Rectas y planos en el espacio

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GEOMETRÍA DEL ESPACIO  RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.

GEOMETRÍA DEL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.

Rectas y planos en el espacio . 2 b. Ser secante al plano. En este caso, la intersección con el plano es un solo punto. La recta puede ser obli- cua o perpendicular al plano. c. No tener puntos comunes con el plano. Se dice que son paralelos. Se escribe 𝐿 3 ∥ 𝐸 3

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Análisis del impacto del uso de Geogebra en rectas y planos en el espacio, en asignaturas básicas de ingeniería

Análisis del impacto del uso de Geogebra en rectas y planos en el espacio, en asignaturas básicas de ingeniería

- 1406 - RESUMEN: Este trabajo forma parte de un proyecto de investigación del Consejo de Investigaciones de la Universidad Nacional de Salta, surge de la preocupación por los bajos rendimientos académicos de estudiantes que ingresan a carreras de la Facultad de Ingeniería. Ante la necesidad de contribuir a un aprendizaje significativo de las matemáticas básicas y mejorar el rendimiento académico de los estudiantes, se incorpora en la enseñanza de la asignatura Álgebra Lineal y Geometría Analítica el uso del software de geometría dinámica Geogebra, y se muestra los resultados de una experiencia realizada en el tema Rectas y Planos en el espacio.
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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

Entonces, la recta pedida, t, será la intersección de los dos planos, es decir, vendrá dada en forma implícita por: Observaciones: 1ª) Como ya hemos dicho, este problema no siempre va a tener solución. 2ª) Hemos supuesto que las dos rectas se cruzan, pero lo dicho sería igualmente válido para el caso particular en que ambas rectas se corten.

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Rectas y planos en el espacio

Rectas y planos en el espacio

¿cómo sabemos si dos ecuaciones determinan una misma recta. planteamos todas las ecuaciones juntas[r]

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Rectas y planos en el espacio

Rectas y planos en el espacio

Los arquitectos son unos grandes conocedores de la geometría en el espacio. Una obra emblemática en la que se pueden observar perfectamente las rectas y los planos es la casa de la Cascada o casa Kaufmann. Diseñada entre 1934 y 1935 y construida durante 1936 y 1937, se considera la obra cumbre de Frank Lloyd Wrigt (1876-1959).

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

Es evidente que una recta r, tanto en el plano como en el espacio (ver dibujo), va a quedar determinada por un punto cualquiera de ella (A ∈ r) y un vector director, es decir, que tenga su misma dirección ( u → r ≠ → 0 ). Ambos elementos, punto y vector director, constituyen la determinación principal de la recta. En la práctica, escribiremos:

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

la ecuación del haz de planos de eje r nieve dada por la igualdad:  A 1 x  B 1 y  C 1 z  D 1     A 2 x  B 2 y  C 2 z  D 2   0  Si dividimos por λ y, la ecuación del haz resulta:  A 1 x  B 1 y  C 1 z  D 1   k  A 2 x  B 2 y  C 2 z  D 2   0 EJEMPLO

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Puntos, rectas y planos en el espacio

Puntos, rectas y planos en el espacio

Que el estudiante aprenda a identificar, los conceptos básicos de la geometría del espacio, como son el punto, la recta y el plano; y las posiciones relativas que hay entre ellas.. ACT[r]

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Puntos, rectas y planos en el espacio

Puntos, rectas y planos en el espacio

estudio de curvas planas. Fue en el siglo XVIII cuando se desarrolló la geometría analítica del espacio. Clairut, Euler y Lagrange fueron pioneros. Por su extraordinario nivel de geómetra y su vocación pedagógica, puede considerarse a Monge (1746-1818) como el auténtico padre de la geometría analítica tridimensional: entre sus muchos libros, publicó uno para sus alumnos de la Escuela Politécnica de París, en el que desarrolló la geometría analítica del espacio prácticamente como se encuentra en la actualidad.

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PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

a) Averigua si existe algún valor de a para el cual las rectas están conteni- das en un plano. En caso afirmativo, calcula la ecuación de dicho plano. b) Determina, cuando sea posible, los valores de a para los cuales las rec- tas son paralelas y los valores de a para los que las rectas se cruzan.

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Puntos, rectas y planos en el espacio

Puntos, rectas y planos en el espacio

b) No es posible puesto que todas las rectas se cortan. c) El quinto postulado de Euclides: “Por un punto P exterior a una recta r del plano solo se puede trazar una recta paralela a ella”. Si fuera cierto, por un punto P exterior a una recta r del plano se puede trazar una recta que no la corta, pero hemos visto que eso es imposible, luego no se cumple el postulado.

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5 Rectas y planos en el espacio

5 Rectas y planos en el espacio

Puesto que en la enseñanza media representabamos rectas en el plano a través de ecuaciones muy distintas a esta, surge la pregunta ¿y cuál es la ecuación cartesiana de esta recta en el plano? Para responder a esta pregunta podemos igualar las componentes de los vectores en la ecuación vectorial, obteniendo las ecuaciones:

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06-PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

06-PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

Como las rectas no son paralelas ni coincidentes, para que estén en un mismo plano se han de cortar en un punto. Imponemos esta condición. Para averiguar el punto de corte, sustituimos las coordenadas de un punto de r en las ecua- ciones de s y resolvemos el sistema:

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5P untos, rectas y planos en el espacio

5P untos, rectas y planos en el espacio

78 La condición que deben cumplir tres puntos para que de-. terminen un plano es que no deben estar alineados.[r]

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Soluciones de Puntos, Rectas y Planos en el Espacio en PAU CyL

Soluciones de Puntos, Rectas y Planos en el Espacio en PAU CyL

b) Para cada punto P de r, determínese la ecuación de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente al eje OZ.[r]

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TRABAJO PRÁCTICO N o 7: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

TRABAJO PRÁCTICO N o 7: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

b) Escribir la ecuación cartesiana de M y hallar todos los vectores paralelos a ella. c) Escribir a la recta M como intersección de planos. d) Encontrar las coordenadas de los puntos que pertenecen a la recta M si 𝜇 = 0 y 𝜇 = 3. e) Indicar si los puntos 𝑃 = (5, −4, 4) y 𝑄 = (−4, 8, 6) pertenecen a la recta M. En caso afirmativo, determinar el valor del parámetro 𝜇 que corresponde a dicho punto.

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Geometría. Capítulo Vectores, puntos, rectas y planos en el espacio

Geometría. Capítulo Vectores, puntos, rectas y planos en el espacio

- Solución: El procedimiento que vamos a seguir lo narro a continuación. Nuestra recta va a ser el corte de dos planos, uno paralelo al primero (con eso garantizamos que la recta es paralela al plano) y el otro va a pertenecer al haz de planos que obtenemos a partir de los planos que denen la segunda recta. De esa forma, como nuestra recta estará contenida en dicho plano cortará a la que nos dan. El plano que eligiremos será aquel que haga que la recta obtenida corte perpendicularmente a la dada en el enunciado.

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Tema 5. Ecuaciones de rectas y planos en el espacio. Posiciones relativas

Tema 5. Ecuaciones de rectas y planos en el espacio. Posiciones relativas

1) Los planos se cortan dos a dos (dejan entre ellos un prisma triangular) → rango de (A) = 2, rango de (M) = 3, los coeficientes de cada plano dependen de los coeficientes de los otros dos. 2) Dos de los planos son paralelos → rango de (A) = 2, rango de (M) = 3, los coeficientes de un plano dependen sólo de los de los de otro plano.

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Tema 6. Rectas y planos en el espacio. problemas de ángulos, distancias...

Tema 6. Rectas y planos en el espacio. problemas de ángulos, distancias...

v  = (2, 2, –1) y v   = (1, 1, 4) son perpendiculares. En efecto: v  r · v   = 2 + 2 – 4 = 0. → Existen infinitas rectas paralelas a un plano dado. Y recíprocamente, existen infinitos planos paralelos a una recta dada. Por tanto, para la determinación de un elemento a partir de otro habrá que añadir las condiciones necesarias. A continuación se ven dos casos concretos.

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2. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.pdf

2. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.pdf

Estudiamos el rango de M y M * . Se pueden dar los siguientes casos: 1. Si rg   M  rg   M *  1  nº incógnitas  S . C . I .  El sistema tiene infinitas soluciones. Hay dos grados de libertad, luego las soluciones dependen de dos parámetros. Por tanto, las infinitas soluciones del sistema son los puntos de un plano, es decir, los planos son coincidentes.

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