Top PDF La transformada de Fourier en L2(R)

El presente trabajo pertenece al ´ area del An´ alisis de Fourier. Esta rama de la matem´ atica debe su nombre al matem´ atico y f´ısico franc´ es Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) conocido por sus trabajos sobre la descomposici´ on de funciones peri´ odicas en series trigonom´ etricas convergentes llamadas series de Fouri- er, m´ etodo con el cual consigui´ o resolver la ecuaci´ on del calor.

Con respecto a lo antes mencionado, la Transformada Wavelet nace del análisis de Fourier en . Un siglo después matemáticos, físicos e ingenieros como Alfred Haar en 1909, John Littlewood y R.E.A.C. Paley en , Dennis Gabor en , Jean Morlet y Alex Grossmann en , en Yves Meyer, Mallat en y Ingrid Daubechies fueron presentando sus aportes para superar las limitaciones que se tenía en el análisis de señales con la Transformada de Fourier y así llegar a lo que hoy en día se conoce como la teoría de “Wavelet” Uno de las principales ventajas de utilizar las “ wavelets ” es la compresión de datos. Esta herramienta fue utilizada en por el FBI para comprimir la información que tienen de huellas dactilares. En la Organización Internacional de Estándares acepto el uso un nuevo estándar de compresión de imágenes digitales denominado JPEG-2000. El nuevo estándar utiliza “ wavelets ” para comprimir archivos de imágenes sin pérdidas apreciables en la calidad de la imagen.

Posteriormente, tras resolver numéricamente de forma detallada el modelo de Kou y definir las expresiones necesarias para la valoración de las opciones Call, se implementó el algoritmo basado en la transformada de Fourier, mediante el método de la Transformada Rápida de Fourier (FFT), para la solución computacional de las expresiones de la función característica que define la valoración de opciones. Los parámetros del modelo usados en el desarrollo del ejercicio, fueron obtenidos a partir del uso del método de calibración no paramétrica de regularización. No obstante, para la calibración de las medidas explicativas del modelo es importante resaltar que existen otros métodos que si bien obligan el desarrollo de técnicas computacionales avanzadas, también aumentan las probabilidades de localizar mínimos globales en la optimización del error , así como la reducción de los tiempos de ejecución de la programación.

Por otro lado, hoy en d´ıa, existe una inmensa gama de ´ areas donde se utiliza el Procesamiento Digital de Im´ agenes (PDI), como telecomunicaciones, medicina, qu´ımica, astronom´ıa, industria, litograf´ıa, microscop´ıa, microscop´ıa de fluorescencia y microscop´ıa de luz, entre otros. El inter´ es en el procesamiento digital de im´ agenes se basa en extraer informaci´ on contenida de una im´ agen. La Transformada de Fourier juega un papel muy importante en el PDI, ya que es una herramienta que nos permite obtener la representaci´ on de informaci´ on en el espacio de frecuencias y aplicando un operador en ´ este dominio, se puede operar sobre la imagen, para detectar y realzar bordes, eliminar ruido, etc. [2, 3].

e −i2πnx f(x)dx, n ∈ Z . (1) El primer resultado matem´ atico conocido por el autor, que versa sobre la acci´ on de la transformada de Fourier sobre espacios de H¨ older, se debe a Serg´ ei Nat´ anovich Bernst´ ein, quien prob´ o en 1914 el siguiente teorema, conocido ahora como teorema de Bernstein (v´ ease [2]). Teorema 1.1. Sea 1

El producto de correlación es una de las diversas operaciones matemáticas que pueden ser implementadas ópticamente. Este producto es un caso especial de con- volución y entre sus aplicaciones en óptica se puede mencionar al reconocimiento de patrones como la más importante. La correlación óptica se puede generar fácilmente gracias a la capacidad que tienen los sistemas ópticos coherentes de realizar transfor­ maciones de Fourier. Los ejemplos más importantes de correladores ópticos son: la configuración 4 -/ de VanderLugt y el correlador de transformada conjunta [55, 56], Debido a la característica de invariancia translacional que tiene el producto de corre­ lación, cuando el objeto se translada en el plano de entrada del correlador la señal de correlación simplemente hace lo mismo en el plano de salida sin que se produzcan alteraciones en su forma. En muchos casos esta propiedad es necesaria, pero hay situaciones en las cuales la posición del objeto es una condición adicional de codifi­ cación, y la invariancia espacial puede ser una desventaja. Varios métodos han sido propuestos a fin de evitar la invariancia espacial en la detección de patrones. Uno de ellos utiliza como filtro hologramas de volumen con la consiguiente ruptura de la invariancia translacional [57]. Otros métodos usan haces de referencia codificados en fase y patrones de difracción de Fresnel [58, 59].

Ante esto, se presenta la metodología de la Transformada Rápida de Fourier (FFT) como una alternativa metódica para alcanzar el mismo resultado, pero con menos sobrecarga en los cálculos involucrados. Así pues, la FFT es simplemente un algoritmo eficiente para calcular la transformada discreta de Fourier (DFT) y su transformada inversa. Es por tanto de gran importancia para una amplia variedad de aplicaciones, desde el procesamiento digital de señales (filtrado lineal, análisis de correlación, análisis de espectros, etc.) hasta la resolución de ecuaciones diferenciales parciales; así como, algoritmos para la rápida multiplicación de enteros largos. Cómo se mencionó antes, para que la señal pueda ser procesada por sistemas reales, es necesario limitar la duración de la señal x[n], ya que no puede extenderse al infinito. Sin embargo, las condiciones a establecer deben ser tales que garanticen una recuperación lo más precisa posible de la señal original (2, 3, 4, 1 O, 11 ).

A continuación se pretende realizar una investigación con ayuda de la caracterización espectral espectrometría infrarroja por transformada de Fourier la cual es un tipo de espectrometría[r]

Recientemente, de manera digital se desarrolló una nueva metodología invariante a posición y rotación basada en correlación lineal y no lineal de firmas obtenidas utilizando una máscara binaria de anillos concéntricos, generada a partir de los valores positivos de la parte real de la transformada de Fourier (TF) de una imagen referencia (Solorza y Álvarez-Borrego, 2010). Con base en este trabajo, se estudiaron cuatro formas alternativas para la generación de las máscaras binarias de anillos concéntricos, obtenidas a partir de los valores positivos y negativos de las partes real e imaginaria de la transformada de Fourier de una imagen, para la identificación de letras tipo Arial y diatomeas fosilizadas (Álvarez-Borrego et al., 2013). Este sistema basado en máscaras binarias de anillos concéntricos de Fourier fue utilizado para analizar imágenes afectadas por ruido e iluminación no homogénea y fue comparado con un sistema basado en máscaras binarias obtenidas a partir de la función Bessel de primer tipo y primer orden entre su argumento (Solorza y Álvarez-Borrego, 2015). También, se realizó un análisis de diatomeas fosilizadas utilizando máscaras binarias de anillos concéntricos de Fourier (Barajas et al., 2016). Y se desarrolló e implemento un tipo diferente de correlación llamada correlación no lineal adaptativa para la comparación de firmas obtenidas mediante máscaras binarias generadas a partir de la transformada de escala, para la clasificación de especies de fitoplancton (Solís-Ventura et al., 2015), la cual mostró mejor desempeño que la correlación no lineal.

La importancia de la transformada de Fourier no se limita a una sola rama de la ciencia pero sus aplicaciones diversas casi siempre tienen el mismo ob- jetivo, a saber la representaci´ on de una funci´ on en t´ erminos de la frecuencia, esto parece obvio de la definici´ on de transformada pero no en la aplicaci´ on de la misma, conocer estos conceptos nos permiten conocer tambi´ en que repre- sentaci´ on matem´ atica le damos a fen´ omenos f´ısicos, esto nos ayuda a su vez resolver problemas de una manera m´ as anal´ıtica. La parte f´ısica explicada anteriormente, da pauta de la importancia del an´ alisis de Fourier.

La entrada de la transformada discreta de Fourier o DFT es una secuen- cia finita de números reales o complejos, de modo que es ideal para procesar información almacenada en soportes digitales. La DFT se utiliza comúnmen- te en el procesado digital de señales y otros campos relacionados dedicados a analizar las frecuencias que contiene una señal muestreada, también para resolver ecuaciones diferenciales parciales, y para llevar a cabo operaciones como convoluciones o multiplicaciones de grandes números enteros. Un fac- tor muy importante para este tipo de aplicaciones es que la DFT puede ser calculada de forma eficiente en la práctica utilizando el algoritmo de la transformada rápida de Fourier o FFT (Fast Fourier Transform), pero ge- neralmente la implementación de un algoritmo para resolver DFT tiene una complejidad temporal de O(n 2 )[3].

Una prueba que existe siempre una medida de Haar y que es ´ unico por la multiplicaci´ on por una constante positiva; por abuso de lenguaje se puede por lo tanto, hablar de la medida de Haar. La medida de Haar de G es finita si y s´ olo si, G es compacto y es entonces por lo general normalizado para tener una solo medida total. Si G = T o G = T n la medida de Haar es simplemente la medida normalizada de Lebesgue. Si G = R la medida de Haar es de nuevo un m´ ultiplo de la medida de Lebesgue. Si G es discreto, la medida de Haar es generalmente normalizada para tener una sola medida en cada punto. Si G es la suma directa de G 1 y G 2 , la medida de Haar G es la medida del producto de las medidas

INTRODUCCIÓN En el presente trabajo de tesis usted encontrará el desarrollo de un reconocedor de imágenes, orientado principalmente a caras humanas, que permite elegir en forma alterna l[r]

Luego de las pruebas de captura de audio se procede a realizar pruebas de los algoritmos fft. Para ello se procedi´o a alimentar el sistema con un archivo de au- dio de 2 segundos de duraci´ on, con frecuencias vari- adas y un intervalo de muestreo de 44.100 Hz, para la generaci´on de estos archivos se hace uso de el edi- tor de audio AUDACITY, usado posteriormente como fuente de datos. Al procesar las muestras se proce- di´ o a realizar la transformada r´ apida de fourier con la FFTW y a gurdar los resultados de dicha transfor- mada a un archivo plano, para efectos de an´ alisis se graficaron estos datos haciendo uso de la herramienta libre GNUPLOT obteniendo los siguientes gr´ aficos : En cuanto al procesamiento de los datos que realiza la red neuronal , se tiene que el sistema requiere de dos pasos b´ asicos para llegar al reconocimiento como tal. En primera instancia se tiene el proceso de entre- namiento de la red neuronal que se realiza por medio de una interface web y almacenada en la estructura de datos definida previamente, apartado de modelo de datos y como segundo paso la captura y utilizaci´ on de estos datos para su posterior comparaci´ on con los datos tomados desde el dispositivo de captura para su ejecuci´on en el sistema.

(8.16) Nótese que u N = 1 . Los párrafos siguientes se refieren a (8.16), y son igualmente aplicables a la determinación de los c j (análisis de Fourier) o a la de los f n (síntesis de Fourier). Se presenta el algoritmo FFT en su forma más simple, suponiendo que N es una potencia exacta de 2 , es decir, N = 2 m . Sin embargo, pueden aplicarse ideas similares cuando N es arbitrario.

equivalentes y relativamente sencillos. Uno de los m éto dos más estud iad os es el del Principio de Campos Equivalentes. Este m éto do propone básicamente la sustitución de las fuentes reales de los campos electromagnéticos (guías de onda con cualquier forma de apertura), por fuentes equivalentes con distribu cion es de corrientes eléctricas y magnéticas conocidas y que originen los mismos campos radiados que la configuración orig­ inal. Sin embargo, de pen di end o de la forma geométrica de la apertura, no siempre resulta fácil seleccionar un modelo para aplicar este método; y en la práctica, pocas son las antenas de apertura que exigen un pl a n te a m ie n to tan riguroso para su análisis. La Transformada de Fourier, en cambio, es un método alterno que hace posible el análisis de un gran número de an te n a s de apertura prácticas a través de un planteamiento general que facilita la mecanización, y por ende, la automatización de todos los cálculos iterativos involucrados.

Para obtener el módulo al cuadrado de la transformada de Fourier óptica o espectro de potencia de la imagen del mar contenida en la transparencia, es necesario [r]

Meng y Qu [22][29]introdujeron la distribución Wigner Ville al análisis de las vi- braciones. Newland [31] hace una comparación de la Transformada Rápida de Fourier (STFT), la distribución Wigner Ville (WVD) y la transformada Wavelet, Newland ex- pone cada uno de los conceptos de las transformaciones como la escala, la frecuencia y el tiempo, concluye después de varios experimentos, que la transformada Wigner Ville posee dos grandes desventajas, el tiempo computacional que lleva obtenerla y la difi- cultad con el ruido de las señales, en contraste, la STFT y la Wavelet tienen un tiempo computacional muy pequeño y son limitadas en precisión por la eliminación del princi- pio de incertidumbre. Newland concluye que la Transformada Wavelet es óptima para el estudio de señales que posean componentes frecuenciales que varían con el tiempo. También han sido utilizados métodos estadísticos como el análisis de componentes independientes (ICE) [2], con esta técnica se logran separar componentes y aislar fallas si el monitoreo de vibraciones se hace de forma multicanal, este método funciona bien cuando la mezcla de harmónicos es pequeña, proporcionando una buena separación de las fallas, cuando se probó con señales reales no se tuvieron buenos resultados por la gran cantidad de harmónicos que se presentaban en los sistemas multicanal.

Durante la realizaci´ on de este trabajo se pretende abarcar la teor´ıa acerca de la Transformada de Fourier, comenzaremos con la definici´ on de la Transformada de Fourier, para luego analizar algunas propiedades elementales bas´ andonos principal- mente en los textos de Benedetto y Evans.

- 38 - Técnicas de detección y diagnóstico de fallos en motores de inducción alimentados por inversor en estado transitorio Otro enfoque para superar las limitaciones de la transformada de Fourier fue presentado en [32] donde la Transformada de Fourier fraccional, Fractional Fourier Transform (FrFT), se utiliza para detectar barras rotas. La FrFT de una señal puede interpretarse como una descomposición de la señal en términos de chirps. Esto puede usarse para detectar señales tipo chirp como las generadas por armónicos de fallo de barras rotas durante la puesta en marcha de un motor de inducción alimentado directamente de línea. En este trabajo, la corriente del estator es previamente filtrada con una Transformada Wavelet Discreta (DWT) y luego se procesa con la FrFT. La técnica está optimizada para generar un espectro donde se muestran los diferentes armónicos de fallo a frecuencia variable como las líneas espectrales individuales que facilitan el diagnóstico de fallos. No hay referencias en la literatura donde se haya utilizado esta técnica para la detección de fallos en motores de inducción alimentados mediante inversor.