Como ya conocemos, el algoritmo de Euclides es un proceso para calcular un mcd de dos números enteros; vamos a desarrollarlo para un DE. Dados a, b ∈ D, si a = 0, entonces mcd{a, b} = b, igual ocurre si suponemos que b = 0. Supongamos que a 6= 0 y b 6= 0, entonces existen q1, r1 ∈ D verificando:
a= bq1+ r1, con r1= 0 ó δ(r1) < d(b) si r16= 0.
SEC. 13. DOMINIOS EUCLÍDEOS 147 Si r1 = 0, entonces a | b y tenemos que mcd{a, b} = b. En caso contrario tenemos: mcd{a, b} = mcd{b, r1= r − sq1}. Entonces existen q2, r2∈ D verificando:
b= r1q2+ r2, con r2= 0 ó δ(r2) < δ(r1) si r26= 0.
Reiterando el proceso, en el caso en que todos los rnson no nulos, obtenemos las siguientes sucesio- nes: r0= b. a= r0q1+ r1, δ(r1) < δ(r0). r0= r1q2+ r2, δ(r2) < δ(r1). . . . rn−2= rn−1qn+ rn, δ(rn) < δ(rn−1). rn−1= rnqn+1+ rn+1,δ(rn+1) < δ(rn). . . .
y tenemos una sucesión estrictamente descendente de números naturales,
δ(r0) > δ(r1) > . . . > δ(rn) > . . .
esta sucesión debe ser finita, luego necesariamente algún ri = 0. Supongamos que rn+1= 0, entonces tenemos la cadena de igualdades
mcd{a, b} = mcd{r0, r1} = . . . = mcd{rn−2, rn−1} = mcd{rn−1, rn} = rn,
y rn es el mcd de a y b.
También es posible ahora calcular el mcd como una combinación lineal de a y b; tenemos
r1 = au1+ bv1, con u1= 1, v1= −q1. Supongamos que para 1≤ j ≤ i tenemos
rj= auj+ bvj, entonces haciendo un pequeño cálculo tenemos
ri+1= ri−1− riqi+1= (aui−1+ bvi−1) − (aui+ bvi)qi+1= a(ui−1− uiqi+1) + b(vi−1− viqi+1),
y se verifican las igualdades:
ui+1= ui−1− uiqi+1, y
vi+1= vi−1− viqi+1.
Veamos ahora algunas aplicaciones del algoritmo de Euclides. Supongamos que D es un DE.
(1) Cálculo de inverso módulo un elemento. Supongamos que a, b ∈ D son elementos tales que mcd{a, b} = 1, entonces existen u, v ∈ D tales que 1 = ua + v b, y tenemos ua ≡ 1 (mod b), luego u es el inverso de a módulo b.
148 CAP. III. ANILLOS CONMUTATIVOS (2) Resolución de ecuaciones lineales en un DE. Sean a, b, t ∈ D, vamos a estudiar las raíces de
la ecuación
aX + bY = t.
Llamamos d a un mcd de a y b. En el caso en que d- t, tenemos que la ecuación
aX+ bY = t
no tiene solución en D, ya que en caso de existir una solución x, y∈ D, se verifica ax + b y = t, luego d| t. Supongamos por tanto que d | t, entonces existe t0 ∈ D tal que t = d t0; por el algoritmo de Euclides, existen u, v∈ D tales que d = ua + v b, y las soluciones a la ecuación son de la forma:
X = ut0− k(b/d), Y = vt0+ k(a/d),
con k∈ D.
(3) Algoritmo chino del resto. Supongamos que tenemos solamente dos congruencias. Para ele- mentos a, b, n, m∈ D con m y n primos relativos, (n, m) = 1, el problema consiste en encontrar
x ∈ D tal que x ≡ a (mod m) y x ≡ b (mod n). El método para encontrar x lo dividimos en tres pasos:
(I) Hallarα ∈ D tal que αm ≡ 1 (mod n). (II) Hallarβ ∈ D tal que β ≡ (b − a)α (mod n). (III) Tomamos entonces como solución x= a + βm; es claro que x es solución ya que
x− a = β m ≡ 0 (mod m).
x− b = a + β m − b ≡ a + (b − a)αm − b ≡ 0 (mod n).
También son soluciones todos los elementos de la forma a+ βm + knm, para k ∈ D. En el caso en que haya más de dos congruencias,
x ≡ ai(mod mi), i = 1, . . . , n,
con los mi primos relativos dos a dos, para encontrar una solución procedemos como sigue: (I) Definimos
Mk= 1Qk−1 si k= 1
i=1 mi si k> 1
para k= 1, . . . , n. Tenemos que Mi y mi son primos relativos para i = 1, . . . , n.
(II) Hallamosαk∈ D tal que αkMk≡ 1 (mod mk).
(III) Hallamosβk ∈ D tal que βk ≡ (ak− bk−1)αk (mod mk), donde b1 ≡ a1 (mod m1) y bk =
bk−1+ βkMk.
(IV) Finalmente tomamos como solución x = bn.
Al igual que en el caso de dos congruencias, también son soluciones todos los elementos de la forma
bn+ km1· · · mn para k∈ D.
SEC. 13. DOMINIOS EUCLÍDEOS 149
Ejercicios
Dominios euclídeos
Ejercicio. 13.42.
Demuestra que en un DI se verifican las siguientes condiciones: (1) a| b si, y sólo si, (b) ⊆ (a). Para todos a, b ∈ D.
(2) a es un factor propio de b si, y sólo si,(b) ( (a). Para todos a, b ∈ D. (3) a∼ b si, y sólo si, (a) = (b). Para todos a, b ∈ D.
(4) u∈ U (A) si, y sólo si, (u) = A. Para u ∈ D. (5) a= 0 si, y sólo si, (a) = 0. Para a ∈ D.
Ref.: 1103e_071 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.43.
Sea D un DI, y p, q∈ D dos elementos irreducibles, si p|q, demuestra que p ∼ q.
Ref.: 1103e_072 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.44.
En el anillo Z[p−5] definimos una aplicación N : Z[p−5]∗−→ N mediante N (a+bp−5) = a2+5b2. (1) Demuestra que N(x y) = N(x)N(y), para cada x, y ∈ Z[p−5]∗.
(2) Demuestra que u es invertible si, y sólo si, N(u) = 1. (3) Demuestra que si x∼ y, entonces N (x) = N ( y).
(4) Demuestra que si a es un factor propio de b, entonces N(a) es un factor propio de N(b). (5) Demuestra que 2, 3, 1+p−5 y 1 −p−5 son elementos irreducibles.
(6) Demuestra que 2, 3, 1+p−5 y 1 −p−5 no son primos.
(7) Demuestra que un mcd de 2 y 1+p−5 es 1, y que no existe el mcm. (8) Demuestra que no existe el mcd de los elementos 2(1 +p−5) y 6. (9) Demostrar que el ideal b= (2, 1 +p−5) no es principal.
(10) Demostrar que b2 = (2).
Ref.: 1103e_073 SOLUCIÓN.
150 CAP. III. ANILLOS CONMUTATIVOS El Lema (13.8.) nos asegura que si en un dominio D dos elementos no nulos a y b tiene un mcm, también tienen un mcd. El resultado recíproco no es siempre cierto como el siguiente ejemplo prueba. En el anillo Z[p−5] los elementos 1 +p−5, 1 −p−5, 2 y 3 son irreducibles, y por tanto el mcd de cada par es igual a 1. Todos ellos tienen un múltiplo común, ya que verifican(1+p−5)(1 −p−5) = 6= 2 × 3.
Si consideramos el elemento x = 2(1 +p−5), resulta que es un múltiplo común de 2 y 1 +p−5, y no tiene divisores propios distintos de éstos y sus asociados, por lo que es un candidato a ser el mcm. Sin embargo no divide al múltiplo común 6. En consecuencia, no existe el mcm de 2 y 1+p−5. El siguiente ejercicio nos asegura la existencia de mcm cuando existe el mcd de cada par de elemen- tos.
Ejercicio. 13.45.
Sea D un DI, si todo par de elementos de D tiene un mcd, entonces todo par de elementos de D tiene un mcm.
Ref.: 1103e_020 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.46.
Estudia los siguientes enunciados:
(1) El anillo Z[p5] tiene un número infinito de elementos invertibles. (2) Determina a∈ Z para que 1 −p5 y a+p5 sean asociados.
Ref.: 1103e_065 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.47.
Estudia los siguientes enunciados:
(1) Demuestra que el anillo Z[p10] no es un DFU. (2) Demuestra que el anillo Z[p5] no es un DFU.
Ref.: 1103e_074 SOLUCIÓN.
SEC. 13. DOMINIOS EUCLÍDEOS 151
Ejercicio. 13.48.
Estudia los siguientes enunciados:
(1) Determina los elementos invertibles de los anillos, Z[i] y Z[p−3].
(2) Demuestra que si d∈ Z es libre de cuadrados y verifica d < −1, entonces el anillo Z[pd] tiene
únicamente dos elementos invertibles,±1.
(3) Demuestra que los elementos±(1 +p2)n∈ Z[p2] son invertibles, y que por lo tanto este anillo
tiene infinitos elementos invertibles.
Ref.: 1103e_075 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.49.
Demuestra que en un DFU para cada dos elementos a y b se verifica:
a b∼ (a, b)[a, b].
Ref.: 1103e_076 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.50.
Sea D un DFU, si d| x y (d, x) = 1, prueba que d | y.
Ref.: 1103e_021 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.51.
Sea D un DFU y a, b∈ D elementos no nulos. Si d = mcd{a, b} y se tienen las factorizaciones a = da0,
b= d b0. Prueba que mcd{a0, b0} = 1.
Ref.: 1103e_022 SOLUCIÓN.
152 CAP. III. ANILLOS CONMUTATIVOS
Ejercicio. 13.52.
En la demostración del Teorema (13.34.) hemos utilizado que todo DIP verifica las dos condiciones siguientes:
(I) Todo elemento irreducible es primo. (Condición de primo).
(II) Toda cadena ascendente de ideales principales es estacionaria. (Condición de cadena de divi- sores).
Probar los siguientes resultados:
(1) Un DI es un DFU si, y sólo si, verifica la condición de primo y la condición de cadena de divisores. (2) Si un DI verifica la condición de cadena de divisores (CCD), entonces cada elemento no nulo que no es invertible tiene una factorización en elementos irreducibles. (Notar que esta factorización no ha de ser necesariamente esencialmente única).
(3) El anillo Z[p−5] verifica la condición de cadena de divisores.
Ref.: 1103e_077 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.53.
Sea D un DI, demuestra que son equivalentes las siguientes condiciones: (a) D es un DIP.
(b) D es un DFU, y cada ideal de la forma(a, b) es principal.
Ref.: 1103e_078 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.54.
Sea D un DIP, demuestra las siguientes propiedades:
(1) Cada ideal propio de D es igual al producto de un número finito de ideales maximales, los cuales están determinados de forma única salvo en el orden.
(2) Un ideal propio a de D se llama primario si para cualesquiera elementos a, b∈ D se verifica:
a b∈ a y a /∈ a implica bn∈ a para algún entero positivo n.
Demuestra que un ideal a de D es primario si, y sólo si, existe p ∈ D primo y n ∈ N∗ tal que a= (pn).
SEC. 13. DOMINIOS EUCLÍDEOS 153
(3) Sean ai, 1≤ i ≤ r, ideales primarios de D tales que ai = (p ei
i ) para cada i y además pi pj si
i6= j. Demuestra que entonces se tiene a1· · · ar= a1∩ . . . ∩ ar.
(4) Demuestra que todo ideal a de D se puede escribir, de forma única salvo en el orden, como una intersección de un número finito de ideales primarios
Ref.: 1103e_079 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.55.
Demuestra que el subanillo de Q formado por todas las fracciones que se pueden escribir en la forma
n
m con m impar es un DIP.
Ref.: 1103e_080 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.56.
Estudia los siguientes enunciados:
(1) Da un ejemplo de un DFU y de un ideal primo no nulo en él que no sea maximal. (2) Demuestra que si D es un DIP, entonces todo ideal primo no nulo es maximal.
Ref.: 1103e_081 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.57. (Nivel avanzado)
Un entero a se llama un residuo cuadrático módulo el primo p si la congruencia x2 ≡ a (mod p) tiene solución. Definimos el símbolo de Legendreapmediante:
a p = 0 si a≡ 0 (mod p).
1 si a6≡ 0 (mod p) y a es un residuo cuadrático módulo p. −1 si a 6≡ 0 (mod p) y a no es un residuo cuadrático módulo p. Es de destacar queap = 1 si, y sólo si, a + pZ es un cuadrado en el anillo Zp.
(1) Demuestra que para cada par de números enteros a y b se verifica: a p b p = a b p .
154 CAP. III. ANILLOS CONMUTATIVOS
(2) Demuestra que si p6= 2, entoncesap = 1 si, y sólo si, a p−1
2 ≡ 1 (mod p).
Ref.: 1103e_082 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.58. (Nivel avanzado)
Sea p un entero primo positivo de la forma 4n+1 y sea q un entero primo positivo tal quepq = −1. Demuestra que Z[ppq] no es un DFU.
Ref.: 1103e_083 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.59.
Resuelve los siguientes enunciados:
(1) Estudia si es un DFU el anillo Z[p−3]. (2) Estudia si es un DE el anillo D= § a+ bz | a, b ∈ Z, z = 1 2(−1 + p −3) ª . (3) ¿Es 43 un número primo en estos anillos?
Ref.: 1103e_084 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.60.
Demuestra que Z[p−2] es un DE.
Ref.: 1103e_085 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.61.
Estudia los siguientes enunciados:
SEC. 13. DOMINIOS EUCLÍDEOS 155
(1) Haz la división de 7+ 2i y 3 − 4i en el anillo de los enteros de Gauss. (2) Halla el mcd y el mcm de 11+ 7i y 3 + 7i en Z[i].
(3) Halla el mcd y el mcm de 8+ 6i y 5 − 15i en Z[i]. (4) Halla el mcd y el mcm de 16+ 7i y 10 − 5i en Z[i].
Ref.: 1103e_086 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.62.
Demuestra que 1− 2i es primo en Z[i].
Ref.: 1103e_087 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.63.
Sea D un DE, demuestra que las únicas soluciones de la ecuación aX+ bY = t son las siguientes:
x = ut0− k(b/d), y = vt0+ k(a/d),
donde d = mcd{a, b}, t = d t0 y k varía en D.
Ref.: 1103e_088 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.64.
Calcula todas la soluciones en Z de las siguientes ecuaciones: (1) 35X − 44Y = 18.
(2) 84X + 54Y = −24.
Calcula todas la soluciones en Z[i] de las siguientes ecuaciones: (3) (11 + 7i)X + (3 + 7i)Y = 4.
(4) (8 + 6i)X + (5 − 15i)Y = −100.
Ref.: 1103e_089 SOLUCIÓN.
156 CAP. III. ANILLOS CONMUTATIVOS
Ejercicio. 13.65.
El número de páginas de un libro es mayor que 400 y menor que 500. Si se cuentan de 2 en 2 sobra 1. Si se cuentan de 3 en 3 sobran 2. Si se cuentan de 5 en 5 sobran 4. Si se cuentan de 7 en 7 sobran 6. ¿Cuantas páginas tiene el libro?
Ref.: 1103e_090 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.66.
Resuelve en Z[i] el siguiente sistema de congruencias. x≡ i (mod 3) x≡ 2 (mod 2 + i) x≡ 1 + i (mod 3 + 2i) x≡ 3 + 2i (mod 4 + i)
Ref.: 1103e_091 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.67.
Resuelve en Z el siguiente sistema de congruencias. x≡ 1 (mod 2) x≡ 2 (mod 3) x≡ 2 (mod 5) x≡ 10 (mod 49)
Ref.: 1103e_092 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.68.
Resuelve en Z el siguiente sistema de congruencias. x≡ 1 (mod 5) x≡ 3 (mod 9) x≡ 5 (mod 11) x≡ 2 (mod 14)
SEC. 13. DOMINIOS EUCLÍDEOS 157
Ref.: 1103e_093 SOLUCIÓN.
Ejercicio. 13.69.
¿Qué es incorrecto en la siguiente demostración de que en un DI todo elemento irreducible es primo? Si p∈ D irreducible, y a, b ∈ D tales que p | ab y p - a, p - b, entonces, ya que (p, a) = 1 = (p, b), aplicando el apartado (5) de la Proposición (13.4.), tenemos (p, ab) = 1, y por tanto p - ab, lo que es una contradicción.
Ref.: 1103e_094 SOLUCIÓN.