Algoritmo de selección de subconjuntos de características

4.2.3.1. Representación de la solución

Diseñar una representación adecuada para las soluciones candidatas (i.e.,_subcon-

junto de características) es un paso esencial en el algoritmo genético (GA) (Eibenet al._,

2003). La representación en un GA define una asignación del espacio de las soluciones candidatas, denominado espacio fenotípico, al espacio genotípico, en donde se lleva a cabo la búsqueda de la solución óptima. Para el problema FSSP (ver Subsección 4.1.1), el espacio fenotípico está dado por los posibles subconjuntos que se pueden formar del conjunto de características excluyendo al conjunto vacío. Por lo general, cada subcon- junto en el espacio genotípico se representa como una cadena binaria de longitud fija (Kabiret al._{, 2011; Huang}et al._{, 2007), en donde cada posición toma el valor de uno si}

la característica es parte de la solución y cero en otro caso. La principal desventaja de esta representación es que genera cromosomas extensos, en donde sólo unos pocos bits codifican las características de una solución candidata. Por lo anterior, considera- mos una representación de longitud variable (VLR por sus siglas en inglés deVariable

Length Representation_{) que permite codificar sólo las características relacionadas con}

la solución candidata y en consecuencia, podemos obtener una representación más compacta.

Representación. Un cromosoma g _{es un subconjunto de números enteros que}

codifica el índice de cada característica seleccionada. Entonces un genotipo dado,

g = _{g₁, g₂, . . . , g_{k}, donde} g_{ ∈ {1}, . . . , m_{} y} k _≤m_{, representa el subconjunto} X_g =

{Xg₁, Xg₂, Xg₃, . . . , Xgk}. A continuación, mostramos un ejemplo de un individuo y su

Cromosoma Solución candidata

g=_{1,₃,_{5} →} Xg={X₁, X₃, X₅}

4.2.3.2. Función de aptitud

La calidad de un subconjunto X_{g se mide de forma indirecta a través del desem-}

peño de un modelo de clasificación. El clasificador es inducido por un algoritmo de aprendizaje de máquina, el cual es entrenado utilizando el conjunto de datos con sólo las características codificadas enX_g.

Función de aptitud. Dado un subconjunto X_{g representado por un cromosoma}g_,

la aptitud deg _{se define como,}

ƒ(X_g) =J(_D(X_g)) +λ| X_g| m , ₍₂₁₎ donde, J(D(Xg)) = 1 k k X =₁ |MCC(I(D(Xg)−D(Xg),D(Xg)))|.

Aquí,J(_D(X_g)) _{es el coeficiente de correlación de Matthew (}MCC_{) estimado por la vali-}

dación cruzada dek _{pliegues sobre el conjunto de datosD}(X_g)_{. D}(X_g)_{es la reducción}

del conjunto de entrada a nivel de características, en donde se eliminan deD _{las ca-}

racterísticas que no se encuentran en X_{g. Además, |}._{| es el valor absoluto de} MCC_

obtenido por el clasificador inducido I _{para del conjunto de validación} D(Xg). Es im-

portante notar que el conjunto de datos D(X_g) _{se divide en} k _{partes mutuamente}

excluyentes de igual tamaño, en donde se utilizan k_{−1 particiones para entrenar I,}

es decir,D(X_g)_−D(X_g)_{. El segundo término en la Ecuación 21 es un criterio de des-}

empate que beneficia a las soluciones más simples, esto es, subconjuntos de menor cardinalidad. Aquí,λ _{es un valor en el intervalo}[₁₀−2,₁₀−4_{] y}m_{es la cardinalidad del}

Figura 12.Ejemplo del espacio genotípico para un conjunto de cuatro características. La imagen muestra como el espacio se divide en subespacios de acuerdo con el tamaño de los subconjuntos.i.e.,_conjuntos

con cardinalidad uno, dos, tres y cuatro, respectivamente. Además, se muestran las cotas (L_{ y}U_{) para}

la inicialización de los individuos.

4.2.3.3. Principales pasos de SAGAFS

Inicialización de la población. La población inicial deNpopindividuos,P(t)cont=

1, es generada al azar. Para cada cromosoma,g_∈P(t)_{, se seleccionan al azar}k _valores

enteros de losm _{disponibles. Es importante señalar que} k _{está restringido por la cota}

inferiorL_{y la cota superior}U_{. Estos límites se emplean para restringir el tamaño de los}

individuos iniciales, lo que nos permite delimitar los subespacios a visitar inicialmente. Por ejemplo, en la Figura 12 se muestra el espacio genotípico para un conjunto de entrada de cuatro características, en donde sólo para generar la población inicial se pueden tomar individuos de los subespacios en donde se encuentran individuos de cardinalidad uno y dos, respectivamente.

Posterior a la generación de los individuos, el valor de aptitud de cada g _en P(t)_es

calculado de acuerdo con la función de aptitud descrita en la Ecuación 21.

Selección de los padres y recombinación. De la población actual P(t)_{, se se-}

leccionanμ _{individuos utilizando el torneo binario con reemplazo (Eiben} et al._{, 2003).}

Después, reordenamosM(t)_{de forma aleatoria.}

Por cada par consecutivo de padres, i.e._, g_{ y} g_{+1 en} M(t) _para _≤μ_{−1 (donde} μ

es el número de padres), se generan los hijos o_{ y}o_{+1, y se añaden al conjunto}O(t)_.

Para generarlos, primero se produce un número aleatorior_{ distribuido uniformemente}

en el intervalo (0,1). Enseguida, dador_{ y la probabilidad de cruzamiento}p_{c, se aplica}

una de las siguientes dos operaciones:

Si r_{ ≤} p_{c entonces se aplica la recombinación entre los padres} g_{ y} g_{+1 usan-}

do el operador de cruzamiento subset size-oriented common feature crossover

operator _{(SSOCF) (Emmanouilidis}et al._{, 2000).}

En otro caso, se copia el cromosoma del padre g_{ al hijo} o_{ y el del padre} g_{+1 al}

hijo o₊₁.

El operador de cruzamiento SSOCF originalmente fue propuesto para representa- ciones de longitud fija (Emmanouilidiset al._{, 2000). Sin embargo, en SAGAFS lo hemos}

adaptado para individuos de longitud variable. El SSOCF tiene la ventaja de preservar las características comunes entre los padres en su descendencia.

Mutación. Para cada hijo en el conjunto de hijos, denotado como O(t)_{, se aplica}

el operador de mutaciónk_{-indel con una probabilidad}p_{m. Convencionalmente,} p_{m es}

un valor definido por el usuario y es estático, esto es pm no cambia durante la eje-

cución del algoritmo genético. Sin embargo, en SAGAFSp_{m se estima dinámicamente}

mediante la mutación adaptable propuesta por (Smullenet al._{, 2014). Este método se}

utiliza para aumentar p_{m cuando la población actual} P(t) _{está por encima de un um-}

bral de similitud (i.e._{, la población tiene baja diversidad), de lo contrario}pmse reduce.

En particular, el valor de similitud de una población está dado pors(P(t)) = s

Npop, donde s_{es el número de individuos idénticos en} P(t)_{. La probabilidad de mutación adaptable} p_{m se calcula de la siguiente manera:}

donde sgn(s) =            −1 si s < θ 0 si s=θ 1 si s > θ

aquí, θ _{es el umbral de similitud y es un hiperparámetro del algoritmo SAGAFS. Por}

otro lado,p_{0, es la probabilidad inicial de mutación y}σ _{es el tamaño de cada paso.}

Por otra parte, diseñamos el operador de mutación k_{-inserciones/deleciones (}k_-

indels) con el objetivo de variar el tamaño de un hijo en particular. El operador de mutación k_{-indels selecciona aleatoriamente un entero} k _{en el intervalo de} [₁, m]_.

Después, cada número entero seleccionado se inserta o se elimina del hijo, esto de- pendiendo si el número entero está o no en el cromosoma. Para ilustrar este operador, presentamos el siguiente ejemplo:

o=_{2,₃,₈,_{10} →} o=_{3,₆,₈,₉,_{10} donde} k_∈{2,₆,_9}.

En este ejemplo la característica número 2 se borra mientras que las características número 6 y 9 se añaden.

Después que los hijos enO(t)_{han sido mutados con una probabilidad}p_{m, la función}

de aptitud descrita en la Ecuación 21 es calculada a cada hijo.

Selección de los sobrevivientes. Se aplicó el método de selección por elitismo (Eibenet al._{, 2003) para seleccionar a los individuos que pasarán a la siguiente gene-}

ración (i.e., t+_{1). Este método consiste en primero unir los} N_{pop individuos en} P(t)_y μ _{individuos en}O(t)_{, después se ordenan de manera descendente con respecto a sus}

valores de aptitud. Por último, se selecciona a losN_{pop individuos como aquellos que}

pasarán a formar parte de la siguiente generaciónP(t+₁)_.

Condición de parada de SAGAFS. El algoritmo SAGAFS puede detenerse de acuerdo con dos condiciones: la primera, es que el número de generaciones t _sea

mayor al número máximo de generaciones n_{g; la segunda, es que la mejor aptitud}

se repita de manera consecutiva el mismo número de generaciones sin mejora ng.

ción de SAGAFS cuando el algoritmo se encuentra estancado o la solución óptima es encontrada.

En resumen, el algoritmo SAGAFS entrega como salida tanto el mejor subconjunto de característicasX_{opt y su valor de aptitud} ƒ(X_opt)_.