Índice de dentabilidad de puntos quasi-denting

Capítulo 3. Índice de no compacidad de Kuratowski y renormamiento LUR

3.3 Índice de dentabilidad de puntos quasi-denting

En esta sección daremos la prueba geométrica del teorema de Troyanski sobre renormamiento LUR de espacios de Banach donde los puntos de la esfera unidad son puntos quasi-denting en la bola unidad (Teorema 6 de la introducción). Comenzamos esta sección recordando y estudiando algunas definiciones que aparecieron en la introducción.

Definición 3.3.1. Sea X un espacio normado, F ⊂ X∗ un subespacio normante, A⊂ X

(i) Un punto x∈ A ⊂ X esε−σ(X, F)−denting (resp.ε−σ(X, F)−quasi-denting), si

existe H∈ H(F) conteniendo a x y cumpliendo

diam(A ∩ H) <ε (resp.α(A ∩ H) <ε) H A > diam(A_{∩ H) <} H A > diam(A_{∩ H) <}

(ii) Un punto x∈ A ⊂ X esσ(X, F)−denting (resp.σ(X, F)−quasi-denting), si ∀ε> 0

existe H∈ H(F) conteniendo a x y cumpliendo

diam(A ∩ H) <ε (resp.α(A ∩ H) <ε)

De la definición anterior se observa que cualquier punto denting es quasi-denting. Sin embargo, la implicación contraria no es cierta, como veremos en el siguiente ejemplo. Ejemplo 3.3.2. Sea{ei}4_i₌₁la base de vectores unitarios deR4y definimos el conjunto:

T := {e1, e1± e2, e1+ e2± e3, e1− e2± e4}

Entonces los puntos e1, e1+e2y e1−e2son puntos quasi-denting enT que no son denting.

DEMOSTRACIÓN: ComoT es un conjunto finito se cumple queα(T) = 0, por lo que e1es

un punto quasi-denting enT. Ahora, consideramos un semiespacio abierto H conteniendo

a e1, entonces o bien e1+ e2 ∈ H o bien e1− e2 ∈ H, ya que, si ninguno de los dos

elementos está en H, por convexidad e16∈ H. Además la distancia entre e1 y cualquiera

de los dos elementos anteriores es 1. El mismo razonamiento sirve para los otros puntos y se concluye la prueba.

T e1 e1+ e2 e1− e2 e1+ e2+ e3 e1+ e2− e3 e1− e2+ e4 e1− e2− e4 6 I R -

A continuación nos vamos a centrar en estudiar puntos σ(X, F)-denting y puntos

σ(X, F)quasi-denting de la bola unidad cerrada BX de un espacio normado. Estudiaremos

un ejemplo, extraído de [T2], de un espacio de Banach donde todos los puntos de la es- fera unidad SX son puntos quasi-denting en la bola unidad cerrada BX. Sin embargo, hay

puntos en dicha esfera que no son denting en la bola. Fijemos la siguiente notación: En el espacio vectorial C[0, 1] consideramos la norma completa

|x| := |x|∞+

+∞

∑

i=1

2−iw(x, 2−i)

donde| · |∞es la norma del supremo y w(x,δ) es el módulo de continuidad de x, es decir,

w(x,δ) := sup{x(t0) − x(t00); |t0− t00| ≤δ}

Ejemplo 3.3.3. En el espacio de Banach(C[0, 1], |·|), cualquier punto de la esfera unidad

es un punto quasi-denting de la bola unidad cerrada.

DEMOSTRACIÓN: Definimos

|x|n:= |x|∞+

∑

i<n

2−iw(x, 2−i)

Sea|x| = 1, yε> 0. Podemos encontrar m tal que w(x, 2−m) <ε/2, y definimos

K := {u; |u|m≤ 1 − 2−mε}

K es convexo y cerrado y x6∈ K, veamos esto último:

1= |x|m+

∑

i≥m 2−iw(x, 2−i) < |x|m+ε 2_i

∑

_≥m2 −i₌ = |x|m+ε 22 −m₂_{= |x|} m+ 2−mε

por lo que|x|m> 1 − 2−mε. Como consecuencia existirá f ∈ C∗[0, 1], | f | = 1 tal que

f(x) > sup f (K)

Consideramosδ = 1 − sup f (K)>0, y B = {u; |u| ≤ 1}. Sea u ∈ SB( f ,δ), entonces u 6∈ K,

por lo que|u|m> 1 − 2−mε. Como|u| ≤ 1 llegamos a que w(u, 2−m) <ε, por lo tanto

SB( f ,δ) ⊂ F₂ε−m:= {u ∈ B; sup u(t0) − u(t00) ≤ε si|t0− t00| ≤ 2−m} Si probamos que

α(F₂ε−m) ≤ε

habremos acabado. Como[0, 1] es compacto podemos expresar

[0, 1] ⊂

[

i=1

B(xi; 2−m)

Aplicando el lema de Urysohn, ver [E], existe un sucesión finita {φi}N_i₌₁ de funciones

continuas cumpliendo 0≤φi≤ 1, supp(φi) ⊂ B(xi; 2−m) para cada i = 1, . . . , N y∑Ni=1φi=

1. Fijado u∈ F₂ε−m, definimos ¯u(x) := N

∑

i=1 u(xi)φi(x) entonces se cumple

|u(x) − ¯u(x)| = |u(x) −

∑

i=1 u(xi)φi(x)| = = | N

∑

i=1 u(x)φi(x) − N

∑

i=1 u(xi)φi(x)| ≤ N

∑

i=1 |u(x) − ui(x)|φi(x) = =

∑

i;x∈supp(φi) |u(x) − u(xi)|φi(x) ≤ε

∑

i φi(x) =ε

Definimos entonces el conjunto relativamente compacto K₂ε−m:= span{φi; i= 1, . . . , N} ∩ B

Entonces α(K₂ε−m) = 0, es decir, lo puedo cubrir por una cantidad finita de bolas de diámetro arbitrariamente pequeño. Atendiendo a que

se concluye que

α(F₂ε−m) ≤ε

Veamos la siguiente observación sobre el ejemplo anterior.

Observación 3.3.4. En el espacio de Banach (C[0, 1], | · |), no todo punto de la esfera

unidad es un punto denting de la bola unidad cerrada.

DEMOSTRACIÓN: Utilizando una caracterización de [L-L-T], basta probar que existen

f, g, h ∈ C[0, 1] con | f | = |g| = |h| = 1 cumpliendo f = 1₂g+1₂h, en esta situación se dice que f es un punto no extremal de la esfera unidad de(C[0, 1], | · |). Hay que observar que

la norma | · | mide, no sólo el máximo valor de una función, sino también su pendiente.

Por lo tanto al compensar el valor máximo con la pendiente, se obtienen funciones que están en la esfera unidad. Con esto en mente definimos las siguientes funciones:

f(x) =    x+1₆, x ≤1₂ 7 6− x, x > 1 2 ; g(x) =    6 5x, x≤ 1 2 6 5(1 − x), x > 1 2 ; h(x) =    4 5x+ 1 3, x≤ 1 2 17 15− 4 5x, x > 1 2 Gráficamente tenemos: 1/2 11/15 2/3 3/5 1 1/6 1/3 y = g(x) y = f (x) y = h(x) X Y

Vamos a probar primero la condición| f | = |g| = |h| = 1.

(a)| f |_∞= 2₃ y w( f , 2−i) = sup{| f (x + 2−i) − f (x)|; x ∈ [0, 1]} = 2−i, donde la última igualdad se debe a que

| f (x + 2−i) − f (x)| = x + 2−i− x = 2−i, si x+ 2−i≤ 1 2

| f (x + 2−i) − f (x)| = |7₆− x − 2−i−7₆+ x| = 2−i, si x≥1₂

En cualquier otro caso | f (x + 2−i) − f (x)| es menor que en los casos anteriores (ver la

gráfica de esta función). Entonces se tiene que

| f | = 2₃+

∑

i 1 4i =2₃+1₃= 1 (b) |g|_∞ = 3 5 y w(g, 2

−i_{) = sup{|g(x + 2}−i_{) − g(x)|; x ∈ [0, 1]} =} 6 52

−i_{, donde la última} igualdad se debe a que

|g(x + 2−i) − g(x)| = 6₅x+6₅2−i−₅6x= 6₅2−i, si x+ 2−i≤ 1₂

|g(x + 2−i) − g(x)| = |6₅−6₅x−6₅2−i−6₅+6₅x| = 6₅2−i, si x≥ 1₂

En cualquier otro caso |g(x + 2−i) − g(x)| es menor que en los casos anteriores (ver la

gráfica de esta función). Entonces se tiene que

|g| = 3₅+

∑

i 6 5· 1 4i = 3 5+ 1 3· 6 5 = 1

|h(x + 2−i) − h(x)| = 4₅x+4₅2−i+1₃−₅4x−1₃= 4₅2−i, si x+ 2−i≤ 1₂

|h(x + 2−i) − h(x)| = |17₁₅−4₅x−12₁₅2−i−17₁₅+4₅x| =4₅2−i, si x≥ 1₂

En cualquier otro caso |h(x + 2−i) − h(x)| es menor que en los casos anteriores (ver la

gráfica de esta función). Entonces se tiene que

|h| =11₁₅+

∑

i 4 5· 1 4i = 11₁₅+1₃·4₅ = 1

Probaremos ahora la condición f = 1₂(g + h).

Si x≤ 1₂, entonces 1 2g(x) + 1 2h(x) = 1 2· 6 5x+ 1 2· ( 4 5x+ 1 3) = x + 1 6 = f (x)

Si x>1 2, entonces 1 2g(x) + 1 2h(x) = 1 2· 6 5(1 − x) + 1 2(− 4 5x+ 17 15) = −x + 7 6= f (x)

Recordemos la siguiente definición, que ya apareció en la introducción.

Definición 3.3.5. La normak · k de un espacio normado X se dice localmente uniforme-

mente rotunda (LUR), si para toda sucesión(xn)n⊂ SX y x∈ SX se cumple

l´ım

n k

xn+ x

2 k= 1 ⇒ l´ımn k xn− x k= 0

En lo que queda de sección estudiaremos el índice de dentabilidad de los puntos σ(X, F)quasi-denting, como consecuencia de esto obtendremos una prueba alternativa

(geométrica) del teorema de Troyanski para puntos quasi denting (teorema 10 de la intro- ducción) el cual afirma que: Si un espacio de Banach X tiene la propiedad de que cada punto de la esfera unidad SX es un punto quasi-denting para la bola unidad cerrada

BX, entonces dicho espacio admite una norma equivalente LUR.

Recordamos el índice de dentabilidad de G. Lancien basado en el siguiente proceso de derivación de tipo Cantor.

Fijado un espacio normado X , un subespacio normante F ⊂ X∗ y B⊂ X un subcon-

juntoσ(X, F)−cerrado, convexo y acotado. Elegimos algúnε> 0 y definimos:

D_ε,F(B) := {x ∈ B; k · k − diam(H ∩ B) >ε, ∀H ∈ H(F), x ∈ H}

D,F(B)

De nuevo, D_ε,F(B) es un conjuntoσ(X, F)−cerrado, convexo y acotado; de hecho, si B es absolutamente convexo, D_ε,F(B) también lo es. Iterando este proceso definimos:

Dα_ε_,F+1(B) := D_ε,F(Dα_ε,F(B)) donde D0ε,F(B) := B y

Dα_ε_,F(B) := \

β<α

En este contexto denotaremos por: δF(B,ε) :=    ´ınf{α; Dα_ε_,F(B) =φ} si existe

∞ en cualquier otro caso

Con esto podemos definir el índice de dentabilidad.

Definición 3.3.6. Sea X un espacio normado, F ⊂ X∗subespacio normante y B⊂ X un

subconjuntoσ(X, F)−cerrado, acotado y convexo. Se define el índice de dentabilidad de

B como

δF(B) := sup{δF(B,ε);ε > 0}

También podemos hablar de índice de dentabilidad de un subconjunto arbitrario S respecto al conjunto B anterior. En este contexto denotaremos por:

δF(S, B,ε) :=

  

´ınf{α; Dα_ε_,F(B) ∩ S =φ} si existe

∞ en cualquier otro caso

Definición 3.3.7. Sea X un espacio normado, F ⊂ X∗ un subespacio normante, B⊂ X

un subconjuntoσ(X, F)−cerrado, convexo y acotado y S ⊂ B un subconjunto arbitrario.

Se define el índice de dentabilidad de S respecto a B como: δF(S, B) := sup{δF(S, B,ε);ε > 0}

Recordemos que si F⊂ X∗, la norma del espacio normado X se dice que esσ(X, F)-

inferiormente semicontinua si la bola unidad cerrada es también σ(X, F)−cerrada. En

particular, en un espacio de Banach si ||| · ||| es una norma equivalente en (X∗, k · k∗),

dicha norma es también dual si, y sólo si, esσ(X∗, X)−inferiormente semicontinua.

Estamos interesados en el índice de dentabilidad de la esfera unidad en la bola unidad cerrada de un espacio normado, por el siguiente resultado (teorema 11 de la introducción). Teorema 3.3.8. Sea X un espacio normado y F⊂ X∗un subespacio normante cumplién- dose

δF(SX, BX) <ω1

Antes de ver la prueba de este resultado veamos el siguiente lema, que es una adapta- ción del lema 2 de [R].

Lema 3.3.9. Sea X un espacio normado y F ⊂ X∗ un subespacio normante. Fijamos un punto x∈ SX y sea∆una familia de conjuntos de X con la propiedad que para todoε> 0,

existen A∈∆y H ∈ H(F) tal que x ∈ H ∩ A y

k · k − diam(A ∩ H) <ε

Entonces para cadaε> 0 existen C ∈∆,δ> 0 y G ∈ H(F) tales que x ∈ G∩(C +B(0;δ))

k · k − diam((C + B(0;δ)) ∩ G) <ε

DEMOSTRACIÓN: Dadoε> 0 existe H ∈ H(F) y A ∈∆tal que x∈ A ∩ H y k · k−diáme-

tro(A ∩ H) <ε/4 (luego A ∩ H ⊂ B(x,ε/4)). Sea H := {y ∈ X : f (y) <α}, donde f ∈ F y

α∈ R. En particular, f (x) <α. Sea H0:= {y ∈ X : f (y) <α+ f (x)₂ }, un elemento de H(F),

y sea H00:= {y ∈ X : | f (y)| < α− f (x)₂ }. Entonces, H0+ H00⊂ H. Podemos encontrarδ> 0

tal que B(0,δ) ⊂ B(0,ε/4) ∩ H00. Probaremos que (A + B(0,δ)) ∩ H0⊂ B(x,ε/2). Para

verlo, sea y∈ (A+B(0,δ))∩H0. Entonces y= a+δb, donde b∈ BX. Por tanto, a−y ∈ H00,

luego a= y + (a − y) ∈ (H0+ H00) ∩ A ⊂ H ∩ A ⊂ B(x,ε/4). Entonces y = (y − a) + a =

δb+a ∈ B(0,δ)+B(x,ε/4) ⊂ B(x,ε/2). Se sigue que k·k−diámetro(A+B(0,δ))∩H0<

ε.

DEMOSTRACIÓN: [Demostración del teorema 3.3.8] Sin perder generalidad podemos

asumir que F ⊂ X∗ es 1−normante, la prueba sigue la misma estructura que la prop-

uesta por M. Raja para el teorema 1 de [R]. No obstante, haremos la construcción para que el trabajo sea autocontenido.

Seaµ =δF(SX, BX) <ω1, consideramos la familia numerable

∆:= {Dα1 m,F

(BX);α <µ, m ∈ N}

donde cada elemento de ∆ es absolutamente convexo. Además la familia ∆ cumple las hipótesis del lema anterior, por lo que podemos considerar que los elementos de ∆ son tambiénk · k −abiertos. Para que la notación sea más clara expresaremos

Denotaremos por k · kn al funcional de Minkowski asociado al conjunto absolutamente

convexo,σ(X, F)−cerrado, acotado y entorno del origen Bn. Por lo que cadak · knes, de

hecho, una norma en X , equivalente a la inicial y además σ(X, F)−inferiormente semi-

continua.

Ahora, para cada m∈ N, definimos los conjuntos:

Bn,m:= {x ∈ Bn;k · k − diam(Bn∩ H) > _m1, si x∈ H ∈ H(F)}

Los conjuntos así construidos son, o bien vacíos, o bien absolutamente convexos y σ(X, F)−cerrados. Para cada p ∈ N, consideramos los conjuntos

Bn,m,p:= Bn,m+ B(0; 1/p) Veamos que se cumple que

Bn,m = ∩+_p₌₁∞Bn,m,p

cuando Bn,m 6=φ. De hecho, si x 6∈ Bn,m entonces, ya que este conjunto es convexo y σ(X, F)−cerrado, podemos elegir H ∈ H(F) tal que x ∈ H y Bn,m∩ H =φ. Tomando el semiespacio dado por un hiperplano paralelo, podemos asumir que la distancia entre Bn,m y H es positiva. Entonces para algún p∈ N se tiene que

(Bn,m+ B(0;1_p)) ∩ H =φ

y por tanto x6∈ Bn,m,p. De nuevo los conjuntos Bn,m,p son absolutamente convexos, aco- tados, σ(X, F)−cerrados y entornos del origen. Si denotamos por k · kn,m,p al funcional de Minkowski asociado a cada conjunto de estos, obtenemos, de nuevo, una norma en X equivalente ak · k yσ(X, F)−inferiormente semicontinua.

Definimos la norma |x| = (k x k2+

∑

n αnk x k2n+

∑

n,m,p αn,m,pk x k2n,m,p)1/2

Donde las sucesiones (αn)n y(αn,m,p)n,m,p aseguran la convergencia de las series y que

| · | es una norma en X equivalente a k · k yσ(X, F)−inferiormente semicontinua.

Probaremos que| · | es también LUR, sean x ∈ X y (xk)k⊂ X tales que

|xk| = |x| = 1, ∀k ≥ 1 y l´ım k | x+ xk 2 | = 1

entonces l´ım k ( |x|2+ |xk|2 2 − | x+ xk 2 | 2_{) = 0}

Por argumentos estándard de convexidad (ver [R], pag. 347) se tiene que, para cua- lesquiera m, n, p anteriores:

(1) l´ımkk xkkm,n,p= l´ımkk xk₂+x km,n,p=k x km,n,p. (2) l´ımkk xkkn= l´ımkk xk₂+x kn=k x kn.

(3) l´ımkk xkk= l´ımkkxk₂+x k=k x k.

Para probar que la sucesión(xk)k | · |−converge a x, no es restrictivo suponer que

k xkk=k x k= 1 ,∀k ∈ N

ya que en caso contrario, podemos considerar la sucesión

( xk k xkk

)k⊂ SX

Fijamos 1/2 >ε> 0, existe n ∈ N y H ∈ H(F) tal que x ∈ Bn∩ H y

k · k − diam(Bn∩ H) ≤ε/3

ya que k · k es σ(X, F)−inferiormente semicontinua. Como Bn es abierto, se tiene que

k x kn< 1, por lo tanto k xk kn< 1 para k suficientemente grande, y por tanto xk ∈ Bn

para k suficientemente grande. Análogamente, para k suficientemente grande también se cumple que

x+ xk

2 ∈ Bn

Tomamos m∈ N tal que 2/ε < m < 3/ε, por tanto x6∈ Bn,m. Si Bn,m 6=φ entonces, para algún p∈ N, se tiene que k x kn,m,p> 1, por lo que para k suficientemente grande,

k x+xk

2 kn,m,p> 1 y como consecuencia

x+ xk

2 6∈ Bn,m,p Si Bn,m=φ, simplemente tenemos que x+x₂k 6∈ Bn,m.

Por lo tanto, para k∈ N suficientemente grande, se tiene que

x+ xk

2 ∈ Bn\ Bn,m

Por definición de Bn,m, existe H0∈ H(F) tal que x+x₂k ∈ Bn∩ H0y

Pero entonces x o xkpertenece a H0, y por tanto a Bn∩ H0. Como k xk− x k= 2 k xk− xk+ x 2 k= 2 k x − xk+ x 2 k deducimos que

k xk− x k≤ε, para k suficientemente grande

Como| · | es equivalente a k · k se tiene que

l´ım

k |x − xk| = 0

y se concluye la prueba.

Calcularemos ahora el índice de dentabilidad de los puntos quasi-denting de un con- junto convexo, cerrado y acotado:

Teorema 3.3.10. Para cada ε > 0, existe un ordinal numerable η_ε, tal que si X es un espacio normado y F ⊂ X∗un subespacio 1−normante, entonces para cada subconjunto

B⊂ X σ(X, F)−cerrado, acotado y convexo, si:

Q_ε := {x ∈ B; ∃H ∈ H(F), x ∈ H yα(H ∩ B) <ε}

Entonces se tiene que

δF(Qε, B,ε) <ηε<ω1

La prueba está basada una serie de resultados previos.

Lema 3.3.11. Sea B un subconjuntoσ(X, F)−cerrado, acotado y convexo de un espacio

normado X , F⊂ X∗un subespacio 1−normante yε> 0. Consideramos la cadena

B := L0⊃ L1⊃ L2⊃ · · · ⊃ Ln

de subconjuntos de Bσ(X, F)−cerrados y convexos. Sea S ⊂ Ln, entonces

δF(S, B,ε) ≤δF(L0\ L1, B,ε) +δF(L1\ L2, L1,ε) + . . .

DEMOSTRACIÓN: Haremos la prueba por inducción en n. Para n= 1 consideramos B =

L0⊃ L1⊃ S como en el enunciado y fijamosδF(L0\ L1, B,ε) =α yδF(S, L1,ε) =β.

Ya que Dα_ε_,F(B) ∩ B \ L1=φ, se tiene que D_εα_,F(B) ⊂ L1. Dado x∈ Dα_ε_,F+1(B), tenemos

que

diam(H ∩ Dα_ε_,F(B)) >ε

para cada H∈ H(F) que contenga a x, por lo que

diam(H ∩ L1) >ε

para cada H∈ H(F) que contenga a x, por lo tanto x ∈ D_ε,F(L1). Se tiene pues que

Dα_ε_,F+1(B) ∩ S ⊂ Dε,F(L1) ∩ S

Ya queβ es el primer ordinal tal que Dβ_ε_,F(L1) ∩ S =φ, se obtiene que Dα_ε_,F+β(B) ∩ S =φ,

por lo queδF(S, B,ε) ≤α+β.

Ahora supongamos que tenemos B= L0⊃ L1⊃ L2⊃ · · · ⊃ Ln⊃ S como en el enun-

ciado y supongamos que la fórmula se cumple para n− 1 conjuntos. Considerando L0⊃

L1⊃ S, como hicimos antes,

δF(S, B,ε) ≤δF(L0\ L1, B,ε) +δF(S, L1,ε) (∗)

Si consideramos ahora los conjuntos L1⊃ L2⊃ · · · ⊃ Ln⊃ S, por la hipótesis de inducción

δF(S, L1,ε) ≤δF(L1\ L2, L1,ε) + · · · +δF(Ln−1\ Ln, Ln−1,ε) +δF(S, Ln,ε)

Para acabar la prueba sólo necesitamos usar la desigualdad anterior(∗).

Lema 3.3.12 (Lema de reducción). Sea B un subconjuntoσ(X, F)−cerrado, acotado y

convexo de un espacio normado X , F⊂ X∗un subespacio 1−normante y fijamosε > 0.

Sea H ∈ H(F) con

α(H ∩ B, n) <ε para algún n> 1 fijado

Entonces existe una sucesión de subconjuntosσ(X, F)−cerrados y convexos

B=: B0⊃ B1⊃ B2⊃ · · · ⊃ Bs⊃ Bs+1⊃ · · · tales que

H∩ B ⊂ (B0\ B1) ∪ (B1\ B2) ∪ · · · ∪ (Bs\ Bs+1) ∪ · · ·

y para cada s= 0, 1, 2, . . . y cada z ∈ Bs\ Bs+1existe G∈ H(F) con z ∈ G, G ∩ B ⊂ H ∩ B y

DEMOSTRACIÓN: Ya queα(H ∩ B, n) <ε podemos fijar conjuntosσ(X, F)−cerrados y convexos BH₁, . . . , BH_n con diam(BH i ) <ε, i= 1, . . . , n y tales que H∩ B ⊂ BH₁ ∪ · · · ∪ BH_n Definimos L1:= co(B \ H, BH1 ∩ B)

Si y∈ B \ L1, por el teorema de Hahn-Banach existirá un semiespacio G∈ H(F) conte-

niendo a y, G∩ L1=φ y tal que

G∩ B ⊂ BH₂ ∪ · · · ∪ BH_n y por tanto α(G ∩ B, p) <εpara algún p≤ n − 1.

B

H

B

H 1

L

₁ : Cubierto por n − 1 conjuntos.

G

Consideramos los conjuntos C₀1:= BH

1 ∩ B y C1:= B \ H para aplicar el lema 3.2.1 con

p= 1, y encontrar 0 < r < 1, de hecho es suficiente si

2r diam(B) + diam(BH₁) <ε

de tal manera que si

Dr,1 := {(1 −λ)x0+λx1; r≤λ ≤ 1, x0∈ C01, x1∈ C1}

tenemos que L1\ Dr,16=φ y

diam(L1\ Dr,1) <ε

Por lo tanto para cada y∈ L1\ Dr,1 existirá G∈ H(F) conteniendo a y, G ∩ Dr,1 =φ. Por tanto G∩ B ⊂ H ∩ B y G ∩ L1⊂ L1\ Dr,1, como consecuencia diam(G ∩ L1) <ε y

B H BH 1 Dr,1 L1 3 diamBH 1 < G

Denotaremos por B1:= L1 y B2:= Dr,1. Ahora iteraremos la construcción formada para "comer" todos los puntos de BH₁ y de B∩ H después de una cantidad numerable de pasos.

Definimos:

L2:= co(B \ H, BH1 ∩ Dr,1)

Si tomamos cualquier y∈ Dr,1\ L2, existe y∈ G ∈ H(F) con G ∩ L2=φ. Por tanto

G∩ B ⊂ H ∩ B ⊂ BH₁ ∪ · · · ∪ BH_n además como Dr,1∩ BH1 ⊂ L2 se tiene G∩ Dr,1⊂ BH2 ∪ · · · ∪ BHn Por lo tanto α(G ∩ Dr,1, p) <ε para algún p≤ n − 1 B H BH 1 - L2 Cubierto por n− 1 conjuntos

Aplicaremos de nuevo el superlema de Bourgain-Namioka y con los conjuntos C₀2:= BH₁ ∩ Dr,1y C1:= B \ H

y con el mismo valor r de antes tenemos otra vez: diam(L2\ Dr,2) <ε

donde

Dr,2:= {(1 −λ)x0+λx1; r≤λ ≤ 1, x0∈ C0, x1∈ C1}

Como antes para cada y∈ L2\Dr,2existe G∈ H(F) con y ∈ G, satisfaciendo G∩B ⊂ H ∩B yα(G ∩ L2, 1) <ε. B H BH 1 Dr,2 -_diamBH 1 <

Fijamos los conjuntos B3 := L2 y B4 := Dr,2. Por inducción continua el proceso y definimos una sucesión de conjuntos

B= B0⊃ L1! Dr,1⊃ L2! Dr,2 ⊃ · · · ⊃ Ls! Dr,s⊃ Ls+1!· · ·

tal que para cada y∈ Ls\ Dr,sexiste y∈ G ∈ H(F), con G ∩ B ⊂ H ∩ B yα(G ∩ Ls, 1) <ε;

y para cada y∈ Dr,s\ Ls+1 existe y∈ G ∈ H(F), con G ∩ B ⊂ H ∩ B yα(G ∩ Dr,s, p) <ε para algún p≤ n − 1.

Si Dr,s0∩ B

1 =φ para algún s0≥ 1, entonces el proceso para y la sucesión sería finita

en este caso. Observamos que si eso ocurre, se tiene H∩ Dr,s0⊂ B

2 ∪ · · · ∪ BHn

yα(H ∩ Dr,s0, p) <ε para algún p≤ n − 1 también.

Si el proceso no para, veremos ahora que para cada y∈ H ∩ B existe un entero s ≥ 2

tal que o bien y∈ Ls\ Dr,so bien y∈ Dr,s−1\ Lssiempre que y6∈ (B \ L1) ∪ (L1\ Dr,1). De hecho si H= {x ∈ X; f (x) >µ}, f ∈ F, entonces tenemos

sup f|_D_r

,1 ≤ (1 − r) sup f (B

1 ∩ B) + rµ

para el primer paso

sup f|_D_r_,2 ≤ (1 − r) sup f (BH1 ∩ Dr,1) + rµ ≤ (1 − r)[(1 − r) sup f (BH1 ∩ B) + rµ] + rµ =

para el segundo paso, y por recurrencia:

sup f|_D_r_,s≤ (1 − r)ssup f(BH₁ ∩ B) + rµ[1 + (1 − r) + · · · + (1 − r)s−1]

para s= 1, 2, . . . . Como consecuencia, cada y con f (y) >µ no puede estar en todos los conjuntos Dr,s para s= 1, 2, . . . porque la desigualdad construida implica que f (y) ≤µ. Entonces si s es el primer entero con

y6∈ Dr,s

entonces o bien y∈ Ls\ Dr,s, o bien y ∈ Dr,s−1\ Ls, cuando s≥ 2; e y ∈ B \ L1 o bien

y∈ L1\ Dr,1 cuando s= 1.

El lema se acaba al definir B2n+1:= Ln+1 y B2n := Dr,n para n= 1, 2, · · · cuando el proceso no para, y Bs0 := Dr,s0, Bs0+1= · · · =φ cuando el proceso para en el paso s0.

Proposición 3.3.13. Para cadaε> 0, existe una sucesión de números ordinales

1=:ξ1<ξ2< · · · <ξp< · · · <ω1

tal que si X es un espacio normado y F⊂ X∗es un subespacio 1−normante, se tiene que

δF(H ∩ B, B,ε) <ξp(∗)

siempre que B es un subconjunto de X σ(X, F)−cerrado, convexo y acotado y H ∈ H(F)

conα(H ∩ B, p) <ε.

DEMOSTRACIÓN: Definiremos por inducción en p la sucesión de ordinales numerables

(ξn)n. Para p= 1, el índice de Kuratowski α(·, 1) coincide con el diámetro y H ∩ B es

"comido" en el primer paso del proceso de derivación, es decir,ξ1:= 1 verifica (∗).

Supongamos que hemos definido ya

ξ1<ξ2< · · · <ξn−1<ω1

tal que(∗) se satisface para p ≤ n − 1. Fijamos B un subconjuntoσ(X, F)−cerrado, con-

vexo y acotado de X y H∈ H(F) conα(H ∩ B, n) <ε. Por el lema de reducción tenemos

una sucesión de conjuntosσ(X, F)−cerrados y convexos

tal que

H∩ B ⊂ (B0\ B1) ∪ (B1\ B2) ∪ · · · ∪ (Bs\ Bs+1) ∪ · · · y para cada s y cada y∈ Bs\ Bs+1existe G∈ H(F), con

y∈ G, G ∩ B ⊂ H ∩ B, yα(G ∩ Bs, p) <ε

para algún p≤ n − 1. Por nuestra hipótesis de inducción tenemos que

δF(G ∩ Bs, Bs,ε) ≤ξn−1 y como consecuencia

δF(Bs\ Bs+1, Bs,ε) ≤ξn−1, para s= 0, 1, 2, . . . cuando(∗∗) es infinito, y

δF(H ∩ Bs0, Bs0,ε) ≤ξn−1

también, cuando el proceso para en el paso s0. En cualquier caso podemos aplicar el lema

previo al lema de reducción para obtener

δF(Bs\ Bs+1, Bs,ε) ≤ (s + 1)ξn−1, para s= 0, 1, 2, . . . Con lo cual tenemos

δF(H ∩ B, B,ε) ≤ sup{(s + 1)ξn−1; s= 0, 1, 2, · · · } =:ξn<ω1

lo cual finaliza el proceso de inducción.

Corolario 3.3.14. Para cada subconjunto B,σ(X, F)−cerrado, convexo y acotado de X,

si Q_ε,p:= {x ∈ B; ∃H ∈ H(F), x ∈ H conα(H ∩ B, p) <ε} entonces δF(Qε,p, B,ε) ≤ξp<ω1, para p = 1, 2, . . . DEMOSTRACIÓN: Q_ε,p= ∪{H ∩ B; H ∈ H(F) yα(H ∩ B, p) <ε} y δF(Qε,p, B,ε) ≤ sup{δF(H ∩ B, B,ε); H ∈ H(F) yα(H ∩ B, p) <ε} ≤ξp

DEMOSTRACIÓN: [Demostración del teorema 3.3.10] Se tiene que Q_ε:=S+_p₌₁∞ Q_ε,p, aplicando el corolario anterior se tiene:

δF(Qε,p, B,ε) ≤ξppara p= 1, 2, . . .

de donde se sigue

δF(Qε, B,ε) ≤ sup{ξp; p= 1, 2, . . . } =:ηε <ω1

porqueω1no es límite de una sucesión de ordinales numerables.

Corolario 3.3.15. Existe un ordinal numerable η tal que si X es un espacio normado y F ⊂ X∗ un subespacio normante, entonces para cada subconjunto B⊂ X, σ(X, F)−

cerrado, acotado y convexo. Si Q es el conjunto de todos los puntos σ(X, F)−quasi-

denting de B, se tiene que

δF(Q, B) <η<ω1

DEMOSTRACIÓN: Sin pérdida de generalidad podemos asumir que la norma dada es

||| · |||, tomando F un subespacio 1−normante. Entonces tenemos:

δF(Q, B) ≤ sup{ηεn; n= 1, 2, . . . } =:η<ω1

dondeεn↓ 0.

Estamos ahora en disposición del probar el teorema de Troyanski para puntos puntos quasi-denting.

DEMOSTRACIÓN: [Teorema 10 de la introducción] Aplicando el corolario 3.3.15 y el

teorema 3.3.8 se obtiene el resultado.

De hecho, hemos probado algo más general:

Corolario 3.3.16. Si X es un espacio normado y F⊂ X∗un subespacio normante tal que cada punto de la esfera unidad SXesσ(X, F)−quasi-denting para la bola unidad cerrada

BX, entonces δF(SX, BX) <ω1 y, como consecuencia, X admite una norma equivalente

σ(X, F)−inferiormente semicontinua y LUR.

Corolario 3.3.17. Sea X un espacio normado, F ⊂ X∗ un espacio normante y D⊂ SX

el conjunto de todos los puntos σ(X, F)−quasi-denting de BX. Entonces X admite una

norma equivalenteσ(X, F)−inferiormente semicontinua y que es LUR sobre los elemen-

tos de D. En el caso de tener un espacio dual X∗, obtenemos una norma equivalente w∗−inferiormente semicontinua y LUR sobre los elementos de D, por lo tanto será una

norma dual.

3.4 Algunas aplicaciones y consecuencias

A continuación estudiaremos una consecuencia del teorema de Troyanski para puntos quasi-denting y una extensión del proceso de derivación de Lancien para el que seguirá siendo válido el teorema de renormamiento LUR. Es necesario que veamos antes una definición.

Definición 3.4.1. Sea B un subconjunto convexo, cerrado y acotado de un espacio de Banach X .

(i) Diremos que un subconjunto F ⊂ B es una cara de B si existe f ∈ X∗tal que F = {x ∈ B; f (x) = sup

(ii) Diremos que una cara F ⊂ B es una cara denting de B si, cada conjunto abierto en

norma U ⊃ F cumple F∩ [co(B \U)] =φ F BX U F co(BX\ U) U

Corolario 3.4.2. Sea X un espacio de Banach cumpliendo que todas las caras de la bola unidad son compactas (en norma) y denting. Entonces X admite una norma equivalente LUR.

DEMOSTRACIÓN: Debido teorema de Troyanski para puntos quasi-denting (Teorema 10 de la introducción) basta probar que todos los puntos de la esfera unidad de X son quasi- denting para la bola unidad cerrada.

Sea x∈ SX y F ⊂ SX una cara tal que x∈ F. Fijamosε> 0 y consideramos la familia

de bolas abiertas de X {B( f ;ε) : f ∈ F} que cubre F. Como las caras de este espacio de

Banach son compactas, existirán f1, . . . , fn∈ F tal que

F⊂

[

i=1

B( fi;ε) = U

Aplicando ahora que todas las caras son denting, se verifica F∩ co(BX\U) =φ

por lo que

x6∈ co(BX\U)

Aplicando el teorema de Hahn-Banach, existirá un semiespacio abierto H3 x, tal que

H∩ BX∩ co(BX\U) =φ

se concluye pues que

H∩ BX ⊂ U = n [ i=1 B( fi;ε)

Para el resto de la sección podemos definir ahora un nuevo índice de dentabilidad, el índice de dentabilidad respecto al índice de Kuratowski:

Fijamos un espacio normado X , un subespacio normante F⊂ X∗y B⊂ X un subcon-

juntoσ(X, F)−cerrado, convexo y acotado. Elegimos algúnε> 0 y definimos:

αD_ε,F(B) := {x ∈ B;α(H ∩ B) ≥ε, ∀H ∈ H(F) y x ∈ H}

De nuevo,αD_ε,F(B) es un conjuntoσ(X, F)−cerrado, convexo y acotado, iterando este proceso definimos: αDβ_ε_,F+1(B) :=αD_ε,F(αDβ_ε_,F(B)) dondeαD0_ε,F(B) := B y αDβ_ε_,F(B) := \ γ<β αDγ_ε_,F(B) siβ es un ordinal límite.

Establecemos αδF(B,ε) :=    ´ınf{β;αDβ_ε_,F(B) =φ} si existe ∞ en otro caso y αδF(B) := sup{αδF(B,ε);ε> 0}

Se cumple queαD_ε,F(B) ⊂ Dε,F(B), por lo tantoαδF(B) ≤δF(B). Además la igualdad

no es cierta en general, veámoslo.

Ejemplo 3.4.3. Si consideramos el conjuntoT del ejemplo 3.3.2, se cumple:

αδ(co(T)) = 1 <δ(co(T))

DEMOSTRACIÓN: Como co(T) es compacto se tiene que α(co(T)) = 0, por lo tanto

αδ(co(T)) = 1. Además si H es un semiespacio conteniendo a e1, se cumple que:

diam(H ∩ co(T)) = diam(H ∩ T) > 1/2

EntoncesδF(co(T), 1/2) > 1, de dondeδF(co(T)) > 1.

No obstante se tiene el siguiente resultado, que acota cada δF(B) en función de su

correspondienteαδF(B).

Teorema 3.4.4. Sea X un espacio normado y F ⊂ X∗ un subespacio normante para X . Existe una aplicación

Ψ:[0,ω1[−→ [0,ω1[

tal que siµ=αδF(B) <ω1, (donde B es cualquier subconjunto de X ,σ(X, F)−cerrado,

acotado y convexo), entoncesδF(B) <Ψ(µ).

DEMOSTRACIÓN: Vamos a definir la aplicaciónΨ:[0,ω1[−→ [0,ω1[ de la siguiente ma-

nera. Fijamos µ ∈ [0,ω1[ y sea B ⊂ X cualquier subconjunto σ(X, F)−cerrado, acotado

y convexo, tal queµ =αδF(B).

Seaε> 0 arbitrario, entonces podemos construir una cadena numerable y decreciente

de subconjuntos de B,σ(X, F)−cerrados y convexos

Consideramos un elemento x∈αDβ_ε_,F(B) \αDβ_ε_,F+1(B), entonces existirá H ∈ H(F) tal

que

x∈ H ∩αDβ_ε_,F(B)

α(H ∩αDβ_ε_,F(B), n) <ε para algún n∈ N

Aplicando la proposición 3.3.13, existirá un ordinalξ_nε<ω1tal que

δF(H ∩αDβ_ε_,F(B),αDβ_ε_,F(B),ε) ≤ξnε

Como n∈ N depende del punto x elegido deαDβ_ε_,F(B) \αDβ_ε_,F+1(B), podemos asegurar

δF(αDβ_ε,F(B) \αDβ +1

ε,F (B),αDβε,F(B),ε) ≤ sup

n=1,2,...

{ξnε} =:ξε<ω1

Hay que observar que la acotación anterior no depende de β. Aplicando el lema 3.3.11 (en este caso para una cadena numerable) tenemos que

δF(αDβ_ε,F(B) \αDβ +1 ε,F (B), B,ε) ≤δF(αD0ε,F(B) \αD1ε,F(B),αD0ε,F(B),ε)+ · · · +δF(αDβ_ε_,F(B) \αD_εβ_,F+1(B),αDβ_ε_,F(B),ε) ≤ ≤ξε+ · · · +ξε | {z } β+1 = (β+ 1)ξε

Además siαDγ_ε_,F(B) 6=φ peroαDγ_ε+1_,F (B) =φ, aplicamos de nuevo la proposición 3.3.13 y se tiene que

δF(αDγ_ε,F(B),αDγε,F(B),ε) ≤ξε de nuevo por el lema 3.3.11

δF(αDγ_ε_,F(B), B,ε) ≤ (γ+ 1)ξε

Se concluye pues que

δF(B,ε) <µ·ξε <ω1

Consideramos ahora(εn)n una sucesión de números reales positivos, que decrecen a

cero. Entonces δF(B) ≤ sup n=1,2,... {δF(B,εn)} ≤ sup n=1,2,... {µ·ξεn_{} =:}ξ µ<ω1

Se observa queξ_µno depende del conjunto B elegido salvo, evidentemente, queαδF(B) =

µ.

Definiendo ahora

Ψ(µ) :=ξµ+ 1, acabamos la prueba.

También se puede definir el índice de dentabilidad respecto al índice de Kuratowski, de un subconjunto arbitrario S⊂ B. En este contexto denotaremos por:

αδF(S, B,ε) :=

  

´ınf{β;αDβ_ε_,F(B) ∩ S =φ} si existe

∞ en cualquier otro caso

αδF(S, B) := sup{δF(S, B,ε);ε> 0}

Aplicando el teorema 3.4.4 respecto aαδF(S, B) y el teorema 3.3.8 se obtiene el siguiente

resultado:

Corolario 3.4.5. Sea X un espacio normado y F⊂ X∗un subespacio normante cumplién- dose

αδF(SX, BX) <ω1

Entonces X admite una norma equivalente LUR yσ(X, F)−inferiormente semicontinua.

En la siguiente sección llevaremos este resultado a sus últimas consecuencias.

3.5 Teorema de renormamiento LUR.

En la introducción ya enunciamos el siguiente resultado que relaciona teoría de renormamiento LUR con la propiedad s-JNR (teorema 13). Lo volvemos a enunciar ya que será una herramienta fundamental en esta sección.

Teorema 3.5.1. Sea X un espacio normado y F un subespacio normante de su dual. Entonces X admite una norma equivalenteσ(X, F)−inferiormente semicontinua y LUR

si, y sólo si, para cadaε> 0 podemos escribir

X = ∞ [ n=1 X_nε (resp. SX = ∞ [ n=1 S_nε)

de tal manera que si x∈ X_nε (resp. x∈ Sε_n), existe H∈ H(F) conteniendo a x con

diam(H ∩ Xnε) <ε(resp. diam(H ∩ Sεn) <ε)

La idea en esta sección es probar el resultado anterior cambiando diámetro por índice de Kuratowski. La definición de conjunto radial fue vista en la introducción (de manera implícita), no obstante la recordamos antes de enunciar el teorema principal de esta sec- ción:

Definición 3.5.2. Sea A un subconjunto de un espacio normado X , se dice que dicho conjunto es radial si para cada x∈ X, existeρ> 0 tal queρx∈ A.

Nuestro resultado principal de la sección es:

In document Propiedades de cubrimiento, índice de Kuratowski y renormamiento en espacios de Banach. (página 126-173)