adecuadamente con la distribución normal. Además, los errores en las mediciones científicas se aproximan extremadamente bien mediante una distribución normal.

–¿A qué se refiere con «múltiples observaciones de la posición de una estrella»?–, preguntó un estudiante paliducho y con pelo lacio y oscuro. –Ah, buena pregunta. –Caine se acercó a la pizarra–. En aquel enton- ces, uno de los grandes problemas de la astronomía era que todos to- maban sus mediciones un poco a ojo de buen cubero y, como las per- sonas cometen errores, los datos no eran claros. Veinte astrónomos diferentes medían la posición de una estrella y obtenían veinte lectu- ras diferentes. Lo que hizo Laplace fue tomar aquellas veinte observa- ciones diferentes y elaborar un gráfico. Cuando lo hizo, vio que las posiciones formaban una curva con forma de campana como ésta. –Caine señaló una gráfica de distribución normal en la pared–. En cuanto vio esto, exclamó: «Ajá, si las observaciones están en una dis- tribución normal, entonces la punta nos indica la posición más proba- ble de la estrella».

1. La duraci´on de cierto motor peque˜ no sigue una distribuci´on Normal con media 10 a˜ nos y desviaci´on t´ıpica 1.5 a˜ nos. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que un motor dure menos de 7 a˜ nos? b) El fabricante se compromete a cambiar gratis todos aquellos motores que fallen durante el tiempo de garant´ıa. Si est´a dispuesto a reemplazar s´olo el 3 % de los motores, ¿de qu´e duraci´on debe ser la garant´ıa que ofrezca?

1 DISTRIBUCIÓN NORMAL 1. Distribución normal La "distribución normal" o distribución de Gauss es sin duda la más impor- tante y la de más aplicación de todas las distribuciones continuas. Esta distribu- ción es bastante adecuada para describir la distribución de muchos conjuntos de datos que ocurren en la naturaleza y la industria. Así pues para los siguientes conjuntos de datos, se puede considerar adecuada la distribución normal:

β e −β x x ≥ 0 0 x < 0 Esta distribución está relacionada con la de Poisson, así pues si el número de sucesos que ocurren en un determinado intervalo sigue una distribución de Poisson, entonces la variable aleatoria que representa el tiempo entre ocurrencia de sucesos sigue una distribución exponencial. Así, por ejemplo, si el número de ventas semanales de un cierto modelo de autos sigue una distribución de Poisson, entonces el tiempo transcurrido entre las ventas seguirá una distribución exponencial.

Distribución Normal: Ejemplos y ejercicios resueltos. Una distribución normal de media µ y desviación típica σ se designa por N (µ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss: El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad. Esto es porque la probabilidad de que un suceso ocurra entre todas las posibilidades es un 100%, o sea

Cuando m = 0 y s = 1, tenemos un caso concreto, N(0;1). Es la llamada Distribución Normal estándar, y utilizada como referencia constante en el uso de la Tabla de la normal. Hasta el punto que, como veremos, mediante un cambio de variable llamado ‘tipificación’, cualquier otro caso en el que m y s no tomen los valores anteriores (0 y 1, respectivamente) se consigue transformarla en otra equivalente cuyos parámetros toman el valor 0, 1, y por tanto adecuada para utilizar las citada tabla de la normal estándar.

distribución arbitraria • Se afirma que en general, cualquier prueba que contenga una cantidad suficiente de preguntas distribuidas en un rango amplio de grados de dificultad, en una variedad de tópicos y en la que se incluyen preguntas que tienen una fuerte correlación con el resultado final de la prueba,

Las distribuciones continuas son aquellas que la variable aleatoria puede tomar un número infinito de posibles valores. Por ejemplo, el peso promedio de las bolsas de 1 kg de café mexicano para exportación puede tomar una infinidad de valores en un intervalo (0.995kg, 0.996kg., 09965kg., 0.998 kg., 0.9985 kg, …, 1.001 kg, 1.005 kg, 1.010 kg., etc.). Como se mencionó en el tema II, una tabla, gráfico o expresión matemática que dé las probabilidades con que una variable aleatoria toma diferentes valores, se llama distribución de la variable aleatoria. La inferencia estadística se relaciona con las conclusiones que se pueden sacar acerca de una población de observaciones basándose en una muestra de observaciones. Entonces intervienen las probabilidades en el proceso de la selección de la muestra; en este caso se desea saber algo sobre una distribución con base en una muestra aleatoria de esa distribución. De tal manera vemos que trabajamos con muestras aleatorias de una población que es más grande que la muestra obtenida; tal muestra aleatoria aislada no es más que una de muchas muestras diferentes que se habrían podido obtener mediante el proceso de selección. Este concepto es realmente importante en estadística.

• La distribución normal es una distribución con forma de campana donde las desviaciones estándar sucesivas con respecto a la media establecen valores de referencia para estimar el porcentaje de observaciones de los datos. Estos valores de referencia son la base de muchas pruebas de hipótesis, como las pruebas Z y t (MINITAB, 18).