Invención de problemas

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Invención de problemas matemáticos de enunciado verbal por estudiantes de básica secundaria

Invención de problemas matemáticos de enunciado verbal por estudiantes de básica secundaria

Asimismo, los estudiantes pueden inventar problemas durante la solución de un problema complejo, naturalmente, realizando cambios al mismo (Silver, Mamona-Down, Leung y Kenny, 1996). ¿Cómo podemos plantear el problema de forma diferente?, ¿cómo variar el problema descartando parte de las condiciones? (Polya, 1979). También, pueden inventar antes de empezar a resolver un problema, es decir, a partir de una situación o experiencia dada con anterioridad al estudiante (Silver, 1994). Por último, la invención de problemas se puede realizar posterior al proceso de resolución de un problema, esto es, modificando un objetivo, una condición o pregunta del mismo, con el fin de generar nuevos enunciados (Silver, 1994). Esta alternativa es llamada “¿What if not?” y utilizada por autores como Brown y Walter (1993). A continuación, se muestran las categorizaciones de los ámbitos de investigación en invención de problemas matemáticos (Silver, 1996).

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Invención de problemas aritméticos por estudiantes con talento matemático: Un estudio exploratorio.

Invención de problemas aritméticos por estudiantes con talento matemático: Un estudio exploratorio.

Algunos autores (Polya, 1979; Cázares, 2000; English, 1997) ponen de manifiesto la importancia que tiene la invención de problemas dentro de la resolución de problemas, ya que varias investigaciones reconocen en sus etapas de solución del problema actividades relacionadas con la invención de problemas. Por ejemplo, Osbon (1963; citado en Castro, 1991) menciona que se debe dividir el problema en subproblemas para facilitar la resolución del mismo; Rossman (1971; citado en Castro, 1991), sugiere en sus dos primeras etapas de resolución de problemas la necesidad reformular el problema para resolverlo y en la fase “looking Back” de resolución de problemas citada por Polya (1979) y el método IDEAL de Bransford y Stein (1986) aparece dicha componente. Como se puede observar, la invención de problemas ha sido parte de la resolución de problemas desde hace ya varios años; sin embargo, es hasta en las últimas décadas cuando los investigadores en Educación Matemática prestan atención a la invención de problemas como una línea de investigación dentro de la resolución de problemas.

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La invención de problemas como tarea escolar / Ma Fernanda Ayllón Blanco  e Isabel A  Gómez Pérez

La invención de problemas como tarea escolar / Ma Fernanda Ayllón Blanco e Isabel A Gómez Pérez

La investigación en educación matemática considera que el trabajo con problemas es imprescindible para que el individuo construya de manera significativa el Conocimiento Matemático (Freudenthal, 1973, Kilpatrick, 1987 y Polya, 1965); asimismo advierte que cuando un sujeto inventa un problema está alcanzando niveles elevados de razonamiento que hacen posible la construcción del conocimiento matemático. Se justifica la necesidad de indagar en el campo de la invención de problemas a partir de una doble vía. Una primera vía parte de las investigaciones aportadas en Educación Matemática donde se fijan como objetivos prioritarios de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas el planteamiento y la resolución de problemas (Noda, 2000). La segunda vía de justificación se halla en diferentes documentos curriculares. En la etapa de Educación Primaria, los correspondientes al Real Decreto 1513/2006 del MEC (Ministerio de Educación y Ciencia) y el Decreto 230/2007 de la Junta de Andalucía, y a distinto nivel curricular en National Council of Teachers of Mathematics (NCTM 1980, 1991 y 2000).

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Invención de problemas matemáticos de enunciado verbal (IPMEV)

Invención de problemas matemáticos de enunciado verbal (IPMEV)

Las situaciones didácticas diseñadas para el trabajo con los asistentes tienen el objeto de proponer una actividad diferente de nuestras prácticas pedagógicas, que aunque todos estamos acostumbrados a decir que se trabajan, en realidad no lo hacemos. En particular, en la primera actividad se pretende proponer una imagen en donde aparezcan figuras (de la vida diaria), de la cual deberán crear un problema matemático que les parezca difícil de resolver (recordando, el acuerdo al que se llegó en el principio del taller, en cuanto al concepto de problema e invención de problemas), con el objeto de motivar la invención y estimular la creatividad, pues el marco teórico, muestra que este tipo de actividades estimulan, en particular, la creatividad de los estudiantes. En la segunda actividad se sugerirá un enunciado verbal, en el que aparecerán informaciones de datos numéricos de forma explícita relacionados con la distancia, tiempo, velocidad, capacidad, peso, fuerza, costo, etc. De la misma manera se les pedirá que inventen un problema difícil de resolver y tanto el anterior como éste tendrán el mismo propósito y el mismo porqué.

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Un estudio de los problemas inventados por estudiantes de secundaria en España

Un estudio de los problemas inventados por estudiantes de secundaria en España

El término invención de problemas se ha empleado para referirse tanto a la gene- ración de nuevos problemas o la reformulación de problemas dados (Silver, 1994; English, 1997; Silver y Cai, 1996). En este sentido, los estudiantes pueden inventar problemas durante la solución de un problema complejo (Silver, Mamona-Down, Le- ung y Kenny, 1996), realizando cambios al mismo. Así, podrían reformular el proble- ma y personalizarlo (Silver, 1994), disminuyendo el tamaño de los números emplea- dos o estudiar un caso particular de la situación dada, con el objetivo de comprender mejor el problema y así buscar una solución al mismo. Por ejemplo, en el trabajo de Polya (1979), aparece esta componente esencial de la actividad matemática, cuando se cuestiona ¿cómo podemos plantear el problema de manera diferente?, ¿cómo variar el problema descartando parte de la condición?

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LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

LOS PROBLEMAS EN LA HISTORIA

Lo que al-Khwârizmî hace en el libro es comenzar examinando las especies de números que aparecen en los cálculos y para ello parece estar considerando el mundo de los problemas comerciales y de herencias. Este mundo es lineal o cuadrático, y, en el curso de los cálculos, hay números que se multiplican por sí mismos, entonces son “raíces” de otros números, y los números que resultan de un número que se ha multiplicado por sí mismo son mâl, literalmente, “posesión” o “tesoro”; otros números no se multiplican por sí mismos, ni son el resultado de un número que se ha multiplicado por sí mismo, no son, por tanto, ni raíces, ni tesoros, son “simples números” o dirhams (la unidad monetaria). Tesoros, raíces y simples números son pues las especies de números que al-Khwârizmî va a considerar. Dicho de otra forma, al- Khwârizmî va a hablar de cosas que están conceptualizadas en el contexto del cálculo mercantil y con palabras cargadas con los significados propios de ese contexto va a construir el conjunto de las posibilidades que nosotros construiríamos como los polinomios de grado menor o igual que dos. Se puede buscar antecedentes de ello en la Aritmética de Diofanto, en donde también hay especies de números, pero en el libro de Diofanto está ausente la voluntad de agotar posibilidades.

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Bloqueos Psicológicos en la Resolución de Problemas

Bloqueos Psicológicos en la Resolución de Problemas

establecido que la tarea de resolver problemas mejora con la práctica y con el análisis y el conocimiento expreso de las estrategias heurísticas, técnicas, métodos, etc, que utilizamos al resolver problemas. Esta mejora se refiere a una facilidad para encontrar la técnica apropiada que hay que aplicar en cada situación determinada.

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100 PROBLEMAS MATEMÁTICOS

100 PROBLEMAS MATEMÁTICOS

2. Los problemas de matemáticas deben resolverse rápidamente y con unos cuantos pasos. Estos estudiantes daban por supuesto que los problemas de matemáticas son tareas rutinarias a las que deben aplicarse algoritmos aritméticos o algebraicos conocidos. Por el contrario, las tareas no rutinarias eran consideradas por la mayor parte de los encuestados como algo marginal a la vía de las matemáticas: “no son verdaderas matemáticas”, decían. Estaban convencidos de que algo funcionaba mal si al resolver un problema se tardaba demasiado tiempo en encontrar la solución (más de cinco o diez minutos).

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ALGO SOBRE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

ALGO SOBRE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Para Polya, la resolución de un problema se apoya en cuatro fases: "Comprender el problema. Concebir un plan. Ejecución del plan. Visión retrospectiva" (Polya, 1992: 19). Como epistemología de la resolución de problemas puede ser respetado, aunque sea ésta, actualmente -por el carácter de la enseñanza/aprendizaje- incompleta. Como estrategia de elaboración para el alumno, inaceptada. La información de estas fases únicamente nos advierten de las partes del proceso de elaboración, que no podemos confundir con la estrategia que forma parte del proceso creativo. Por un lado, entonces, lo externo a la realización; por otro, lo intelectual. Supongamos que para andar se deben realizar cuatro fases, a saber: " Querer moverse. Estar de pie. Avanzar una pierna con respecto a la otra. Avanzar la otra, respecto a la primera". ¿Todos los que no supiesen andar, aprenderían de esta manera? Esto podría ser lo externo de la realización del andar. Pero, ¿sólo hay que considerar lo externo? ¿Y el cerebro? ¿Y el sistema nervioso? ¿Y la madurez del individuo? ¿Logra andar el que realiza esas cuatro fases?

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LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Establecido pues en forma de método la traducción de los enunciados de los problemas al sistema de signos del álgebra, la idea de forma canónica en ese sistema de signos, que las formas canónicas son los polinomios y un cálculo con las expresiones cuyo objetivo es reducirlas a esas formas canónicas, el proyecto algebraico ha de ser encontrar un algoritmo para resolver cualquier ecuación polinómica. Sabemos que la historia de este proyecto se salda con la demostración de la imposibilidad de encontrar algoritmos para todos los polinomios y que esto conduce al estudio de las condiciones de resolubilidad y al álgebra moderna, gracias a los trabajos de Lagrange, Abel y Galois. No vamos a seguir ese hilo de la historia, sino que vamos a saltar de nuevo hacia atrás en el tiempo.

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La metacognición en la invención y resolución de problemas matemáticos

La metacognición en la invención y resolución de problemas matemáticos

La presente monografía se ubica dentro del campo de la didáctica de la matemática. Mediante la revisión y análisis bibliográfico, se buscó fundamentar teóricamente la intervención de la metacognición en la invención y resolución de problemas matemáticos. En primer lugar, se abordó el concepto y clasificación de la metacognición, para luego ver su pertinencia dentro del sistema educativo actual, su relación con la teoría constructivista y su presencia y aporte dentro de la matemática. En segundo lugar, se presentó la invención y resolución de problemas como ejes centrales dentro de la actividad matemática, por sus aportes al aprendizaje de esta disciplina, al igual que la relación consustancial que comparten estas tareas de manera conjunta en los procesos mentales que requieren para su abordaje. También, se describieron modelos propuestos por varios autores, entre ellos Polya, que mostraron las fases a seguir para un abordaje exitoso de los problemas. En tercer lugar, se analizó como los procesos metacognitivos enfocados al conocimiento y regulación cognitiva están presentes y actúan dentro del trabajo con problemas. Finalmente, se concluyó que inventar y resolver problemas matemáticos requiere de emociones favorables, de conocimiento de lo que se sabe (personas, tareas y estrategias), y de procesos mentales como reflexionar, planificar, cuestionar, evaluar etc. Procesos mentales que concuerdan con los modelos propuestos para trabajar problemas y que permiten evidenciar el actuar de la metacognición. Además, cabe recalcar, el rol que tiene el docente como mediador para promover procesos metacognitivos durante las actividades de invención y resolución de problemas.

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TALLER de resolución de problemas

TALLER de resolución de problemas

Soluci´on. Veamos si comprendemos bien el problema. ¿Cu´al es la inc´ognita? El n´ umero de a˜ nos que vivi´o Diofanto (las preguntas restantes se responden f´acilmente conociendo la respuesta a la primera). ¿Cu´ales son los datos? Una serie de informaciones sobre las etapas sucesivas de su vida, desde su infan- cia hasta su muerte. Ahora debemos concebir un plan. ¿Se ha encontrado con un problema semejante? Es de esperar que s´ı, ya que la mayor´ıa de los problemas resolubles por m´etodos algebraicos elementales son semejantes. El plan general consiste en escribir ecuaciones que reflejen las condiciones planteadas, resolver el sistema resultante y finalmente interpretar las solu- ciones obtenidas en el contexto original del problema. Llamemos x al n´ umero de a˜ nos vividos por Diofanto. Esta cantidad debe ser igual a la suma de las duraciones de las etapas de su vida, a saber: su infancia (x/6), la duod´ecima parte transcurrida hasta que le sali´o barba (x/12), los a˜ nos transcurridos hasta que contrajo matrimonio (x/7), los a˜ nos transcurridos hasta que na- ci´o su primog´enito (5), los a˜ nos que ´este vivi´o (x/2) y los 4 a˜ nos que Diofanto le sobrevivi´o. Por lo tanto escribimos:

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Estrategias para la resolución de problemas

Estrategias para la resolución de problemas

¿Has resuelto tu problema? ¡Enhorabuena! ¿O bien lo has trabajado durante horas, has acabado por no resolverlo y has decidido mirar la solución? ¡Enhorabuena también! Si has pasado un buen rato interesado, entretenido, intentando, y has decidido mirar cómo se resuelve, la experiencia puede ser incluso más satisfactoria que en el primer caso. Muchas veces aprende uno mucho más y más profundamente de los problemas intentados con interés y tesón... y no resueltos, que de los que uno resuelve casi a primera vista. Lo que hace falta en todo caso ahora es que reflexiones sobre todo el proceso durante un rato para darte a ti mismo una idea de cuáles fueron tus dificultades, los callejones sin salida en los que te metiste y por qué..., y cómo podrías proceder en el futuro para resolver mejor otros problemas, semejantes o no. Esta etapa del proceso puede ser la más provechosa de todas... y la que más a menudo olvidamos realizar.

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Todo lo que siempre quisiste saber de PI 

Todo lo que siempre quisiste saber de PI 

Uno de esos problemas es el de la cuadratura del círculo. Consiste en construir un cuadrado con un area igual a la de un círculo dado. Junto con la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, es uno de los tres problemas clásicos planteados por los matemáticos de la Grecia antigua. Es importante comprender que el término construir debe entenderse en el sentido de construir usando exclusivamente regla y compás. Aunque hoy nos pueda parecer un poco extraña esa insistencia en el uso exclusivo de la regla y del compás, debe tenerse en cuenta que para los griegos los números eran razones entre magnitudes que se representaban mediante segmentos, áreas o volúmenes. La historia de la cuadratura del círculo como pro- blema científico se extiende en su totalidad ante nosotros. Podemos rastrear sus orígenes en la antiguedad y seguir el desarrollo de los métodos e ideas para resolverlo hasta llegar por fín a su completa solución. Podemos ver también como el progreso hacia la solución se ha visto afectado por la labor de algunos de los más grandes matemáticos que ha dado la humanidad, como Arquímedes, Huyghens, Euler y Hermite entre otros.

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Link: la realidad como invención

Link: la realidad como invención

Distancia, entonces, entre ese objeto verbal extraño, casi incomprensible, pero que por su sola aparición supone –en la economía formal del relato- un fantasma presente, y un sujeto atado a la máquina farmacológica –recordémoslo: se trata de problemas de provisión de los medicamentos- cuyas menciones casi al pasar, como una cosa más entre las que está ocupado, condensan su espacio de afirmación: lo mínimo de la anécdota y la casi irrelevancia como acontecimiento en la voz del propio “personaje”, es decir, su estatuto micro, exhiben una microfísica y una micropolítica vital. Queda claro, de paso, que lo “mínimo” del episodio no le resta densidad cualitativa: por el contrario, la potencia. Una microfísica que muestra su conexión con el aparato farmacológico y una micropolítica vital (la minimización como hecho en tanto no determina su vida) para disentir con la clasificación monstruosa que el aparato normalizador le adjudicaría. (Si el “personaje” se dice monstruo a sí mismo, en algún momento, tiene que ver con otras razones: y es precisamente por eso que la potencia de ese monstruo es otra: es quien deviene monstruo por sí mismo, y no quien fue designado monstruo desde afuera (Cfr. 190).)

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LA INVENCIÓN DEL INVESTIGADXR

LA INVENCIÓN DEL INVESTIGADXR

extrañamiento es - en sí mismo - adoptar una postura epistemológica. La propuesta era que cada quien elija cómo pensarse frente a un problema, teniendo en cuenta que este «pararse frente a problemas» conlleva efectos de lecturas, de miradas, de concepciones sobre cómo y para qué conocer. De lo contrario, considerábamos que actuábamos como una de esas insoslayables leyes de la sociología, que hasta de tan cotidiana parece única e inmutable: leemos en una clave y actuamos en otra. Somos re copados en la teoría, no objetivamos, pero en el barro, reproducimos lo que está establecido.

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Invención y resolución de problemas para potenciar el pensamiento matemático en los alumnos de primer grado de primaria

Invención y resolución de problemas para potenciar el pensamiento matemático en los alumnos de primer grado de primaria

A modo de cierre, se realizó una entrevista a la doctora María Ayllón Blanco, a fin de conocer algunas de sus experiencias en el aula, en torno al trabajo con la invención y resolución de problemas. Ella menciona que el niño comienza a desarrollar su pensamiento desde que está en el vientre de la madre y hasta los 3 a 5 años de edad, inicia con el aprendizaje formal; es entonces a esta edad es cuando se le puede comenzar a enseñar al alumno el concepto de número. La doctora citó a Piaget para mencionar que los primeros aprendizajes del niño, se basan en la observación; el niño aprende de acuerdo a lo que ve.

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TítuloPatente ES 2411854 A1 Broca para la ejecución de ensanchamientos en taladros

TítuloPatente ES 2411854 A1 Broca para la ejecución de ensanchamientos en taladros

invención, describe unos taladros con un único ensanchamiento puntual, o bulbo, lo que aumenta la eficacia para transmitir la carga de la barra a la madera. Este tipo de taladros se realizan, ejecutando en primer lugar un taladro recto de diámetro constante mediante una broca de tipo berbiquí, para a continuación realizar el ensanchamiento mediante una broca de cuchilla excéntrica o de cuchillas articuladas como la recogida en el documento de patente ES2301321. Este sistema mejora de forma apreciable la capacidad resistente de la unión en el caso de anclajes cortos,

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estrategias de invención

estrategias de invención

La escritura es una práctica que requiere de bastante tiempo. Cuando el escritor no está limitado por la urgencia (como sucede en la resolución de un examen presencial o en la escritura periodística, por ejemplo) y, en cambio, cuenta con tiempo suficiente para desarrollar su proyecto (una tesis académica o un texto literario), una buena estrategia para activar la invención es llevar un diario en el que se registren toda clase de observaciones que, llegado el momento, puedan resultar productivas. No se trata, claro está, de un diario “íntimo” sino de una herramienta de trabajo en la que se pueden apuntar ideas, frases leídas o escuchadas al pasar, una descripción de algún objeto o lugar que llame la atención, etc.

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La Invención del sí mismo

La Invención del sí mismo

¿Qué puede decirnos hoy en día un libro como “La Invención del Sí Mismo” de Nikolas Rose a quienes estamos interesados en el estudio crítico de la psicología y las llamadas ‘disciplinas psi’? El propio autor nos da pistas al respecto cuando nos hace notar en el prefacio -que escribió especialmente para esta primera edición en castellano del texto- que se trata de un libro antiguo, pero que eso no lo priva de capacidad de operar con vigencia y de despertar nuestro interés. Esto último siempre y cuando su lectura actúe como punto de referencia, relevo y conexión para plantear nuevas preguntas sobre otros problemas, en otras temporalidades y geografías. Preguntas que nos ayuden a buscar, o más bien crear, nuevas formas de vivir. Rose propone entonces una lectura que tenga que ver más con la invención que con la exégesis.

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