ACTIVIDAD DE LOS GRUPOS SOLICITANTES

Este apartado, junto con el 2.4 de cada subproyecto, tiene como finalidad determinar la capacidad del grupo en el tema y, en consecuencia, la viabilidad de la actividad propuesta. Por tanto, se deber´an indicar con claridad los siguientes aspectos:

• Si el proyecto es continuaci´on de otro previamente financiado, los objetivos ya logrados y los resultados alcanzados.

• Si el proyecto aborda una nueva tem´atica, los antecedentes o resultados previos de los grupos, que justifiquen su capacidad para llevar a cabo la nueva propuesta.

• En la modalidad P3, la actividad previa de los grupos en relaci´on con el desarrollo y aplicaci´on de tecnolog´ıas, adjuntando la documentaci´on que pueda justificar este aspecto.

• Actividades previas desarrolladas en com´un por los grupos participantes en relaci´on con este u otros temas.

El proyecto es continuaci´on de otros previamente financiados, b´asicamente de DGICYT PB94-0215. V´eanse los apartados 2.4 de ambos subproyectos. La mayor´ıa de contribuciones que se dan m´as abajo se refieren al per´ıodo de vigencia de esta ayuda (desde agosto 1995 hasta la actualidad), con alguna excepci´on que se ha incluido para situar el contexto. Por contra, la mayor´ıa de las contribuciones de miembros del grupo en la referencia [52] (un total de 10) no se incluyen, remitiendo al volumen completo. Tampoco se incluyen las publicaciones correspondientes a reuniones de car´acter nacional. Tambi´en hay que a˜nadir que, dentro del proyecto arriba mencionado, se han presentado las tesis de las siguientes personas P. Guti´errez, J. Villanueva, R. Ram´ırez-Ros, P. Mart´ın, A. Haro, M.A. Andreu y C. Valls.

Durante los ´ultimos 20 a˜nos el grupo de sistemas din´amicos de Barcelona, distribuido entre la Uni- versitat de Barcelona (UB) y la Universitat Polit`ecnica de Catalunya (UPC), ha sido un grupo l´ıder en el desarrollo de m´etodos anal´ıticos y num´ericos para el estudio de sistemas din´amicos. Por “m´etodos num´ericos para el estudio de sistemas din´amicos”, no entendemos ´unicamente el desarrollo de integradores (simpl´ecticos o no, o bien con t´ecnicas de Taylor de orden arbitrario) para simulaci´on directa de trayec- toria, sino, por ejemplo, m´etodos num´ericos y simb´olicos para el c´alculo de

• ´orbitas peri´odicas y toros invariantes,

• formas normales cerca de puntos de equilibrio, ´orbitas peri´odicas y toros invariantes,

• las variedades estable e inestable de puntos, ´orbitas peri´odicas y toros parcialmente (y posiblemente d´ebilmente) hiperb´olicos,

• puntos homo y heterocl´ınicos, tanto transversales como tangenciales, • escisi´on de separatrices para problemas de dos y m´as grados de libertad, • variedades centrales y, en su caso, las variedades estable e inestable asociadas,

• continuaci´on de objetos, tangencias, etc, en funci´on de par´ametros, detecci´on de bifurcaciones, an´alisis de las mismas y determinaci´on y seguimiento de las nuevas ramas,

• detecci´on de retardos en la bifurcaciones para sistemas con par´ametros lentamente variables, • indicadores num´ericos de la din´amica, como exponentes de Lyapunov, n´umeros y vectores de

rotaci´on, an´alisis de frecuencias refinados, entrop´ıa condicional, dimensi´on de Hausdorff, regula- ridad de las soluciones y de los objetos invariantes mediante t´ecnicas de Fourier o transformadas integrales, etc,

todo ello utilizando, cuando es preciso, aritm´etica de la precisi´on que haga falta.

En breve, t´ecnicas computacionales para encontrar los objetos en el espacio de fases que influencian y determinan la din´amica global. Nuestro grupo tiene tambi´en experiencia en aplicar esta t´ecnicas a problemas de la vida real, como transferencias de ´orbitas y ‘station keeping’ en el an´alisis de misiones para la ESA y NASA. Este grupo posee adem´as una larga y fecunda historia de cooperaci´on internacional con otros grupos, como la Univ. of Texas at Austin (R. de la Llave), Univ. Milano (A. Giorgilli), Univ. Groningen (H. Broer), Univ. Paul Sabatier de Toulouse (J.P. Ramis), Caltech (S. Wiggins), Moscow State Univ. (V.V. Kozlov, S. Bolotin, D. Treschev), Moscow Research Institute (A. Neishtadt), St. Petersburg State Univ. (V. Lazutkin), Jet Propulsion Lab. (M. Lo), . . . , cuya investigaci´on ha obtenido ayudas internacionales de diverso tipo (CEE, INTAS, ESA, NATO, NASA, NSF), tal como se describe en los puntos 2.4 de ambos subproyectos.

La actividad fundamental del grupo ha estado dirigida hacia poder dar una descripci´on lo m´as com- pleta posible del retrato de fases global de los sistemas din´amicos bajo estudio, esto es: c´omo los diferentes elementos b´asicos cooperan para organizar el sistema completo.

Con este prop´osito hemos llevado a cabo un desarrollo de m´etodos anal´ıticos, geom´etricos y num´ericos, divididos en cuatro grandes temas.

1. Sistemas din´amicos en general. Los resultados m´as importantes obtenidos fueron los sigui- entes: a) Estimaci´on del invariante adiab´atico para el oscilador lineal con dependencia lenta res- pecto al tiempo [3]; b) Construcci´on del m´etodo de Poincar´e-Melnikov-Arnold para aplicaciones planas anal´ıticas y aplicaci´on a billares pr´oximos a elipses [19]; c) Demostraci´on de la validez del teorema de Nekhoroshev para ciertos casos de sistemas reversibles [17]; d) Construcci´on del m´etodo de Poincar´e-Melnikov para difeomorfismos en dimensi´on n [2]; e) Existencia e hiperbolicidad de c´ırculos invariantes para difeomorfismos de Bogdanov-Takens [4]; f) Estudio de modelos globales cerca de tangencias homocl´ınicas de difeomorfismos disipativos del plano [5]; g) Existencia de ´orbitas homocl´ınicas a puntos parab´olicos [9]; h) Variedades invariantes para puntos fijos degenerados [26]; i) Existencia de variedades invariantes para toros parcialmente hiperb´olicos y el correspondiente lema de inclinaci´on [28]; j) Existencia de soluciones quasiperi´odicas que reemplazan un punto fijo el´ıptico al someterlo a perturbaci´on quasiperi´odica [38]; k) Estudio del efecto de retardo de la bifur- caci´on en sistemas con un par´ametro que var´ıa lentamente para ´orbitas peri´odicas [48]; l) Distintos ejemplos y aplicaciones del uso del tiempo como variable compleja [50]; m) Una exposici´on did´actica de las causas de la no predecibilidad en sistemas deterministas [49]; n) Un contribuci´on recopilatoria de la problem´atica de los fen´omenos exponencialmente peque˜nos [56].

2. Sistemas Hamiltonianos, aplicaciones simpl´ecticas y temas relacionados. Se han al- canzado los siguientes resultados, considerados muy importantes dentro del campo: a) M´etodos algebraicos para estudiar la no integrabilidad de sistemas hamiltonianos, y m´etodos anal´ıticos para medirla [47, 45, 46, 44]; b) Estimaciones superiores e inferiores de la escisi´on exponencialmente peque˜na de separatrices, tanto anal´ıticas como num´ericas, para aplicaciones simpl´ecticas, billares y flujos, incluso bajo perturbaciones peri´odicas y quasiperi´odicas [13, 14, 20, 21, 22, 23]; c) Estabili- dad efectiva, estimaciones para la velocidad de difusi´on, y mejoras en la teor´ıa KAM [15, 16, 37]; d) Introducci´on del potencial de Melnikov para flujos Hamiltonianos y aplicaciones simpl´ecticas [12, 20]; f) Existencia de ´orbitas de energ´ıa no acotada en perturbaciones de flujos geod´esicos ge- nerales sobre el toro [18]; g) Existencia de aplicaciones exactas simpl´ecticas anal´ıticas con difusi´on, arbitrariamente cerca de aplicaciones exactas simpl´ecticas integrables [24]; h) Estudio de bifurca- ciones, bolsillos de inestabilidad y problemas de reducibilidad de ecuaciones de Hill con excitaci´on peri´odica y quasiperi´odica [7, 6, 8]; i) Propiedades anal´ıticas de formas normales [25]; j) Existencia de toros KAM forzados para hamiltonianos con dependencia quasiperi´odica en el tiempo [38]; k) Ex- istencia de difusi´on de Arnold para aplicaciones simpl´ecticas exactas [27]; l) Teor´ıa KAM inversa para clases de transformaciones simpl´ecticas [35]; m) Visualizaci´on de las estructuras hiperb´olicas para aplicaciones preservando el ´_{area [29]; n) Puntos homocl´ınicos en C para la aplicaci´on standard} complexificada [39]; o) Existencia de curvas invariantes (no grafos) para aplicaciones preservando el ´area sin la propiedad twist [55].

3. Mec´anica celeste. ´Este ha sido el tema de partida de muchos de los investigadores del grupo, y es todav´ıa una fuente importante de problemas. Entre las contribuciones m´as relevantes, mencionamos las siguientes: a) Colisiones m´ultiples y colisiones binarias simult´aneas, problemas de regularizaci´on y ‘blow up’ [42, 41]; b) Familias de ´orbitas peri´odicas y su genealog´ıa [34]; c) ´Orbitas homocl´ınicas y heterocl´ınicas en el problemas restringido de tres cuerpos, el´ıptico y general y tambi´en en otros problemas, as´ıcomo las consecuencias din´amicas de la transversalidad de variedades invariantes [40]; d) Bifurcaci´on de configuraciones centrales 3D a partir de 2D para ciertos problemas de n cuerpos con configuraci´on sim´etrica [43]; e) Avances hacia una descripci´on global del espacio de fases en problema general de tres cuerpos alrededor de los puntos colineales [36]; f) M´etodos efectivos de c´alculo de distintas clases de objetos invariantes [51, 54] g) Descripci´on completa del espacio de fases y la din´amica para el problema de Hill plano [57]; h) Introducci´on y uso de la entrop´ıa condicional de ´orbitas pr´oximas para el estudio del espacio de fases [10].

4. Astrodin´amica. Se han aplicado muchas ideas de sistemas din´amicos al an´alisis y die˜no de mi- siones espaciales. Actualmente, la l´ınea iniciada por el grupo se ha convertido en el paradigma de las t´ecnicas usadas por todos los investigadores trabajando es este campo (misi´on G´enesis). Las principales contribuciones son: a) Construcci´on y uso de cadenas de modelos para aproximar el problema real: restringido, bicircular y anal´ıticos intermedios [33]; b) Estudio de las soluciones de los modelo simplificados en el entorno de los puntos de libraci´on, incluyendo reducciones correspon- dientes a las variedades centrales [36]; c) Transferencia de ´orbitas desde una halo a otra de amplitud distinta [31]; d) Refinamiento num´erico de ´orbitas nominales para modelos realistas del sistema solar

(efem´erides DE–118 de JPL) [33]; e) C´alculo del comportamiento alrededor de la ´orbita nominal y, eventualmente, de sus variedades invariantes [31]; f) Dise˜no de ‘station keeping maneuvers’ [32, 30]; g) Transferencias de ´orbitas usando variedades invariantes [31]. h) Dise˜no de misiones alrededor de los puntos triangulares tierra–luna [11] i) ´Orbitas del problema bicircular alrededor de los puntos triangulares [53] j) ´Orbitas del problema bicircular alrededor del punto colineal translunar [1] Como una caracter´ıstica com´un en todas estas actividades, se han estudiado con gran detalle las variedades invariantes de diversos objetos y su posici´on relativa, as´ı como las consecuencias din´amicas implicadas. Las herramientas importantes han sido: Las formas normales; el despliegue de singularidades; la teor´ıa de promedios; el paso a variables, par´ametros y tiempo complejos; el ‘blow up’ y t´ecnicas de escalado; el estudio detallado de modelos relevantes simplificados; las propiedades universales; y, cuando era necesario buscar ayuda para entender algunas familias de sistemas, el c´alculo num´erico y simb´olico. En cualquier caso, los programas de manipulaci´on simb´olica y computaci´on num´erica han sido implementados por los miembros del grupo, para obtener la m´axima eficiencia, por ejemplo paraleliz´andolos haciendo uso de las m´aquinas en paralelo de que se dispone.

M´as all´a de las aplicaciones estudiadas en los puntos 3 y 4, los mismos m´etodos admiten su aplicaci´on en problemas de mec´anica de fluidos, f´ısica de l´aseres, confinamiento de plasmas, din´amica cl´asica y semicl´asica de mol´eculas y otros.

Referencias citadas

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Relaci´on de visitantes del grupo durante el per´ıodo de vigencia de la ´ultima ayuda de la DGICYT: S. Angenent, V. Arnol’d, D. Bambusi, J.C. Benettin, S. Bolotin, I. Bosch, P. Boyland, H. Broer, X. Buff, J. Cano, A. Carati, J. Cartwright, J.M. Cela, V. Chernov, S. Chesley, P. Cincotta, A. Douady, Y. Fedorov, W. Flury, M. Freiberg, B. Garc´ıa–Archilla, L. Gavrilov, V. Gelfreich, G. Gentile, A. Giorgilli, H. Hanssmann, K. Howell, S. Ib´a˜nez, N. Igotti, M. Irigoyen, A. Ivanov, C. Kluewer, R. Krikorian, V. Lazutkin, M. Levi, R. de la Llave, M.W. Lo, H. Lomeli, J. Los, M. Lyubich, A. Maciejeswki, R. MacKay, J.P. Marco, V. Mastropietro, K. Meyer, A. Mir, F. Mond´ejar, F. Monti, A. Neishstadt, L. Niederman, A. Nikitin, M. van Noort, A. Nunes, R. Obaya, A. Olvera, R. Ortega, M. Pankratov, I. Peral, E. P´erez– Chavela, R. P´erez–Marco, N. Petrova, D. Pfenniger, O. Piro, J. P¨oschel, A. Pumari˜no, J.P. Ramis, J.A. Rodr´ıguez–M´endez, V. Rothos, M. Rudnev, D. Sauzin, I. Seimenis, E. Sibert, V. Sidorenko J. Sotomayor, T. Stuchi, E. Tabacman, D. Treschev, A. Vasiliev, R. Vitolo, J.A. Weyl, S. Wiggins. Varios de ellos han visitado el Grupo en diversas ocasiones. Pr´acticamente todos ellos han impartido una o m´as conferencias en el Seminario de Sistemas Din`amicos a cargo del Grupo de Investicaci´on.

La duraci´on de una visita t´ıpica es de una semana, aunque algunas se han extendido hasta un mes. Por supuesto, las visitas en r´egimen de sab´atico o con una duraci´on m´as extensa y financiadas con ayudas espec´ıficas, no se incluyen en esta relaci´on. Ello ha significado, en promedio, el equivalente a 50 visitas de una semana por a˜no.

Para las estancias, visitas cortas y asistencia a reuniones cient´ıficas de los miembros del grupo, re- mitimos a los curricula individuales.

METODOLOG´IA Y PLAN DE TRABAJO

Se debe detallar y justificar con precisi´on la metodolog´ıa que se propone y debe exponerse la planificaci´on temporal de las actividades, incluyendo cronograma (se adjunta modelo).

• La planificaci´on de actividades ha de ser ´unica y deber´a englobar todos los hitos y las tareas que se prev´e desarrollar en cada uno de los subproyectos, as´ı como la interacci´on entre ellas.

• El plan de trabajo debe desglosarse en actividades o tareas, fijando los hitos que se prev´e alcanzar en cada una de ellas, especificando detalladamente las tareas que corresponden a cada grupo investigador.

• Debe justificarse para cada actividad o tarea la necesidad de la ayuda solicitada, con especial atenci´on a la asignaci´on de los gastos de personal y material inventariable en cada una de ellas.

• En cada una de las tareas, adem´as de indicar el trabajo que desarrollar´an los grupos investigadores que figuran en la solicitud, deber´an especificarse los trabajos asignados, en su caso, al personal contratado y a otro personal que forme parte de los equipos solicitantes (becarios, personal de apoyo, etc.).

• Debe incluirse en este apartado una relaci´on del personal que participa en cada subproyecto no incluido en el grupo investigador (becarios, personal t´ecnico, personal contratado por obra o servicio, investigadores visitantes, etc.).

• El coordinador del proyecto deber´a indicar los mecanismos de coordinaci´on previstos para la ejecuci´on del mismo.

Como regla general en cada una de las tareas siguientes, los resultados en su fase inicial, como se ha comentado en 3.4, son discutidos en el seminario conjunto Sistemes Din`amics UB–UPC, que tiene lugar los mi´ercoles por la tarde, con el fin de evaluar su posible impacto y relevancia, as´ı como para recoger