Ajuste de Distribuciones

Existen numerosos métodos para comparar la bondad de los modelos ajustados a una muestra, de manera de seleccionar el modelo que mejor satisface las propiedades que ella presenta. En este proyecto, fuera de los métodos clásicos, se ha considerado el test propuesto por Filliben (Handbook of Hydrology, 1993, cap 18). Este test tiene la ventaja de ser estadísticamente más poderoso que los usualmente aplicados y a la vez simple de aplicar.

Las consideraciones generales que se deben toman en cuenta para seleccionar la distribución de probabilidades de la serie histórica, se presentan a continuación:

 Cuando en la serie histórica se observan “outliers” es necesario verificar la sensibilidad del ajuste debido a la presencia de éstos.

 Para el ajuste a las distribuciones Log-Normal, Log-Gumbel y Log-Pearson se requiere transformar la variable al campo logarítmico para modelarla, con lo que se disminuye la varianza muestral, pero también se filtran las variaciones reales de los datos.

 Las distribuciones de dos parámetros fijan el valor del coeficiente de asimetría, lo que en algunos casos puede no ser recomendable. La distribución Log – Normal de dos parámetros sólo es recomendable si el coeficiente de asimetría es cercano a cero. Las distribuciones Gumbel y Log – Gumbel son recomendables si el coeficiente de asimetría de los eventos registrados es cercano a 1.13

 Para ajustar distribuciones de tres parámetros (Log Normal III, Log Pearson) se requiere estimar el coeficiente de asimetría de la distribución; para ello es necesario disponer de una serie con longitud de registros larga, mayor de 50 años. Las distribuciones de dos parámetros son usualmente preferidas cuando se dispone de pocos datos, porque reducen la varianza de la muestra.

 Para seleccionar la distribución de probabilidades adecuada se debe tratar de utilizar información adicional del proceso hidrológico que permita identificar la forma en que se distribuye la variable. Usualmente es muy difícil determinar las propiedades físicas de los procesos hidrológicos para identificar el tipo de distribución de probabilidad que es aplicable.

 Se afirma que no existe consistencia sobre cuál es la distribución que mejor se ajusta a los caudales máximos y se recomienda seleccionar el mejor ajuste a criterio del modelador con la prueba de ajuste gráfico o basado en el comportamiento de las pruebas estadísticas de bondad del ajuste (por ejemplo Chi Cuadrado, Smirnov-Kolmogorov, Cramer-Von Mises) en las que se calcula un estimador y se compara con un valor tabulado para determinar si el ajuste es adecuado o no. En la prueba de ajuste gráfica se dibujan los valores registrados en la serie contra la distribución teórica de probabilidades y de manera visual (subjetiva) se determina si el ajuste es adecuado o no. El ajuste a distribuciones se puede hacer con dos técnicas, con el factor de frecuencia como se refirió anteriormente, o hallando la distribución empírica de los datos muéstrales, por el método de Plotting Position.

a) Plotting Position

Trabaja con la probabilidad de excedencia asignada a cada valor de la muestra. Se han propuesto numerosos métodos empíricos. Si n es el total de valores y m es el rango de un valor en una lista ordenada de mayor a menor (m=1 para el valor máximo) la probabilidad de excedencia se puede obtener por medio de la siguiente expresión (relación 2.2, ya vista anteriormente):

(2.4.1)

La relación de Weibull, es la más utilizada. Con las anteriores expresiones se encuentra lo que se conoce como la distribución empírica de una muestra, esta luego se puede ajustar a una de las distribuciones teóricas presentadas anteriormente. Los resultados pueden ser dibujados en el papel de probabilidad; este es diseñado para que los datos se ajusten a una línea recta y se puedan comparar los datos muéstrales con la distribución teórica (línea recta).

b) Pruebas de Ajuste

Para determinar qué tan adecuado es el ajuste de los datos a una distribución de probabilidades se han propuesto una serie de pruebas estadísticas que determinan si es adecuado el ajuste. Estos son análisis estadísticos y como tal se deben entender, es decir, no se puede ignorar el significado físico de los ajustes.

c) Prueba Smirnov Kolmogorov

El estadístico Smirnov Kolmogorov considera la desviación de la función de distribución de probabilidades de la muestra P(x) de la función de probabilidades teórica, escogida Po(x) tal que:

(2.4.2)

La prueba requiere que el valor Dn calculado con la expresión anterior sea menor que el valor tabulado Dn para un nivel de probabilidad requerido.

Esta prueba es fácil de realizar y comprende las siguientes etapas:

 El estadístico Dn es la máxima diferencia entre la función de distribución acumulada de la muestra y la función de distribución acumulada teórica escogida.

 Se fija el nivel de probabilidad , valores de 0.05 y 0.01 son los más usuales.

 El valor crítico D de la prueba debe ser obtenido de tablas en función de  y n.

 Si el valor calculado Dn es mayor que el D, la distribución escogida se debe rechazar.

b

n

a

j

x

F

x

X

ob











)

(

)

(

Pr

d) Prueba Chi Cuadrado

Una medida de las discrepancias entre las frecuencias observadas (fo) y las frecuencias

calculadas (fc) por medio de una distribución teórica está dada por el estadístico χ²

(2.4.3)

En donde: :

Si el estadístico χ²=0 significa que las distribuciones teórica y empírica ajustan exactamente, mientras que si el estadístico χ²>0, ellas difieren. La distribución del estadístico χ² se puede asimilar a una distribución Chi-cuadrado con (k-n-1) grados de libertad, donde k es el número de intervalos y n es el número de los parámetros de la distribución teórica. La función χ² se encuentra tabulada. Supóngase que una hipótesis Ho es aceptar que una distribución empírica se ajusta a una distribución Normal. Si el valor calculado de χ² por la ecuación anterior es mayor que algún valor crítico de χ², con niveles de significancia  de 0.05 y 0.01 (el nivel de confianza es 1-) se puede decir que las frecuencias observadas difieren significativamente de las frecuencias esperadas (o calculadas) y entonces la hipótesis Ho se rechaza, si ocurre lo contrario entonces se acepta.

e) Test de Filliben

Un método alternativo a los dos ya planteados para comparar la bondad de los modelos ajustados a una muestra, es el test propuesto por Filliben (Handbook of Hydrology, 1993, cap 18). Este test tiene la ventaja de ser estadísticamente más poderoso que los usualmente aplicados y a la vez simple de aplicar. Requiere conocer las distribuciones empíricas de cada uno de los valores de la serie que se esté probando. La frecuencia de la muestra se estima siguiendo la distribución propuesta por Weibull.

Una vez conocidas para cada valor de la serie se calcula para cada una de ellas el valor ajustado de la distribución que se desee probar, por ejemplo, la distribución Log Pearson tipo III, la Log Normal y la General de Valores Extremos tipo I o de Gumbel. Estas tres series se comparan con la original (Weibull) a fin de obtener una correlación para cada distribución. A mayor valor del coeficiente de correlación r, mejor es el ajuste de la distribución analizada. El procedimiento se lleva a cabo para toda la serie (exceptuando los valores anómalos u outliers). La decisión que se adopta es elegir para cada serie la distribución que muestre mayor cantidad de coeficientes de correlación más altos para cada mes.

5.3.6.1 Aplicación a Proyecto Niblinto

La siguiente evaluación de la disponibilidad del recurso, se efectúa sobre el total de las aguas producidas en las cuencas definidas por los sitios de emplazamiento de embalses. Esta estimación, no representa ningún factor que influya en el posterior dimensionamiento de los embalses, y es referencial para una potencial gestión futura para solicitud de derechos de aguas.

En los siete puntos propuestos para emplazamiento de embalses, en donde se estimó su producción media mediante transposición de caudales, además se generaron series pseudohistóricas, sobre las cuales se aplicaron dos modelos de distribución de probabilidades, cuales son LogNormal (LN) y Valores Extremos Tipo I (VEI).

Una vez aplicado el test de Filliben, por ejemplo, en el punto de embalse 1, resultó que en ocho meses se ajustó mejor el modelo LogNormal y en cuatro casos mostró un mejor ajuste el modelo VEI.

Tabla 5-9: Disponibilidad de Recursos Sitio 1 (m3/s)

mes

ene

feb

mar

abr may jun

jul

ago

sep

oct

nov

dic

Q (85%) LN

0,53 0,30 0,28 0,49 1,95 5,57 5,78 4,74 4,29 2,98 2,37 1,19

Q(85%) VEI

0,52 0,29 0,27 0,46 1,83 5,37 5,57 4,59 4,16 2,86 2,31 1,15

Q (85%) selec.

0,53 0,29 0,27 0,46 1,95 5,57 5,78 4,59 4,29 2,98 2,37 1,15

Q (95%)

0,29 0,19 0,19 0,22 0,56 2,70 2,78 1,49 2,33 1,36 1,39 0,80

Q 10%Qmanual 0,49 0,49 0,49 0,49 0,49 0,49 0,49 0,49 0,49 0,49 0,49 0,49

Q 20%Qmanual 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97

Q (ecológico)

0,49 0,49 0,49 0,49 0,49 0,49 0,49 0,49 0,49 0,49 0,49 0,49

0,05 0,00 0,00 0,00 1,47 5,09 5,30 4,11 3,81 2,49 1,89 0,67

Fuente: Elaboracion Propia.

En la carpeta Hidrologia-Cap2 Hidrologia de Recursos de Agua, se encuentra la planilla acerca de este proceso, denominada ModelosProbabilisticosM4Niblinto.XLS.

Tabla 5-10: Disponibilidad de Recursos Sitio 2 (m3/s)

Mes Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

Q (85%) LN 0,67 0,38 0,35 0,62 2,47 7,04 7,31 5,99 5,43 3,76 3,00 1,50 Q(85%) VEI 0,65 0,37 0,34 0,58 2,32 6,79 7,04 5,81 5,26 3,62 2,92 1,46 Q (85%) selec. 0,67 0,37 0,34 0,58 2,47 7,04 7,31 5,81 5,43 3,76 3,00 1,46 Q (95%) 0,37 0,23 0,24 1,72 1,76 1,01 Q 10%Qm_anual 0,61 0,61 0,61 0,61 0,61 0,61 0,61 0,61 0,61 0,61 0,61 0,61 Q 20%Qm_anual 1,23 1,23 1,23 1,23 1,23 1,23 1,23 1,23 1,23 1,23 1,23 1,23

Fuente: Elaboracion Propia.

Uno de los métodos para determinar el caudal ecológico, requiere los Q(95%) para los meses entre octubre y marzo, esa es la razón por la que las celdas entre abril y septiembre se encuentran vacías, sólo porque no se requiere es información.

En la carpeta Hidrologia-Cap2 Hidrologia de Recursos de Agua, se encuentra la planilla acerca de este proceso, denominada ModelosProbabilisticosM7Niblinto.XLS.

Tabla 5-11: Disponibilidad de Recursos Sitio 3 (m3/s)

Mes Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

Q (85%) LN 0,69 0,39 0,36 0,64 2,54 7,24 7,51 6,15 5,58 3,87 3,08 1,54 Q(85%) VEI 0,67 0,38 0,35 0,60 2,38 6,98 7,24 5,97 5,41 3,72 3,00 1,50 Q (85%) selec. 0,69 0,38 0,35 0,60 2,54 7,24 7,51 5,97 5,58 3,87 3,08 1,50 Q (95%) 0,38 0,24 0,24 1,76 1,81 1,03 Q 10%Qm_anual 0,63 0,63 0,63 0,63 0,63 0,63 0,63 0,63 0,63 0,63 0,63 0,63 Q 20%Qm_anual 1,26 1,26 1,26 1,26 1,26 1,26 1,26 1,26 1,26 1,26 1,26 1,26

Fuente: Elaboración propia.

En la carpeta Hidrologia-Cap2 Hidrología de Recursos de Agua, se encuentra la planilla acerca de este proceso, denominada ModelosProbabilisticosM5Niblinto.XLS.

En todos los puntos considerados posibles de emplazamiento de muros, se observa un comportamiento hidrológico preferentemente pluvial, donde por lo tanto, existe un manifiesto déficit en los meses de mayores demandas de riego. Un aspecto muy relevante, es que la relación entre el caudal 85% y el caudal medio, es apenas superior a un 50%, lo que quiere decir que pudiendo existir abundantes recursos, para aprovecharlos completamente, debe imponerse algún tipo de regulación.

Tabla 5-12: Relación entre caudal 85% y caudal medio

Muro Área Qma [m3/s] Qm85% [m3/s] r(Qm85%/Qma)

Sitio 1 113,7 4,85 2,52 0,52

Sitio 2 143,7 6,13 3,28 0,53

Sitio 3 147,7 6,30 3,37 0,53

Fuente: Elaboracion Propia.