PDF superior Ecuaciones diferenciales fraccionarias lineales con coeficientes constantes

encontrar una solución a una ecuación diferencial fraccionaria homogénea. Dos argumen- tos están presentes: uno implica un acercamiento directo, y el otro basado en la transfor- mada de Laplace. Ahora sabemos que una ecuación diferencial lineal ordinaria de orden n tiene n soluciones linealmente independientes. Así que motivados por algunos argumentos apropiados de teoría sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, mostramos como construir soluciones linealmente independientes de ecuaciones diferenciales fraccionarias homogé- neas (Teorema 3.2). Ya que gran parte de nuestra teoría esta en paralelo con la teoría correspondiente de las ecuaciones diferenciales ordinarias, de vez en cuando encontrare- mos que es conveniente hacer un paréntesis para recordar ciertos hechos apropiados de la teoría.

Dado que C debe ser una matriz columna de x 1 de constantes arbitrarias, deseamos que sea una matriz de n x n. Aunque una explicación completa del significado y la de la matriz exponencial necesita un conocimiento profundo del álgebra matricial, una forma de definir se basa en la representación en serie de potencias de la función escalar exponen- cial

MA2115 Clase 15: Soluciones de sistemas homogéneos de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos González.. Recordemos que[r]

para toda x en alg´ un intervalo. As´ı, las funciones son linealmente dependientes porque al menos unas de las constantes no es cero. Llegamos a la conclusi´ on de que dos funciones son linealmente independientes cuando ninguna es m´ ultiplo constante de la otra en un intervalo. Esto es, el cociente f 1 (n)

El corolario, viene a decir que si { y 1 , y 2 } es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial homogénea ( E H ) : y ´´ + a ( x ) y ´ + b ( x ) y = 0 , entonces la solución general de la ecuación ( E H ) es el conjunto de las funciones y : I → R tales que y ( x ) = k 1 y 1 ( x ) + k 2 y 2 ( x ) donde k 1 y k 2 son constantes reales cualesquiera. Es decir, cada solución de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden es combinación lineal de soluciones linealmente independientes de ella.

FORMULARIO 10: SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Solución mediante operadores. a) Usando Eliminación Gaussiana : Se reduce la matriz de los coeficientes principales a la fo[r]

En este trabajo d t sis estudiamos la Solución Dinámica asociada a una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes matriciales, luego tomando en cuenta la Solución Dinámica y r sultados previamente obt nidos desarrollamos la Controlabilidad Observabilidad para una ecuación dif, r ncial con coeficientes matriciales el contenido del trabajo stá e tructurado como sigu :

Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden dos no homogéneas con coeficientes constantes Sergio Yansen Núñez b La masa y el resorte de a, ahora se sujetan también a un am[r]

Entender la transformada de Laplace como un método de solución de fácil desarrollo de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Orientación sobre l[r]

▪ IGNACIO HUIRCÁN, Juan (2006). En su artículo de investigación titulada “Aplicando la Transformada de Laplace a Redes Eléctricas” realizada en Universidad de La Frontera -Chile. En este artículo aplica la Transformada de Laplace a distintas redes eléctricas, primero excitaciones básicas conocidas, luego, excitaciones tipo exponencial y sinusoidal. La parte más compleja resulta al determinar la Transformada de Laplace permite convertir las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas en el plano. Se puede despejar más fácilmente la variable buscada, luego aplicando Transformada de Laplace y determinar la variable en el dominio del tiempo. Si existen componentes con condiciones iniciales es más fácil pasar el circuito al plano, e incorporar la condición inicial.

El campo direccional para la ecuación diferencial dydx ⫽ 0.2xy que se muestra en la fi gura 2.1.3a se obtuvo usando un paquete computacional en el que se defi nió una malla 5 ⫻ 5 (mh, nh) con m y n enteros, haciendo – 5 ⱕ m ⱕ 5, ⫺5 ⱕ n ⱕ 5, y h ⫽ 1. Observe en la fi gura 2.1.3a que en cualquier punto del eje de las x (y ⫽ 0) y del eje y (x ⫽ 0), las pendientes son f (x, 0) ⫽ 0 y f (0, y) ⫽ 0, respectivamente, por lo que los elementos lineales son horizontales. Además observe que en el primer cuadrante para un valor fi jo de x los valores de f (x, y) ⫽ 0.2xy aumentan conforme crece y; análogamente, para una y los valores de f (x, y) ⫽ 0.2xy aumentan conforme x aumenta. Esto signifi ca que conforme x y y crecen, los ele- mentos lineales serán casi verticales y tendrán pendiente positiva ( f (x, y) ⫽ 0.2xy ⬎ 0 para x ⬎ 0, y ⬎ 0). En el segundo cuadrante, 兩 f (x, y)兩 aumenta conforme crecen 兩x兩 y y crecen, por lo que nuevamente los elementos lineales serán casi verticales pero esta vez tendrán pendiente negativa ( f (x, y) ⫽ 0.2xy ⬍ 0 para x ⬍ 0, y ⬎ 0). Leyendo de izquierda a dere- cha, imaginemos una curva solución que inicia en un punto del segundo cuadrante, se mueve abruptamente hacia abajo, se hace plana conforme pasa por el eje y y después, conforme entra al primer cuadrante, se mueve abruptamente hacia arriba; en otras palabras, su forma sería cóncava hacia arriba y similar a una herradura. A partir de esto se podría inferir que y : ⬁ conforme x : ⫾⬁. Ahora en el tercer y el cuarto cuadrantes, puesto que f (x, y) ⫽ 0.2xy ⬎ 0 y f (x, y) ⫽ 0.2xy ⬍ 0, respectivamente, la situación se invierte: una curva solución crece y después decrece conforme nos movamos de izquierda a derecha. Vimos en la ecuación (1) de la sección 1.1 que y ⫽ e 0.1x 2 es una solución explícita de

La denición básica de estabilidad de una solución de una ecuación diferencial ordinaria se debe al matemático ruso A. M. Lyapunov (1857-1918), quien en el año 1892 la planteó como parte de su tesis doctoral Problème Générale de la Stabilité du Mouvement [11]. La teoría de estabilidad de Lyapunov fue completada por diversos autores. El lector interesado puede consultar Afanasi'ev [1], Hahn [5], Sinha [16], entre otros. En estos trabajos se puede encontrar un extenso estudio para sistemas deterministas (ecuaciones diferenciales ordinarias).

El objetivo fundamental de este trabajo es presentar una introducción ele- mental a la teoría de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) lineales, y a la teoría de EDOs lineales de orden n ≥ 2 , en el dominio complejo. Este propósito hace necesaria la utilización de numerosos desarrollos teóricos contenidos en diversas asignaturas del Grado en Matemáticas. Especialmente, se requiere un conocimiento de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas lineales en el caso real, la teoría de funciones complejas de variable compleja, algunos elementos de análisis funcional, y el manejo de cuestiones básicas de álgebra lineal, en concreto en lo referente al álgebra matricial. Cabe destacar que, para no interrumpir el desarrollo de la exposición, se han dedicado dos apéndices a los resultados auxiliares de los que se hará uso en el trabajo y que, aun no estando habitualmente contenidos en las enseñanzas del Grado, sí pueden ser obtenidos rápidamente a partir de las mismas: nos referimos a los elementos de funciones holomorfas a valores en un espacio de Banach complejo y el concepto de prolongación analítica a lo largo de una curva (culminando en el teorema de monodromía), y a ciertos desarrollos del álgebra matricial (ecuaciones matriciales, y el estudio de la exponencial y los logaritmos de matrices).

USANDO UN SOLUCIONADOR NUMÉRICO No es necesario conocer los di- ferentes métodos numéricos para utilizar un solucionador numérico. Un solucionador usualmente requiere que la ecuación diferencial se pueda expresar en la forma normal dydx ⫽ f (x, y). Los solucionadores numéricos que sólo generan curvas requieren que se les proporcione f (x, y) y los datos iniciales x 0 y y 0 y que se indique el método numérico deseado. Si la idea es aproximarse al valor numérico de y(a), entonces un solucionador numérico podría requerir además expresar un valor de h o, del mismo modo, dar el nú- mero de pasos que quiere tomar para llegar de x ⫽ x 0 a x ⫽ a. Por ejemplo, si queremos aproximar y(4) para el PVI que se muestra en la fi gura 2.6.3, entonces, comenzando en x ⫽ 0 le tomaría cuatro pasos llegar a x ⫽ 4 con un tamaño de paso de h ⫽ 1; 40 pasos son equivalentes a un tamaño de paso de h ⫽ 0.1. Aunque aquí no investigaremos todos los problemas que se pueden encontrar cuando se intenta aproximar cantidades matemá- ticas, al menos debe estar consciente del hecho de que el solucionador numérico puede dejar de funcionar cerca de ciertos puntos o dar una incompleta o engañosa imagen cuando se aplica a ciertas ecuaciones diferenciales en la forma normal. La fi gura 2.6.4 muestra la gráfi ca que se obtuvo al aplicar el método de Euler a un problema con valores iniciales de primer orden dydx ⫽ f (x, y), y(0) ⫽ 1. Se obtuvieron resultados equiva- lentes utilizando tres diferentes solucionadores numéricos, sin embargo la gráfi ca di- fícilmente es una posible curva solución. (¿Por qué?) Hay diferentes caminos de solución cuando un solucionador numérico tiene difi cultades; las tres más obvias son disminuir el tamaño del paso, usar otro método numérico e intentar con un solucionador diferente. FIGURA 2.6.4 Una curva solución

La presente guía representa una herramienta para el estudiante para que practique los temas dictados en matemáticas 4, correspondientes a los temas de sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales lineales. Tenga presente que algunos ejercicios se escapan de la dificultad del curso sin embargo son importante para ampliar más el conocimiento de los temas. Los temas que se aprecian en la guía son:

Una masa de 1 = 4 Kg: está unida a un resorte con una rigidez de 4 N=m: La constante de amortiguamiento para el sistema es de 1 N s=m: Si la masa se desplaza 1 = 2 m: hacia arriba y reci[r]

la ecuación de onda, y la ecuación de Laplace). También es posible una generalización del mismo para tratar algunas ecuaciones EDP con coeficientes variable así como sistemas de EDP de coeficiente variable véase ([3] y [7]). El método tiene una particular eficacia tratándose de la búsqueda de soluciones simbólicas por lo que es posible en principio elaborar un software simbólico en cualquiera de los paquetes comerciales que existen en el mercado como el Maple o el Matemática. Además se puede hallar soluciones finitas exactas de EDP de coeficientes constantes lo cual es de considerable interés teórico en la comparación de la bondad de los modelos numéricos basados en esquemas de diferencia finita, método de elementos finitos y residuos ponderados entre otros véase ([5,6]). También se pueden hallar bases para el espacio de soluciones polinomiales los resultados pueden ser comparados con [1,2].

EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes Uso de anuladores... EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes Uso de anuladores..[r]

El presente investigación pretende difundir el concepto de las ecuaciones diferenciales ordinarias y mostrar su utilidad en facilitar la solución de la transformación de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales y no homogéneas de Riccati. La ecuación de Riccati es una de las más estudiadas por su aparición en problemas clásicos y modernos en ingeniería (teoría de control, así como en la solución de problemas de contorno), Física (mecánica cuántica) y Biología (el estudio de ADN). Para solucionar una ecuación de Riccati, uno necesita la transformación de la forma

A pesar de su constitución débil, Cauchy fue un trabajador infatigable; de hecho uno de los matemáticos más prolífi cos junto con Euler y Cayley. Entre otras muchas cosas, destacó su contribución a la teoría de las permutaciones, al establecimiento de la noción de grupo y al desarrollo de todas las bases de la teoría de la función de varia- ble compleja. Se interesó también en la teoría de las ecuaciones diferenciales y dejó su nombre a la famosa ecuación de Cauchy-Euler, ecuación resuelta por Euler antes que naciera Cauchy, pero investigada por este último en el caso más general de la variable compleja.