PDF superior LA INVESTIGACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA: UNA HIPÓTESIS DE TRABAJO

La Matemática constituye una forma de aproximación a la realidad; brinda elementos de importancia para el de- sarrollo de la capacidad de argumentación racional, la abstracción reflexiva y el aumento de las habilidades necesarias para resolver problemas no sólo del ámbito escolar, sino de amplia aplicación y transferencia a otros campos del saber. Estos aspectos constituyen argumentos valederos de una Educación Matemática y, consecuentemente de la promoción y estímulo de iniciativas de investigación en este campo, tanto de estudios referidos a investigación pura (epistemología y estructura de la ciencia) como de aquellos más cercanos a la práctica docente (planificación, estrategias de enseñanza, elaboración y utilización de recursos y evaluación), que pudieran ser catalogados como de investigación aplicada. La investigación en el campo de la Educación Matemática, representa una alternativa que podría contribuir, no sólo con el desarrollo y estímulo de habilidades investigativas de quienes la asuman, sino que además ampliaría los horizontes de los criterios de análisis didáctico-pedagógico, que favorecen la visión prospectiva, estratégica y táctica de esta ciencia, necesaria para todos los profesionales y en especial para los del ámbito educativo.

Otra teoría útil de la cual se podrían sacar deducciones para un trabajo de investigación es la teoría de Piaget acerca del desarrollo del pensamiento lógico en los niños. Piaget sugirió que los niños pasan por varias etapas en su desarrollo mental, una de ellas es la fase de las operaciones concretas, que empieza a la edad de 7 u 8 años y marca la transición de la dependencia de la percepción a la habilidad para el uso de algunas

necesitamos responder a esta pregunta. No podemos entonces no tener conciencia de ella. También puede ocurrir que la pregunta se nos ocurrió a nosotros. 11 Ahora bien: eso no significa todavía que se trate de una pregunta clara. La claridad depende de muchos factores, pero uno de ellos es otra vez externo: cuál es el estado del arte (de los datos, de la teoría, de los métodos). Hay preguntas que son claras porque hay general (colectiva) claridad sobre ella. Las hipótesis que valen son parte de un trabajo teórico colectivo. El investigador se sitúa (debe situarse) en este trabajo. Aunque al principio pueda parecer una mera conjetura personal (una ocurrencia), pero no puede quedarse aquí. De hecho, cuando no pasa de esto, cuando no somos capaces de conectar lo que pensamos con un cuerpo preexistente de pensamiento e investigación, y por decirlo de una vez con toda explicitud: un cuerpo preexistente de preguntas y respuestas, porque eso y sólo eso es la investigación, entonces podemos decir que nuestra hipótesis es un aborto, algo que nació muerto. Con otras palabras, una hipótesis puede ser o bien una respuesta sólida, bien establecida, con credenciales científicas impecables, o bien una hipótesis nueva, que debe ganarse todavía el respeto de los demás investigadores. Y su origen puede ser una teoría o un modelo teórico o bien una serie de datos empíricos. En el primer caso podemos decir que la formulación de la hipótesis es teoría en busca de datos empíricos que corroboren o desechen la respuesta; en el segundo caso podemos decir que son los datos empíricos los que buscan un marco teórico que los cobije y permite mejor tanto su interpretación como su extensión a otros datos empíricos. Todo esto quedará más claro (espero) en los siguientes apartados.

La incorporación de la tecnología en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas se ha constituido en un tema de investigación y de documentación a nivel nacional e internacional. Reflejo de esto son los diferentes foros, congresos, conferencias y encuentros especializados que se realizan, donde la temática de la incorporación de las tecnologías en la educación matemática es tema central de algún grupo de trabajo o tema central del evento mismo. De igual manera, los trabajos que hacen referencia a la resolución de problemas como vía natural del aprendizaje de las matemáticas y la modelación como competencia obligada a desarrollar en el pensamiento matemático sobresalen en eventos académicos. A continuación se presentan los antecedentes de investigación, curriculares y legales, tanto internacionales como nacionales, que sirven como punto de partida para la presente investigación.

La investigación en educación matemática considera que el trabajo con problemas es imprescindible para que el individuo construya de manera significativa el Conocimiento Matemático (Freudenthal, 1973, Kilpatrick, 1987 y Polya, 1965); asimismo advierte que cuando un sujeto inventa un problema está alcanzando niveles elevados de razonamiento que hacen posible la construcción del conocimiento matemático. Se justifica la necesidad de indagar en el campo de la invención de problemas a partir de una doble vía. Una primera vía parte de las investigaciones aportadas en Educación Matemática donde se fijan como objetivos prioritarios de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas el planteamiento y la resolución de problemas (Noda, 2000). La segunda vía de justificación se halla en diferentes documentos curriculares. En la etapa de Educación Primaria, los correspondientes al Real Decreto 1513/2006 del MEC (Ministerio de Educación y Ciencia) y el Decreto 230/2007 de la Junta de Andalucía, y a distinto nivel curricular en National Council of Teachers of Mathematics (NCTM 1980, 1991 y 2000).

El análisis del comportamiento de determinadas disciplinas tomando como población de estudio los congresos es algo que ya se aplica a otras ciencias y ejemplos de ello se perciben en la literatura especializada (Iñiguez, Justicia, Pe- ñaranda y Martínez, 2006). En este trabajo tomamos los simposios de la Socie- dad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM) como muestra representativa de la actividad investigadora en Educación Matemática en España, puesto que las comunicaciones allí presentadas constituyen un caleidoscopio que refleja los temas de interés de los investigadores españoles de dicha área de co- nocimiento. Estos simposios internacionales, que se organizan anualmente, pro- porcionan un observatorio de excepción para el estudio tanto de la producción bibliográfica como de las redes de colaboración en investigación en Educación Matemática en España.

Además de la citada MARS, cabe señalar la escala MAS (Mathematics Anxiety Scale) de Fennema y Sherman (1976) en su adaptación de Betz (1978) como otro de los referentes de la medida de la ansiedad matemática. La MAS está pensada para la evaluación de la ansiedad matemática a partir de un conjunto de 10 ítems en una escala Likert de cinco puntos. Bai, Wang, Pan y Frey (2009) aumentaron a 14 los ítems de la escala anterior y la aplicaron a una muestra de estudiantes universitarios. Esta versión presentó índices de fiabilidad mejores que la versión original de la escala. Las escalas MAS han sido traducidas también a diferentes idiomas. Concretamente, Hunt, Clark-Carter y Sheffield (2011) adaptaron la escala original a una población del Reino Unido denominada MAS-UK (Mathematics Anxiety Scale for British Undergraduates). Lim y Chapman (2013) realizaron una nueva versión compuesta por 9 ítems con una muestra de estudiantes pre-universitarios de la ciudad de Singapur, la FSMAS-R; Prieto y Delgado (2007) la adaptaron para evaluar estudiantes españoles. Se han desarrollado igualmente escalas para niños de las que cabe señalar el trabajo de Chiu y Henry (1990) con un instrumento de 22 ítems con adecuada validez y fiabilidad, y una estructura de cuatro factores: Math Evaluation, Learning, Problem Solving y Teacher Anxiety. Dentro de este mismo tipo de pruebas para niños, señalamos la adaptación de la escala MARS-E de Suinn, Taylor y Edwards (1988) y Ramirez, Chang, Maloney, Levine y Beilock (2016) denominada Revised Child Math Anxiety Questionarie (CMAQ-R). Además, cabe señalar la CAMS (Children’s Anxiety in Math Scale; Jameson, 2013). Está formada por 16 ítems con una estructura de tres factores (General Math Anxiety, Math Performance Anxiety y Math Error Anxiety) y presenta índices de fiabilidad adecuados. También, cabe señalar por su importancia el trabajo de Wigfield y Meece (1988), quienes elaboraron la escala MAQ (Math Anxiety Questionnaire), especialmente diseñada para los estudiantes de primaria y secundaria. Se trata de una adaptación compuesta por 11 ítems con una estructura de dos factores (Negative Affective Reactions y Worry), una adecuada fiabilidad y unas correlaciones en las direcciones esperadas con el rendimiento matemático.

Este artículo es un trabajo de índole exploratoria sobre lo que es la hipótesis, esto es, su esencia y sus elementos constitutivos. Se desarrollan los siguientes tópicos: a) Definición, b) objetivos, c) funciones, d) formulación e) características f) tipos, g) desarrollo y h) comprobación. La finalidad principal de este trabajo es poder contar con un trabajo de referencia al trabajar con algo tan esencial y aparentemente sencillo, pero en realidad presenta una complejidad rica que es necesario comprender en la elaboración de una hipótesis.

El uso de Scratch como herramienta de modelización y simulación aplicada a las ciencias y la utilización de plataformas de Hardware libre el estudiante podrá obtener datos del entorno, analizarlos, hacer predicciones, evaluar los resultados y construir sus propias representaciones y conceptos que permitirán solución de problemas concretos. 3.1 La metodología utilizada es la que desarrolla el trabajo por proyectos.

de manera natural por convicción y que estimula la creatividad e imaginación que tienen los niños, y cómo, a partir de ella, es posible generar interés en las diferentes actividades por las matemáticas y los números. Al respecto Biembengut (2007) propone realizar un acercamiento al trabajo con los niños en modelación matemática basada la percepción, la comprensión y la significación; de tal manera que desde sus primeros años puedan iniciarse en la actividad científica y empiecen a explorar su mundo a través de las matemáticas. En esta propuesta se toma como referente inicial la perspectiva socio-crítica de la modelación matemática, la cual es caracterizada por Kaiser y Sriraman (2006) como aquella perspectiva que se refiere a las dimesta, postura se hace un énfasis especial en el papel de las matemáticas en la sociedad y en la necesidad de apoyar el pensamiento crítico, de tal manera que la modelación matemática sirva de herramienta para otorgar a los estudiantes posturas críticas frente a la sociedad y para reflexionar sobre las matemáticas y su papel en la sociedad, discutiendo sus ideas en el contexto social en el que aparecen; haciendo que en este proceso el estudiante tome posicionamientos críticos y posturas democráticas, que luego serán útiles para que el estudiante transforme su sociedad. Por su parte, Araújo (2009) destaca esta perspectiva como una forma de trabajar asuntos políticos y democráticos en el aula de clase desde el debate, la negociación, la escucha y el respeto a las ideas de otros al dar sus puntos de vista teniendo en cuenta al otro; esto puede lograrse al incluir a los estudiantes en el aula de clase en situaciones de aprendizaje con modelación matemática en los que el aula sea un espacio democrático, dialógico, de comunicación entre los participantes, que se preocupe por orientar a los estudiantes a llevar esas actitudes a sus vidas en sociedad.

Es imprescindible contar con firmes políticas nacionales que asignen alta prioridad al mejoramiento del aprendizaje y la enseñanza para lograr que todos los niños que van a la escuela adquieran las competencias y los conocimientos que se supone que deben obtener. En los planes de educación se deben exponer objetivos y establecer niveles de referencia respecto de cuyo cumplimiento se pueda exigir responsabilidad a los gobiernos, así como los medios de alcanzarlos. El mejoramiento del aprendizaje, especialmente el de los niños más desfavorecidos, debe constituir un objetivo estratégico. Los planes han de incluir una serie de enfoques para mejorar la calidad del personal docente, elaborados en consulta con los educadores y sus sindicatos. También tienen que garantizar que las estrategias estén respaldadas con recursos suficientes. No será posible superar la crisis mundial del aprendizaje a menos que se disponga de políticas encaminadas a mejorar el aprendizaje de las personas desfavorecidas. De 40 planes nacionales de educación examinados para la elaboración de este Informe, 26 consignan el mejoramiento de los resultados del aprendizaje como un objetivo estratégico. Si bien los planes de los 40 países responden todos en alguna medida a las necesidades de los grupos desfavorecidos, el aprendizaje suele tratarse solo como un subproducto del incremento del acceso a la educación.

Aunque varios trabajos hablan de un sector cuaternario –p.ej. Kenessey (1987)-, compuesto, dicho mal y pronto, por los servicios más calificados y mejor retribuidos, en esa concepción sigue sin distinguirse lo que para nosotros es central: que algunos de esos trabajadores producen información digital (un bien replicable con costos cercanos a 0, regidos por las normas de la propiedad intelectual, etc) y otros producen auténticos servicios (actividades que se agotan, cuyo costo de reproducción es equivalente en cada unidad). Parece mucho más conducente caracterizar al cuarto servicio como sector Información Digital o de Información, a secas v . En síntesis, la de Servicios no sólo es una categoría imprecisa, sino que presenta a los fenómenos contradictorios como portando las mismas características. Pero además de las variaciones entre los salarios, las condiciones laborales, las herramientas productivas utilizadas, etc, hay una diferencia más importante que hace que el Trabajo Informacional deba separarse de los ¨otros¨ Servicios.

En este documento me propongo abordar las siguientes cuestiones gene- rales: (a) qué se entiende por representación y comprensión, análisis conceptual, delimitación de significados de estas nociones y de sus co- nexiones; (b) analizar la complejidad de la noción de representación: funciones epistémicas, objetividad, diversidad, paradojas; y (c) reflexio- nar en torno al interés general que tienen estas nociones para la investi- gación en Educación Matemática. De este modo, y mediante una serie de interrogantes, abro y centro el debate sobre las nociones de represen- tación y comprensión en la investigación en Didáctica de la Matemática. Términos clave: Comprensión; Conocimiento matemático; Representación; Tipos de representación

Sus trabajos de investigación hacen referencia a diferentes problemáticas que se presentan en la educación matemática, buscan responder a preguntas de investigación relativas a la integración de herramientas tecnológicas en la enseñanza matemática números y geometría inicialmente, luego algebra y análisis. Hace un especial hincapié en las evoluciones del campo resultando del desarrollo de los enfoques socio-culturales y antropológicos, especialmente en ciertas contribuciones de la teoría antropológica de lo didáctico. Al referirse a la consolidación de los enfoques socio-culturales centra su atención en la impacto de la tecnología en el currículo, y en el potencial de éstas tecnologías para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. José David Zaldívar realizó en el año 2014, un estudio sobre la resignificación del conocimiento matemático del ciudadano en un escenario no escolar; caracterizó una construcción social de conocimiento matemático bajo situaciones específicas a la luz de la Teoría Socioepistemológica. La manera experimental de recolección de datos consistió en la puesta en escena de talleres temáticos en escenarios de divulgación de las ciencias.

2.1.2 La matemática griega: El problema de la inconmensurabilidad y las paradojas. Para los pitagóricos las cosas eran números y los números eran cosas, lo cual los conducía a pensar que existía una unidad y que el mundo estaba compuesto de unidades indivisibles. Ante esta postura se oponía Zenón con sus paradojas sobre el movimiento que emergen a partir de las dos concepciones de espacio y tiempo que se manejaban en esa época, una concepción era considerar el espacio y tiempo como absolutamente divisibles, en cuyo caso el movimiento resulta continuo y “liso”, y la otra es que el espacio y tiempo están formados por pequeños intervalos indivisibles, en cuyo caso el movimiento resulta de una concepción de sucesión de minúsculos saltos espasmódicos. Más adelante ante esto se opone el problema de la inconmensurabilidad, en este problema se muestra la existencia de casos donde es inconcebible expresar la razón entre dos magnitudes por medio de un número.

Kattia es una estudiante de 9° año que ama la tecnología, y además está en una sección que participa del proyecto Labor@ institucional. En dicho proyecto, ella debe formar su propia empresa virtual, por lo que ha decidido hacer una encuesta institucional para determinar cuántos de los estudiantes del Liceo cuentan con un celular inteligente (smartphone) y así, analizar qué tan rentable es formar un negocio de venta de accesorios para celulares inteligentes y soporte técnico para los mismos. ¿Puedes ayudar a Kattia a hacer la investigación?

Es difícil hacer un estudio de estos dos métodos ya que hay profesores que están en contra de la utilización de fichas, pero los colegios obligan a que los niños al finalizar el trimestre tengan su carpeta con las fichas y trabajos realizados durante el trimestre. Por ello les dije que aunque la mayoría de las veces tengan que hacer fichas que pusieran su opinión, independientemente de si trabajaban más con un método que con el otro. He de reconocer que la respuesta que me dio la profesora del segundo aula, (educación matemática) me encantó, ya que ella las fichas las hacía con los niños por lo que he explicado anteriormente, nos obligan, pero ella en el aula solo trabaja por rincones, “los niños como realmente aprenden es a través de la observación y la manipulación”, decía.

La percepción de la autoeficacia en alguna medida, controla lo que le sucede y lo que hacen las personas. Es como un sentimiento central en sus vidas. Por esta razón, en las teorías sobre motivación humana abundan propuestas que se centran en este aspecto. En muchos casos, el nivel de motivación, los estados afectivos y las conductas personales se basan más en lo que el sujeto piensa sobre las situaciones, que en la realidad objetiva. Uno de los constructos motivacionales relacionados con la percepción de control es el de expectativa personal, concepto con un profundo arraigo en la investigación psicológica.

Estas tareas tienen objetivos generales asociados a una sesión de la propuesta original (sesión 4) tales como: hacer evidente la diferencia entre el trabajo algebraico y la técnica de cálculo aritmético, dado que el cálculo algebraico permite la búsqueda de formas más sencillas de hacer los cálculos, elegir operaciones que dan lugar a números redondos para facilitarlas. Para que posteriormente, en la Tarea 19, se establezca la equivalencia entre expresiones con paréntesis y sin paréntesis. Esto conduce a las reglas de supresión de paréntesis, y la reinterpretación del signo “–” como signo operativo unario, esto es, el “–” adelante del paréntesis transforma los sumandos en sustraendos y los sustraendos en sumandos. Por último, la aparición de expresiones con paréntesis obliga a precisar más los códigos de escritura algebraica y a dejar establecida una nueva jerarquía de operaciones en la que se consideran los paréntesis.

Postula la hipótesis de la escasa vocación hegemónica del nuevo ca- pitalismo y presenta los desafíos de la educación a partir de la idea según la cual la función de la escuela consiste [r]