A continuación se realiza una discusión sobre los diversos métodos de cálculo y su adecuación a los dos principales modos de pandeo existentes en blindajes lisos o con rigidizadores transversales:
Inestabilidad global (con y sin rigidizadores)
Inestabilidad local (entre rigidizadores)
12.1. INESTABILIDAD GLOBAL
En un revestimiento con rigidizadores, la tubería cilíndrica de acero tiene normalmente un espesor insuficiente para resistir la presión externa de diseño por sí misma (sin los rigidizadores). Si el tramo rigidizado del revestimiento pandeara debido a una rigidez insuficiente, entonces el revestimiento completo se volvería inestable.
Se admite que el pandeo de un tramo rigidizado de un revestimiento con rigidizadores y el pandeo de un revestimiento liso ocurren según el mismo mecanismo, porque la única coacción radial que tiene el revestimiento en ambos casos proviene del hormigón del trasdós. Este mecanismo de pandeo se denomina pandeo global.
La discusión en este punto plantea si es más adecuado analizar dicho pandeo global según las teorías de pandeo de simetría radial o de lóbulo único.
La figura nº 109 muestra la relación entre R y t y las Pcrit calculadas según la formulación de Vaughan de pandeo simétrico radial, para diversos valores del gap inicial.
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Figura 109. Pandeo según fórmula de Euler para tubo libre y según Vaughan. Presión externa de pandeo frente a esbeltez [9].
De modo similar, en la figura nº 110 se compara la resistencia al pandeo según el método de simetría radial y el método de lóbulo único de Jacobsen para un revestimiento liso. Las ecuaciones del método con simetría radial proporcionan presiones críticas de pandeo de entre el 8 y el 100% superiores a las ecuaciones de lóbulo único, dependiendo de la esbeltez y el gap. Ambas teorías tienen en cuenta la coacción proporcionada por el hormigón: sin embargo, el método con simetría radial proporciona resultados menos conservadores.
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Figura 110. Pandeo según Jacobsen y según simetría radial. Presión externa frente a esbeltez [9].
Sin embargo, debe admitirse que la teoría de simetría radial, en muchos casos, es la que más puede acercase a la realidad. En los pozos en presión revestidos en acero, generalmente la tubería se adhiere al revestimiento exterior de hormigón en muchos puntos y en áreas extensas, a pesar de que la fisuración tanto en el hormigón y como en el macizo rocoso exterior son inevitables. Es por ello, que puede considerarse que en muchos casos la tubería no se moverá según describe la teoría de lóbulo único.
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Es evidente que la teoría no simétrica puede ser a veces demasiado conservadora, pero puesto que no se puede tener certeza de que el revestimiento de acero y el de hormigón exterior permanezcan concéntricos durante las fases de carga y pandeo, las teorías de simetría radial no parecen muy recomendables para el diseño de revestimientos de acero para túneles y pozos en presión bajo cargas exteriores.
Así, a partir de los problemas teóricos de simetría radial, y de que la experiencia ha demostrado que el pandeo global de revestimientos en acero de túneles usualmente ocurre según un lóbulo único, este último método es considerado apropiado para el análisis del pandeo global de revestimientos de túnel (lisos o con rigidizadores).
Dentro de las teorías de lóbulo único, en el estudio del pandeo de revestimientos con rigidizadores mediante el método de Amstutz, el valor de α, es generalmente inferior a 3; por tanto, el correspondiente ángulo 2α es superior a 180°. Puesto que el análisis de Amstutz se limita al pandeo para α superiores a 3, esto es, ángulos 2α menores de 180°, no es aplicable a revestimientos de acero con rigidizadores.
Parece recomendable utilizar los estudios de El Sawy que son muy completos y contemplan varios tipos de imperfecciones iniciales. El método de Jacobsen tradicionalmente utilizado, como se ha comentado puede dar lugar a una infravaloración de la presión crítica (ver “El Sawy”), lo cual añadido a su complejidad analítica lo hace poco recomendable, sobre todo para relaciones t/D bajas.
12.2. INESTABILIDAD LOCAL
El pandeo de los tramos del cilindro de acero entre los rigidizadores (los cuales se mantienen circulares) se denomina pandeo local. Si el tramo con rigidizadores del revestimiento es muy rígido (impidiendo por tanto el pandeo global), pero el espesor de la chapa cilíndrica es insuficiente, entonces el revestimiento se volverá inestable entre los rigidizadores. En este contexto, el pandeo local no tiene sentido en un revestimiento liso.
Debido a la complejidad del análisis del pandeo local entre rigidizadores, se asume normalmente que el revestimiento entre rigidizadores actúa como un tubo libre sujeto circularmente en sus extremos por los rigidizadores, y se desprecia la coacción radial efectiva proporcionada por el hormigón. Las ecuaciones de pandeo de tubo libre desarrolladas para el
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caso en que los extremos son sujetos circularmente se usan por tanto para analizar el potencial pandeo local.
Este enfoque es un tanto conservador, porque desprecia el efecto de confinamiento del revestimiento exterior de hormigón. Además, las ecuaciones de pandeo de tubos libres anteriormente citadas fueron desarrolladas bajo la hipótesis de apoyos simples en los extremos de la longitud analizada de cilindro (esto es, los extremos del cilindro tienen libertad de giro y se pueden aproximar el uno al otro). La continuidad del cilindro a lo largo de los rigidizadores y la rigidez a la torsión proporcionada por los rigidizadores incrementa la resistencia al pandeo local hasta cierto punto. Sin embargo, no se conoce en la actualidad ningún medio de estimar los efectos del hormigón del trasdós y el empotramiento en los apoyos en la resistencia al pandeo para este modo local de pandeo. Por supuesto, ambos efectos proporcionan una seguridad adicional.
En los tramos entre rigidizadores, el revestimiento se asemeja a un tubo libre, cuya presión de pandeo se ve incrementada porque está sujeta circularmente en sus extremos en la posición de los rigidizadores. En este caso, el pandeo bajo presión exterior ocurrirá según lóbulos múltiples simétricos. Dos de las ecuaciones desarrolladas para resolver este problema son las de Von Mises y Donnell.
El diseño óptimo del revestimiento variará con el tipo de rigidizador, el espesor de la chapa cilíndrica y la separación entre rigidizadores. Mayores separaciones reducen la presión crítica y aumentan el espesor de la chapa.
La presión crítica máxima de pandeo de un cilindro se alcanza cuando el cilindro está perfectamente confinado. Este valor se puede obtener a partir de la formulación de Glock (1977). Así, una aproximación segura para calcular la máxima separación entre rigidizadores es igualar la tensión según Von Mises a la máxima obtenida con la ecuación de Glock.
La relación entre el espesor de chapa y la separación entre rigidizadores debe optimizarse. La solución óptima no es necesariamente la de la máxima separación entre rigidizadores. Una disminución de esta separación reduce el espesor de la chapa cilíndrica, y probablemente los costes.
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12.3. ANÁLISIS DE BLINDAJES Y TUBERÍAS FRENTE A PRESIÓN EXTERIOR. DISCUSIÓN DE LAS FORMULACIONES EXISTENTES
Se ha realizado una comparación y análisis de los métodos existentes para el cálculo de la presión crítica en blindajes.
Existen diversas teorías para el análisis de blindajes, que pueden agruparse del siguiente modo:
Cilindro de pared delgada sin coacción, válida para cálculos de referencia en blindajes y para el análisis de tuberías aéreas.
Euler
Pandeo con lóbulos múltiples: Válido para cilindro sujeto en sus extremos circunferencialmente; cálculo de pandeo local (chapa entre rigidizadores) y cálculo de pandeo global en tuberías aéreas.
Von Mises
Roark
Donnell
Se considera una chapa cilíndrica sometida a presión externa uniforme y que no tiene restringidos sus movimientos radiales. La holgura se considera uniforme en todo el perímetro. Dependiendo de la geometría, las coacciones en los extremos y la magnitud de la presión exterior, la tubería tenderá a pandear simétricamente con dos o más lóbulos. La utilidad de estas teorías es poder definir la presión de pandeo en los tramos de chapa entre rigidizadores.
Pandeo con simetría radial: Se considera la coacción radial. Válido para estimar el pandeo global (liso y con rigidizadores)
Vaughan
Borot
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En este caso se considera el confinamiento radial proporcionado por el revestimiento de hormigón o la roca alrededor del cilindro. Del mismo modo que las teorías de lóbulos múltiples, se considera la formación de dos o más lóbulos simétricos. La holgura se considera uniforme en todo el perímetro.
Pandeo con lóbulo único: Se considera la coacción radial. Válido para estimar el pandeo global de blindajes lisos y con rigidizadores.
Amstutz Jacobsen Montel Glock Boot Thepot Madyras El Sawy
En estas teorías se asume que el cilindro no es probable que se mantenga centrado con una holgura inicial igual en todo el contorno (como se asume en las otras teorías). De forma más aproximada, el cilindro se apoyará contra el material que le rodea en un lado y tendrá el doble del gap radial en el lado contrario. En general se apoyará en la solera. Cuando la presión exterior alcanza un valor crítico, el cilindro pandeará según un lóbulo único.
Las teorías de Jacobsen y de Amstutz que han sido profusamente utilizadas (y en la actualidad lo siguen siendo) tienen las siguientes limitaciones:
Consideran un pandeo plástico (cuando muchas veces es elástico) y en general son poco conservadoras en esta situación.
Sin embargo en el caso de pandeo plástico son excesivamente conservadoras.
Tienen una complejidad analítica que las hace poco útiles.
En el caso de Amstutz tiene limitaciones en el rango de aplicación.
En todas estas formulaciones, los parámetros básicos para el cálculo del blindaje son la relación D/t (esbeltez) y la holgura relativa g/R. Se considera el módulo de elasticidad constante y correspondiente al acero 210 MPa, así como el módulo de Poisson ν=0,3.
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En la figura nº 111 se muestra un gráfico con los valores de la presión crítica de inestabilidad mediante las diversas metodologías seleccionadas, para un blindaje de R=2.000 mm y espesor de 14 mm, para diferentes valores de la relación D/t (Diámetro entre espesor del blindaje) y para una holgura de 3 mm (g/R=.1,5e-3).
Como puede observarse, existen dos límites para esta presión. Por una parte la presión de Euler que supone el límite inferior (cilindro libre y sin coacciones) y un límite superior que es la presión de Glock. (Cilindro coaccionado radialmente).
Es de destacar, como se realiza en algunas publicaciones, la similitud de aspecto de la ecuación de Glock con la de los tubos libres (Euler) y otras formulaciones, pudiendo ser expresadas del siguiente modo:
(31)
Para el caso de un cilindro libre (Euler) c= 2, m= 3.
Para el caso de Glock, cilindro con coacción radial c= 1, m= 2,2
Estos valores son los límites formales de los parámetros, variando por tanto la solución real entre la solución de un cilindro libre y de un cilindro coaccionado (sin holgura). Por este motivo se han utilizado ambas presiones como referencia para los valores y formulaciones obtenidos por otros autores.
Por otra parte, existe una manera sencilla de comparar estas formulaciones, que es determinar el factor “K” que depende del material del blindaje, de la geometría y tamaño de la holgura. Como se ha comentado, es frecuente este tipo de formulación referida a la presión crítica de cilindro libre o referida a un cilindro coaccionado (Glock). En general se define como:
(32) m D c E' t Pcr ideal KPcr Pcr
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La dispersión del valor de K es mayor a medida que aumenta el valor D/t, es decir la esbeltez del blindaje.
0 100 200 300 400 500 600 120 170 220 270 320 370 420 P c r (m c a ) D/t Pcr Sawy Pcr Glock Pcr Boot Pcr Thepot Jacobsen Pcr Montel
Pcr Steel Liner (gap=3mm)
Figura 111. Presión crítica según diversas formulaciones respecto del parámetro D/t. gap=3mm.
Por otra parte, se observa que este valor de K no es constante para diferentes relaciones D/t, es decir, sería más ajustado utilizar una formulación del tipo:
(33)
(34)
De este modo, se puede reproducir la variabilidad de K con D/t.
Para introducir la no linealidad de la relación en algunas de las formulaciones, la expresión debería modificarse del siguiente modo:
ideal 1( )Pcr Pcr t D c ideal KPcr Pcr
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(35)
Como puede observarse, finalmente esta relación es equivalente a la expresada con anterioridad:
(36)
En la figura nº 112 puede observarse el parámetro de comparación “K”, para las diversas formulaciones en función de la Pcr de Euler (c= 2, m= 3). Está realizado para un gap de 3 mm. Puede observarse la no linealidad en algunas de ellas, y su fuerte dependencia del parámetro D/t. 0 10 20 30 40 50 60 70 120 170 220 270 320 370 420 K D/t
El Sawy Glock Boot
Thepot Jacobsen Montel
K (Pcr=KPcr ideal) gap=3mm
Figura 112. Parámetro de comparación K respecto de la Pcr Euler (gap=3mm).
El gráfico de la figura nº 113 está confeccionado par aun gap de 8 mm.
ideal 1( ) Pcr Pcr m t D c m D c E' t Pcr
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pág. 153 0 10 20 30 40 50 60 70 120 170 220 270 320 370 420 K D/t
El Sawy Glock Boot
Thepot Jacobsen Montel
K (Pcr=KPcr ideal) gap= 8mm
Figura 113. Parámetro de comparación K respecto de la Pcr Euler (gap=8mm).
En este sentido se ha realizado un ajuste de las diversas formulaciones a este formato, obteniendo los siguientes valores para los parámetros b y n, para valores del gap de 3mm y 8 mm:
(37)
En la figura nº 114 se muestra la estimación de los parámetros b y n para las diversas formulaciones a partir de los valores obtenidos y expresados como Pcr/E’. Con un gap de 8 mm.
n t D bE' Pcr
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pág. 154 0 100 200 300 400 500 600 100 150 200 250 300 350 400 P c r (m c a ) D/t Pcr Sawy Pcr Glock Pcr Thepot Jacobsen Pcr Montel Pcr Boot
Pcr Steel Liner (gap=8mm)
Figura 114. Estimación fórmulas de Pandeo (gap=8mm).
Se muestra en la figura nº 115 una gráfica para g=0,6 mm comparándola con los resultados obtenidos en un modelo de elementos finitos. Como puede observarse la calibración del modelo de elementos finitos resulta muy cercana a las formulaciones de Jacobsen y Montel.
0 10 20 30 40 50 60 70 120 170 220 270 320 370 420 K D/t
El Sawy Jacobsen Glock
FEM Thepot Montel
K (Pcr=KPcr ideal) gap= 0,6 mm
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pág. 155 GAP 3mmm GAP 8mm g/R 0,00075 g/R 0,002 b n b n Thepot 3,85 -2,51 9,77 -2,74 El Sawy 3,14 -2,46 5,89 -2,63 Boot 1,39 -2,27 2,22 -2,38 Glock 1,00 -2,20 1,00 -2,20 Jacobsen 0,12 -2,03 0,10 -2,07 Montel 0,05 -1,79 0,11 -2,02
Tabla 15. Estimación de los parámetros b y n para la expresión exponencial de la presión crítica según diversas formulaciones.
Se recuerda que la presión crítica de Euler se determina con b= 2, n= -3.
La correspondencia entre estos parámetros b n y los parámetros c m es la siguiente:
De la comparación de las dos figuras anteriores y de la tabla nº 15 con los parámetros obtenidos, puede deducirse que debe tenerse en cuenta la influencia de la holgura inicial o gap en la determinación de la presión crítica; no siendo suficiente con la influencia del parámetro D/t.
En el caso de las teorías de Roark y Glock no se nota dicha influencia, ya que ambas formulaciones no tienen en cuenta el gap. Sin embargo, en las formulaciones de Thepot, El Sawy y Boot sí tiene influencia.
Por lo tanto, no es suficiente con expresar las presiones críticas obtenidas por las diversas formulaciones mediante el parámetro de comparación K, aunque este parámetro dependiera de la relación D/t, pues la fórmula de Euler no tiene en cuenta la influencia de la holgura inicial.
Por éste motivo habría que analizar la dependencia de las fórmulas respecto del parámetro g/D (gap relativo).
b c
n m
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pág. 156 Expresando por sencillez una relación lineal con g/D:
(38)
Se ha comprobado que esta relación lineal no ofrece un resultado satisfactorio, sino que se trata más bien de una relación exponencial del tipo:
(39) D g n n D g b / 1 0 1 0 t D E' ) / (b Pcr 1 ) ( 0 1 t D E' ) ( Pcr n D g n b o D g b
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pág. 157