números reales

es obvio que se trata justamente de una función real con dominio N . Esta es su definición formal. Definición 3.1.1. Una sucesión de elementos de un conjunto es una aplicación con dominio N y codominio dicho conjunto. En particular, una sucesión de números reales es una función real con dominio N , o sea, una aplicación s : N → R .

Se considera que cada punto de la recta corresponde a un número real, y viceversa: a cada número real le corresponde uno y sólo un punto de dicha recta. Se establece de esta forma una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de esta recta, la cual nos permite decir en adelante que cada punto «es» un número real. A la recta sobre la cual se hacen representaciones de los números reales se le seguirá llamando recta real, o también, recta numérica.

α y β son números reales positivos. A pesar de que no estudiaremos el problema de dar una definición precisa de exponenciación con exponente irracional indiquemos que para calcular, por ejemplo, 2 2 podemos proceder utilizando la expresión decimal de 2 = 1 4142 , L . Los números 2 , , , , , potencias racionales de 2, son aproximaciones cada vez mejores de

• Distributividad. La multiplicación distribuye a la suma y a la resta. Esto quiere decir que si un número multiplica a una suma (o resta), el resultado es el mismo que si se multiplica el número por cada uno de los sumandos y luego se suman ambos productos. Es decir, si a, b y c son tres números reales, la distributividad de la multiplicación con respecto de la suma y a la resta dice que:

Este axioma relaciona la Geometría con la Aritmética y estable una bisección entre el conjunto P de todos los puntos de la recta y el conjunto R de todos los números reales. Así A cada punto de la recta corresponde un único número real, y recíprocamente, a cada número real corresponde un único punto de la recta.

Este axioma relaciona la Geometría con la Aritmética y estable una bisección entre el conjunto P de todos los puntos de la recta y el conjunto R de todos los números reales. Así A cada punto de la recta corresponde un único número real, y recíprocamente, a cada número real corresponde un único punto de la recta.

• El conjunto de todos los números racionales se designa por Q . El conjunto Q es denso en R (al situar todos los números racionales sobre la recta numérica la ocupan densamente). Esto quiere decir: Entre dos números racionales hay infinitos números racionales. (si x 1 , x 2 ∈ Q ⇒ El punto medio:

Pero no se diferencian sólo en sus elementos, además, en no se verifica el axioma del supremo (AS), con lo cual si bien es un cuerpo ordenado, denso y arquimediano, no es completo. Así pues, no podemos identificar a con una recta, pues habrá puntos que representen a los números irracionales que sabemos que no pertenecen a . Sí podemos pensar en representar al conjunto como una recta de líneas de puntos, donde los espacios entre los puntos son, precisamente, los números irracionales que no pertenecen a él.

La recta R sobre la cual se representa a los números racionales e irracionales se llama recta real. A cada punto de esta recta se le asocia un único número real llamado coordenada o abscisa del punto y, recíprocamente, a cada punto de esa recta se le asocia un único número para que sea su coordenada. Si esta doble asignación se hace de manera que puntos distintos tengan coordenadas distintas y cada número sea coordenada de algún punto, se ha obtenido una correspondencia biunívoca entre la recta y el conjunto de los números reales. Esta asignación se denomina sistema de coordenadas unidimensional. En general, dado un punto P cualquiera en la recta, al número real a se le llama coordenada o abscisa de P y se denota por P ( ) a , que se lee: punto P de coordenada a .

Podríamos hacer una clasificación de los números reales en dos grandes grupos, los números algebraicos, que son los números reales solución de alguna ecuación polinómica y cuyos coeficientes son números racionales y los números trascendentes. A la vista de esta definición es fácil comprender que todos los números racionales son algebraicos, ya que si 𝑟 = 𝑝 𝑞 es un número racional (por tanto 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ ), entonces 𝑟 es solución de la ecuación polinómica 𝑞𝑥 − 𝑝 = 0. Pero no sólo son algebraicos los números racionales. También lo son muchos irracionales. Por ejemplo, el número irracional √2 es algebraico pues es solución de 𝑥 2 − 2 = 0. Otro ejemplo es √3 3 , que es solución de 𝑥 3 − 3 = 0.

El siguiente diagrama muestra los distintos conjuntos de números vistos hasta ahora. (Para que quede completo, se incluye en el diagrama el conjunto de los números complejos, que son los de la forma a bi  , con a y b reales. Obsérvese que el conjunto de los números complejos es un superconjunto del conjunto de los números reales.)

Al hacer la representación de los números reales sobre la recta, no sólo hemos conseguido visualizarlos, también lo hemos ordenado, teniendo números mayores cuanto más avanzamos hacia la derecha de esa recta: todo número situado a la derecha de otro es mayor que él. Así, por ejemplo, resulta que cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.

• El conjunto de todos los números racionales se designa por Q. El conjunto Q es denso en R (al situar todos los números racionales sobre la recta numérica la ocupan densamente). Esto quiere decir: Entre dos números racionales hay infinitos números racionales. (si x 1 , x 2 ∈ Q ⇒ El punto medio:

-O. K. -dijo Robert-, pero ¿qué tiene eso que ver con los números irrazonables? -Mmmm. Los cuadrados se las traen, ¿sabes? ¡No confíes nunca en un cuadrado! Parecen buenos, pero pueden ser muy malvados. ¡Mira éste de aquí, por ejemplo! Trazó en la arena un cuadrado vacío, totalmente normal. Luego sacó una regla roja del bolsillo y la puso en diagonal sobre él:

• El conjunto de todos los números racionales se designa por Q . El conjunto Q es denso en R (al situar todos los números racionales sobre la recta numérica la ocupan densamente). Esto quiere decir: Entre dos números racionales hay infinitos números racionales. (si x 1 , x 2 ∈ Q ⇒ El punto medio:

En el siglo XVII, el relojero Joost (o Jobst) BÜRGI (suizo, 1552-1632) descubre los logaritmos como una herramienta de cálculo, aunque no publica su descubrimiento hasta 1620. En 1614 John NAPIER, (escocés, 1550-1617) publica un libro con resultados similares, y de allí en adelante se habla de los logaritmos neperianos. El uso de los logaritmos es una contribución importante para el avance de las ciencias y de la técnica, en particular de la astronomía, la agrimensura, la navegación y de otras ramas de las matemáticas. Napier llama “números artificiales” a los logaritmos y número naturales a los “antilogaritmos”. La palabra logaritmo la formó Napier de λογοζ (logos), razón, cociente, proporción y αριθµοζ (arithmos), número, debido a que una serie aritmética de logaritmos corresponde a una serie geométrica de números. Para trabajar con logaritmos eran necesarias tablas que fueron calculadas con diferente cantidad de decimales (desde 8 en adelante; Adams calculó el logaritmo de e en base 10 con 272 decimales en 1887).

• El conjunto de todos los números racionales se designa por Q . El conjunto Q es denso en R (al situar todos los números racionales sobre la recta numérica la ocupan densamente). Esto quiere decir: Entre dos números racionales hay infinitos números racionales. (si x 1 , x 2 ∈ Q ⇒ El punto medio: