números naturales

La realización de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con números decimales tiene como base los números naturales. Se aplica la propiedad fundamental de la división, ya estudiada en los números naturales, y se distinguen los distintos casos que se pueden dar, según se trate de división decimal de números naturales o decimales. Se trabajarán tanto la multiplicación como la división de la unidad seguida de ceros.

Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad, y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud, que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como ordinales según von Neumann.

En consecuencia, los cinco axiomas de Peano permiten construir el conjunto N de los números naturales y establecer su estructura algebraica como la de un semianillo conmutativo con elemento unidad y totalmente ordenado, en donde es el cero el elemento neutro de la suma o ley aditiva del semianillo y ϕ ( 0 ) el elemento unidad, neutro para la multiplicación o ley multiplicativa del semianillo.

Tema 1: Los números naturales – 7 – Acabamos de ver las operaciones básicas entre números naturales, para afianzarte en ellas y agilizar el cálculo mental, antes de seguir avanzando practica con el enlace de los cuadrados mágicos. Ayúdate de las hojas del final de este cuaderno que se adjuntan como anexo.

secreto o el misterio inefable. Es, en este punto de la historia, donde se logra un rompimiento importante en la génesis de los números, por cuanto que, los números naturales resultaron insuficientes para la aritmetización de la geometría. Esta inconsistencia dio origen a una nueva formulación del concepto de proporción que debía involucrar también magnitudes inconmensurables asociadas a números irracionales. La definición dada por Eudoxio de proporción, generó una dinámica nueva que abarca campos más allá de las matemáticas, como es el caso de la filosofía. Tanto Platón como Aristóteles se interesaron en el tema, a tal punto que es a través de la obra del segundo que conocemos la prueba de la irracionalidad de 2 ; y del primero tenemos información relacionada con la existencia de otros irracionales como 3 , 5 , y otros, descubiertos por el matemático griego Theeteto 3 . Las

raíz cuadrada exacta: una raíz cuadrada es exacta cuando el radicando es un cuadrado perfecto. raíz cuadrada entera: una raíz cuadrada es entera cuando el radicando no es un cuadrado perfec­ to. En estos casos, se puede hallar entre qué dos números enteros está la raíz cuadrada. El menor de ellos se llama raíz por defecto, y el mayor, raíz por exceso.

a) ¿Cuánto le faltan a 7 centenas de mil para formar una unidad de millón? -------------------------------- b) ¿Cuánto le faltan a 8 decenas de mil para formar 3 unidades de millón? -------------------------------- c) ¿Cuánto le falta a 9 unidades de millón para formar 2 centenas de millón? ----------------------------- d) ¿Cuánto falta a 4 unidades de millón para formar 3 decenas de millón? --------------------------------- e) ¿Cuánto falta a 5 unidades de millón para formar 4 centenas de millón? -------------------------------- 10.- Escribir a números romanos y al revés

Las decisiones a cargo del alumno que resuelve, los análisis que puede hacer mientras trabaja y las discusiones acerca de la validez de sus razonamientos con sus pares y con el docente van tejiendo una red de conocimientos que funda- mentan el funcionamiento de los números y de las operaciones. Abrir el juego de la clase a la búsqueda de estrategias, a su explicitación y confrontación, a su cir- culación y difusión en momentos de intercambio permite a los alumnos –ayuda- dos por el docente– identificar los conocimientos a retener relativos a los núme- ros y a los cálculos. Al mismo tiempo, los niños participan en la construcción de criterios de validación de los procedimientos elaborados (cómo es posible estar seguro de que una estrategia es correcta, cómo mostrar el error de un procedimiento) y de criterios de elección de procedimientos adecuados en fun- ción de la tarea. De este modo, a través de este tipo de práctica se está comu- nicando a la clase que se espera que las producciones sean validadas y que pue- de haber varios modos de hacerlo, que hay razones que hacen a la corrección o incorrección de las resoluciones, que hay criterios para la selección de formas de resolver más o menos adaptadas en función de las situaciones particulares y que no se trata de hechos azarosos. Estos aspectos podrán ser objeto de reflexión en la clase para que los alumnos puedan identificarlos.

Denotaremos por IN al conjunto de n´ umeros naturales, IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}, cuyos elementos son suma de un n´ umero finito de unos. Recordemos que IN es cerrado para la suma y el producto (la suma y el producto de n´ umeros naturales son n´ umeros naturales), pero no lo es para la resta o la divisi´on (4 − 9 ∈ / IN y 7

Un barco lleva ciento noventa y ocho mil seiscientos kilogramos de trigo, veintitrés millones quinientos cuarenta mil veintitrés kilogramos de café y nueve millones ochenta y siete mil novecientos treinta kilogramos de arroz. ¿Cuántos kilogramos lleva de carga en total?. Expresa la solución con números y con letras.

Publicado por Miguel Rojas Gerardino (2010). Antes de que surgieran los números el hombre se las ingenió para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme.

Las acciones para comprender los hechos numéricos básicos pueden ser muy variadas; desde los objetos ordinarios de uso escolar, lápices, gomas, tarjetas, etc. como objetos de juego o entretenimiento, tales como, cromos, canicas, aros, etc. También existen materiales didácticos diseñados para la enseñanza de los números y las operaciones, como los ya mencionados: Ábacos (horizontal y vertical) Bloques multibase o Bloques Dienes y, para la enseñanza de los hechos numéricos básicos de la suma y resta, las regletas Cuisenaire también llamadas “números en color”

Con las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división aprenderán a manejar con soltura los números naturales. Se estudiará asimismo la potenciación, reflexionando sobre su utilidad para representar de forma abreviada cálculos matemáticos. Se debe hacer especial hincapié en la utilización correcta de la jerarquía y propiedades de las operaciones y las reglas del uso de paréntesis en operaciones escritas, que junto con la resolución de problemas matemáticos, son los conceptos que resultan más complejos para los alumnos. También aprenderán a usar la calculadora para resolver operaciones aritméticas, pero debe inculcarse en los alumnos una actitud crítica y de análisis frente a los resultados obtenidos.

1. Interpretar cualquier suma o resta mediante la representación gráfica en N. 2. Identificar las propiedades de la suma y resta de números naturales. 3. Efectuar cualquier operación de suma o resta de números naturales. 4. Aplicar las operaciones de suma y resta para resolver problemas.

Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal). Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales:

El maestro presentará a los niños problemas en los que es suficiente hacer un cálculo aproximado para resolverlos, por ejemplo: En un camión entran 500 cajones de gaseosas. Ayer cargaron 250 y hoy quieren cargar 330 más, ¿hay lugar para todos los cajones? Algunos alumnos seguramente intentarán resolverlo con un cálculo exacto. El docente orientará la reflexión para mostrar que es suficiente con estimar el resultado y que esto puede hacerse de diferentes maneras: 200+300 ya es 500, los números del problema son mayores, así que se pasan, o bien, 250+250 es 500 y 330 es mayor que 250, no alcanza para tantos. También pueden trabajarse en forma descontextualizada, por ejemplo:

II) el uso de letras para reemplazar los factores (que en este caso son números naturales) lleva al alumno a un trabajo matemático donde el obstáculo de no conocer los valores de las “letras” les permite buscar otros tópicos de análisis sustentados en el uso de propiedades.

Los alumnos podrán utilizar diversas estrategias para resolver (diagramas con flechas, cuadros, dibujos, sumas y multiplicaciones), las cuales convivirán en el aula para servir unas de control para otras. Será interesante, por lo tanto, que el maestro propicie la comunicación de los procedimientos posibles y se explicite la relación entre éstos y la multiplicación. También se favorecerá la comparación entre unos y otros, de modo de estudiar la conveniencia de usar alguno en particular según los números en juego y la necesidad de garantizar la exhaustividad en el conteo de casos.

4. Los números enteros. Los números negativos. Los números enteros. Representación, ordenación y comparación de números enteros. Valor absoluto. Opuesto de un número entero. Suma y resta de números enteros. Iniciación a la multiplicación de números enteros. Iniciación a la división de números enteros. Regla de los signos. Uso del paréntesis. Operaciones combinadas.

Empieza con un capítulo de lógica y teoría de conjuntos, al que le sigue uno sobre la teoría de los números reales y una revisión completa de álgebra. El tercer capítulo trata sobre las funciones lineales y cuadráticas, así como la solución de ecuaciones y desigualdades. De esta forma se conecta con otro capítulo sobre polinomios. En el quinto capítulo se revisan las funciones trascendentales: funcio- nes potencia, exponencial y logarítmica. Después viene un capítulo sobre sucesio- nes. El séptimo capítulo contiene los principales conceptos de trigonometría y las funciones trigonométricas. En el capítulo subsecuente se analizan los principales conceptos de geometría analítica. El noveno y el décimo capítulos ofrecen elemen- tos básicos de cálculo diferencial e integral. En el capítulo once se explican los fun- damentos de probabilidad. Los dos últimos capítulos presentan los conceptos y las definiciones básicas de geometría plana y del espacio.