Top PDF PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

estudio de curvas planas. Fue en el siglo XVIII cuando se desarrolló la geometría analítica del espacio. Clairut, Euler y Lagrange fueron pioneros. Por su extraordinario nivel de geómetra y su vocación pedagógica, puede considerarse a Monge (1746-1818) como el auténtico padre de la geometría analítica tridimensional: entre sus muchos libros, publicó uno para sus alumnos de la Escuela Politécnica de París, en el que desarrolló la geometría analítica del espacio prácticamente como se encuentra en la actualidad.

Puntos, rectas, planos y espacio Estos objetos geométricos quedarán definidos mediante las relaciones entre ellos. Estas relaciones se enuncian en los llamados axiomas de pertenencia, paralelismo, orden y separación del plano. Los axiomas son enunciados que se aceptan como verdaderos y se toman como puntos de partida de la teoría a desarrollarse.

a) Averigua si existe algún valor de a para el cual las rectas están conteni- das en un plano. En caso afirmativo, calcula la ecuación de dicho plano. b) Determina, cuando sea posible, los valores de a para los cuales las rec- tas son paralelas y los valores de a para los que las rectas se cruzan.

b) No es posible puesto que todas las rectas se cortan. c) El quinto postulado de Euclides: “Por un punto P exterior a una recta r del plano solo se puede trazar una recta paralela a ella”. Si fuera cierto, por un punto P exterior a una recta r del plano se puede trazar una recta que no la corta, pero hemos visto que eso es imposible, luego no se cumple el postulado.

Que el estudiante aprenda a identificar, los conceptos básicos de la geometría del espacio, como son el punto, la recta y el plano; y las posiciones relativas que hay entre ellas.. ACT[r]

Como las rectas no son paralelas ni coincidentes, para que estén en un mismo plano se han de cortar en un punto. Imponemos esta condición. Para averiguar el punto de corte, sustituimos las coordenadas de un punto de r en las ecua- ciones de s y resolvemos el sistema:

b) Para cada punto P de r, determínese la ecuación de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente al eje OZ.[r]

- Solución: El procedimiento que vamos a seguir lo narro a continuación. Nuestra recta va a ser el corte de dos planos, uno paralelo al primero (con eso garantizamos que la recta es paralela al plano) y el otro va a pertenecer al haz de planos que obtenemos a partir de los planos que denen la segunda recta. De esa forma, como nuestra recta estará contenida en dicho plano cortará a la que nos dan. El plano que eligiremos será aquel que haga que la recta obtenida corte perpendicularmente a la dada en el enunciado.

¿Por qué utilizamos el calificativo “principal”? Porque, obviamente, no es la única forma de determinar una recta. Existen infinitas formas: por ejemplo, es evidente que sólo existe una recta que pase por dos puntos, o una recta paralela a otra dada y que pase por un punto exterior a ésta, o perpendicular a un plano y que pase por un punto dado, etc. Ahora bien, nótese que siempre nos darán dos datos para determinar una recta.

Puede determinarse una recta en el espacio conociendo dos de sus puntos. En efecto, conocidos dos puntos de una recta, A y B, se puede determinar el vector A ៮ B ៬ y este será un vector director de la recta, puesto que tiene su misma dirección. La determinación de la recta será r(A, A ៮ ៬ B ).

¿Por qué utilizamos el calificativo “principal”? Porque, obviamente, no es la única forma de determinar una recta. Existen infinitas formas: por ejemplo, es evidente que sólo existe una recta que pase por dos puntos, o una recta paralela a otra dada y que pase por un punto exterior a ésta, o perpendicular a un plano y que pase por un punto dado, etc. Ahora bien, nótese que siempre nos darán dos datos para determinar una recta.

rgA sistema incompatible, no tienen puntos en común, PARALELOS 1.3 Si rgA = rgA* = 2, compatible indeterminado, infinitos puntos en común, la recta está CONTENIDA en el plano (no se puede decir que coincidan) 2. LA RECTA VIENE DEFINIDA POR UN PUNTO Y UN VECTOR

b. Paralelos: Su intersección es vacía. En la figura anterior, el plano determinado por los puntos A, B y C con el plano determinado por los puntos G, H, E y F. NOTA: Dos planos del espacio son paralelos o se cortan. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO EN EL ESPACIO.

presenta el conjunto de todos los planos del haz que determinan los planos π y π ' . 4. Incidencia de planos y rectas 4.1. Incidencia de dos planos Sean los planos π : Ax + By + Cz + D y π ': A x ' + B y ' + C z ' + D ' . Su intersección está forma- da por todos aquellos puntos cuyas coordenadas satisfacen a la vez las dos ecuaciones, es de- cir, por las soluciones del siguiente sistema :

78 La condición que deben cumplir tres puntos para que de-. terminen un plano es que no deben estar alineados.[r]

b) Escribir la ecuación cartesiana de M y hallar todos los vectores paralelos a ella. c) Escribir a la recta M como intersección de planos. d) Encontrar las coordenadas de los puntos que pertenecen a la recta M si 𝜇 = 0 y 𝜇 = 3. e) Indicar si los puntos 𝑃 = (5, −4, 4) y 𝑄 = (−4, 8, 6) pertenecen a la recta M. En caso afirmativo, determinar el valor del parámetro 𝜇 que corresponde a dicho punto.

Si los puntos son A ( a 1 , a 2 , a 3 ) y B ( b 1 , b 2 , b 3 ) es evidente que: Uno de los puntos determina la posición, por ejemplo, A; mientras que el vector b  − a  (o a  − b  ) indica su dirección. Por tanto, su ecuación vectorial será: x  = a  +  ( b  − a  ) . A partir de ella se obtienen las ecuaciones alternativas. Así, la ecuación continua será:

La proyección de una recta r sobre un plano π es la recta que se obtiene al proyectar dos puntos de r sobre π. También se puede encontrar hallando la intersección de los planos  y ´, siendo ´ el plano perpendicular a  que contiene a r. (Este plano π´ está determinado por la recta r y por el vector v   ; esto es, por un punto A  r y por los vectores v  r y v   .)

Estudiamos el rango de M y M * . Se pueden dar los siguientes casos: 1. Si rg   M  rg   M *  1  nº incógnitas  S . C . I .  El sistema tiene infinitas soluciones. Hay dos grados de libertad, luego las soluciones dependen de dos parámetros. Por tanto, las infinitas soluciones del sistema son los puntos de un plano, es decir, los planos son coincidentes.

Tratar de representar gráficamente los objetos matemáticos facilita su visualización, su comprensión y su memorización. Así, la docencia de las matemáticas se apoya frecuentemente en diagramas, dibujos y representaciones gráficas diversas. Si estas representaciones gráficas son interactivas y pueden ser manipuladas en tiempo real, resultarán aún más eficaces. El sistema Mathematica ofrece herramientas gráficas de gran potencia y versatilidad para representar objetos matemáticos en dos y tres dimensiones, y su comando Manipulate permite modificar dichas representaciones en tiempo real utilizando cursores móviles interactivos. Esta posibilidad de manipulación dinámica, junto con las opciones de programación de Mathematica, se ha aplicado al estudio de posiciones relativas en el espacio afín: dado un plano, analizamos sus posiciones relativas con una recta móvil, y posteriormente, con otro plano móvil. En ambos casos Mathematica representa tridimensionalmente las rectas y planos, y permite modificar de forma dinámica estas representaciones, informa sobre las diferentes posiciones relativas y proporciona los puntos o rectas de corte, si existen. Esta manipulación en tiempo real permite a los alumnos visualizar de manera clara, sencilla y con un alto poder didáctico las consecuencias de los cambios en los coeficientes de las rectas y planos representados: distintas orientaciones, traslaciones, diferentes posiciones relativas, etc.