Algunas consideraciones sobre límite y derivada

El concepto de límite es uno de los más complejos de las matemáticas que se enseñan en los cursos de las carreras universitarias. Son de esperarse los tropiezos de los estudiantes, dada las complicaciones que Newton y Leibniz no lograron sobrepasar, como lo muestra Neira (1998). Uno y otro procedían intuitivamente, del mismo modo habría que proceder inicialmente en los cursos de cálculo, en lo que se emplean expresiones como “tendera”, “acercarse”, y otras por el estilo que deberían desaparecer progresivamente del lenguaje del estudiante cuando este haya madurado bien el manejo del proceso.

Históricamente, el retiro de tales expresiones ha sido forzado por la mejor comprensión del proceso. Cauchy respecto de Newton, por ejemplo, o Weierstrass respecto de Newton y Cauchy; ciertamente el curso de cálculo no es un curso de historia, pero el profesor que conoce el concepto genéticamente está más preparado para el desarrollo de sus estudiantes en dicho aprendizaje, que el profesor que basa su enseñanza en el conocimiento refinado del cálculo y reduce su enseñanza al esquema: definición, teorema, demostración.

Transcribo a continuación algunos de los problemas del cálculo diferencial tratados por Newton, tomados de sus manuscritos originales de Methods of Series and Fluxions tal como aparece en Neira (1998) en el que procede mediante problemas que clasifica en dos fundamentales, que actualmente equivalen a hallar la derivada y hallar la primitiva de una función dada.

Considero el tiempo como fluyendo o creciendo mediante flujo continua y a otras cantidades como creciendo continuamente con el tiempo y de acuerdo con la fluxión del tiempo, llamo fluxiones a las velocidades con las cuales se incrementan todas las otras cantidades. También de acuerdo con los momentos de tiempo doy el nombre de momentos a las partes de cualesquiera otras cantidades generadas en momentos de tiempo…

En síntesis, las fluentes o cantidades fluentes son cantidades que varían con respecto al tiempo, dicho de otra manera, a las cantidades que fluyen se les llama fluentes por oposición a las cantidades constantes. Llama fluxión a la velocidad de cambio con respecto al tiempo de las cantidades fluentes. La forma en que las fluentes varían con el tiempo es arbitraria, Newton usualmente hace la hipótesis de que una de las variables, por ejemplo x se mueve uniformemente, es decir, que ẋ = 1 y lo que es importante no son las fluxiones en sí, sino sus razones.

Por otro lado, según Neira (1998) tres ideas fundamentales guiaron a Leibniz en su creación del cálculo diferencial; la primera era una idea filosófica, trataba de la construcción de una “Characteristica generalis”, es decir, un lenguaje simbólico mediante el cual se pudieran escribir todos los procesos de argumentación y razonamiento, idea que explica su gran interés por las cuestiones de simbolismo y notación en matemáticas. La segunda idea a pesar de lo imprecisa que era hacia 1673, sugería ya un cálculo infinitesimal de sumas y diferencias de ordenadas mediante el cual podían ser determinadas cuadraturas y tangentes y en el que estas determinaciones aparecían como procesos inversos. La tercera idea principal fue la relativa al uso del “triángulo característico” en las trasformaciones de cuadraturas.

Resumiendo los principales conceptos en la obra de Leibniz: la diferencial de una variable 𝑦 es la diferencia infinitamente pequeña entre dos valores sucesivos de 𝑦; 𝑑𝑦 es la diferencia

infinitamente pequeña entre dos ordenadas sucesivas, mientas que 𝑑𝑥 es la diferencia infinitamente pequeña entre dos abscisas 𝑥 sucesivas, que en este caso es igual a la distancia infinitamente pequeña entre dos 𝑦 sucesivas.

Cuando Leibniz presento su cálculo recibió muchas objeciones acerca esa noción de cantidades infinitamente pequeñas por lo cual decide cambiar el concepto de diferencial y en su primera publicación del cálculo “Un nuevo método para hallas máximos y mínimos, así como tangentes”

introduce un segmento finito llamado 𝑑𝑥.

En cuanto al significado de los infinitesimales (una cantidad que no es 0, pero es que más pequeña que todo número real positivo) para Leibniz, el reconoció que la existencia o no existencia de estos no es obstáculo para abreviar y hablar universalmente, los llamo “ficciones útiles” y era un poco precavido acerca de la existencia real de ellos. En cuanto a Newton, afirma “por ultima razón de cantidades evanescentes (es decir, las que se aproximan a 0) se debe entender la razón de las cantidades, no antes ni después que ellas de desvanecen, sino con la cual ellas se desvanecen; utiliza los indivisibles o infinitesimales como un simple simbolismo o sistema conveniente para sus pruebas matemáticas.

Desde la invención paralela de las derivadas y las integrales por Newton y por Leibniz (sin precisar los aportes de Barrow), ya comenzaron dos enfoques muy diferentes del Cálculo infinitesimal, el enfoque de Newton y el de Leibniz. Desde la perspectiva actual, el enfoque de Newton parece más “analítico”, en el sentido de incluir los cambios en los valores de las variables como dependientes del tiempo, con la notación del punto sobre la x como símbolo de la fluxión de un fluyente en el tiempo (hoy diríamos “de los flujos como funciones del tiempo”, pero “función” es una terminología posterior). En cambio, el enfoque de Leibniz parece ser más geométrico, pues se preocupa por calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a las gráficas y las áreas bajo las gráficas.

2.2.7.1 Configuraciones Epistémicas Sobre Derivada.

La noción de configuración epistémica (CE) permite encontrar un análisis más detallado y completo sobre los significados parciales de la derivada. Para determinar este significado de la derivada, Pino-Fan, Godino y Font (2013) hicieron una revisión histórico-documental desde la matemática griega hasta el siglo XX, en la cual identificaron nueve configuraciones epistémicas asociadas a los distintos problemas; un resumen de las cuales se presenta a continuación:

1. Trazado de tangentes en la matemática griega:

Los autores describen la proposición XVII que Euclides enuncia en su libro III de su obra Elementos de Geometría, en el cual se plantea trazar una línea tangente a una curva específica, en cuyo caso es un círculo. Plantean que las situaciones-problema que se presentan en esta primera configuración, son aquellas en las que se debe trazar una recta tangente a una curva específica en un punto determinado.

Los griegos tenían la idea de que la tangente a una curva era una recta que “tocaba” a la curva sin cortarla, el método de resolución dado en esa época remontada a los años 1500 y

1700 era encontrar una circunferencia tangente en un punto C a una curva dada. Lo cual se logra igualando circunferencia y curva y obligando a que sólo se corten en un punto, ya que la recta tangente a una circunferencia es perpendicular a su radio.

2. Problemas sobre variación en la edad media:

Se caracteriza por la inclusión del infinito en los razonamientos matemáticos, el estudio del movimiento no sólo uniforme (y de la variación en general), el empleo de los infinitesimales. Puede ubicarse esta etapa en Europa en un periodo importante lo constituyen los siglos XIV, XV y XVI. En general los lenguajes y procedimientos característicos de esta configuración se consideran descriptivos, geométricos o una combinación de ambos. Finalmente, la configuración se considera más extensiva que intensiva, puesto que aún no se contaba con métodos generales para resolver problemas sobre variación y movimiento.

3. Cálculo de sub tangentes y tangentes con el álgebra:

De estaforma se define la derivada como la pendiente de una recta tangente a una gráfica de una función en punto, los tipos de situaciones- problema que se abordan son el trazar rectas normales, tangentes o subtangentes a una curva dada en un punto determinado. El lenguaje cambia del netamente geométrico-descriptivo al de ecuaciones algebraicas y de la geometría analítica; de esta forma, el lenguaje usado en esta configuración es el característico de los procedimientos algebraicos y de la geometría analítica. Los argumentos en esta configuración van a ser algebraicos y geométricos. Se concluye que, en general, las propiedades-proposiciones característicos de esta configuración son aquellas provenientes del algebra y del estudio de las curvas mediante la geometría analítica. Finalmente se enmarca que los desarrollos realizados en esta configuración muestran intentos para encontrar métodos cada vez más generales, para abordar los problemas sobre trazado de tangentes.

4. Trazado de tangentes mediante consideraciones cinemáticas:

Fue una propuesta elaborada por Fermat, para determinar la tangente a una curva plana, usando consideraciones de tipo cinemático, que le permitieron determinar la dirección instantánea del movimiento del punto mediante el cual se genera la curva. Se alude a las demostraciones de Galileo, quien establece la ley fundamental de la composición vectorial del movimiento y la aplica para determinar la trayectoria descrita por un proyectil, basado en las ideas de que el espacio recorrido por un móvil es igual al área bajo la gráfica de su velocidad en función del tiempo. En las situaciones-problema de esta configuración se abordan problemas relacionados con el trazado de las tangentes a distintas curvas, y los lenguajes y procedimiento son del algebra y de la geométrica analítica. La lectura final que se le da a la configuración es que para el trazado de las tangentes son extensivos en cuanto a que no son generalizables en todos los casos.

Fue uno de los grandes aportes de Fermat el cual lo aplicó a parábolas e hipérbolas y consiste en considerar en una cumbre o en un valle de la curva, cuando ε es pequeño, los valores de la función 𝑓(𝑥) y 𝑓(𝑥 + 𝜀) tan próximos que se pueden tomar como iguales. El método consiste en hacer 𝑓(𝑥 + 𝜀) = 𝑓(𝑥), dividirlo por ε y tomar ε=0.

El lenguaje utilizado por Fermat en la solución del problema es algebraico, gráfico y descriptivo. En esta configuración se caracteriza el uso de magnitudes infinitamente pequeñas, es decir, los infinitesimales, lo cual representa el punto de partida para los mismos. Finalmente, se destaca la aparición de conceptos como el límite y la derivada; y, al desarrollarse métodos generales para la determinación de máximos y mínimos esta configuración tiene características más intensivas que las anteriores.

6. Cálculo de tangentes y subtangentes mediante métodos infinitesimales:

Desarrollado por Fermat nuevamente dice que la tangente será conocida si, dado el punto de tangencia, puede determinarse el punto de intersección de la tangente con el eje de una parábola. Y para determinar dicho punto de tangencia bastaba con encontrar la proyección sobre el eje o también llamado subtangente. Algunos de los principales conceptos- definiciones que se manejan en esta configuración son: a) la concepción de Barrow sobre la tangente; b) la noción intuitiva de límite; c) la noción intuitiva de la derivada. Refiriéndose a los argumentos en esta configuración, resaltan los algebraicos, geométricos y consideraciones infinitesimales; del mismo modo el lenguaje utilizado es de tipo geométrico, algebraico y descriptivo.

7. Cálculo de fluxiones:

Newton aporta con sus estudios, la noción de fluxiones en curvas cinemáticas que describen comportamientos en función del tiempo, El procedimiento más importante de esta configuración es el método de las fluxiones de Newton, apoyada en el álgebra y el análisis geométrico. En cuanto a las situaciones - problema de esta configuración se resalta los problemas sobre el cálculo de la velocidad del movimiento en un tiempo cualquiera, dada la longitud del espacio descrito. De este modo se observó y concluyo que como en esta configuración las fluxiones es lo que en la actualidad se conoce como la derivada. 8. Cálculo de diferencias:

El cálculo de Leibniz se define con un carácter más simbólico y analítico; las bases de su cálculo diferencial e integral son las diferencias infinitesimales y la suma de infinitamente pequeños. Para dar inicio al análisis de la configuración se ponen en consideración algunos ejemplos. Leibniz abordo situaciones-problemas sobre máximos y mínimos, tangentes y puntos de inflexión; también introduce por primera vez la expresión “Calculo diferencial” y proporciona fórmulas para derivar productos, cocientes, potencias y raíces. Leibniz, además, logro introducir un lenguaje accesible para facilitar la manipulación de conceptos, procedimientos y argumentos, los cuales se asocian a una serie de nuevos conceptos- definiciones. Para finalizar se señala que, para sus argumentaciones, Leibniz, utilizo consideraciones algebraicas, geométricas e infinitesimales; la configuración es altamente

intensiva, y se concluye que, por el desarrollo de conceptos, el desarrollo de reglas y a aplicación de los conceptos a la resolución de problemas sitúan el cálculo de Leibniz por encima del cálculo de Newton.

9. Derivada como límite:

Se describen las características, y se desarrolla el análisis de la configuración, a partir del análisis del estudio histórico sobre el desarrollo de una fundamentación rigurosa de la derivada. En esta etapa se desarrollan una serie de conceptos-definiciones para el desarrollo de la fundamentación de la derivada y para el cálculo infinitesimal en general. Como proposiciones-propiedades características de esta configuración, se tienen, varios teoremas tales como “El teorema del valor medio para funciones derivables”. En cuanto al lenguaje de la presente configuración se definen como formal, algebraicos, apoyado en lenguaje geométrico. Seguidamente, los procedimientos característicos se definen como aritméticos. Finalmente se expone que los argumentos de esta configuración consiguen fundamentar el análisis infinitesimal sobre conceptos aritméticos.

Las configuraciones anteriormente enunciadas, son un recuento de algunos de los conceptos por los cuales se tuvo que pasar para poder llegar a definir la derivada como un límite. Las configuraciones epistémicas se componen de los objetos matemáticos primarios y sus relaciones, que intervienen y emergen de los sistemas de prácticas matemáticas en distintos contextos de uso. La configuración epistémica más global es la de la derivada como un límite. Así mismo los textos guías propuestos y analizados consideran como conocimientos previos a la introducción de la derivada: funciones, continuidad y la noción de límite. Adicionalmente se pudo observar, independientemente del contexto de uso de la derivada, siempre aludían a un mismo significado: la derivada como límite del cociente de incrementos.