Dedicamos esta secci´on a desarrollar el lenguaje topol´ogico, es decir, a intro- ducir las caracter´ısticas de un espacio y sus subconjuntos que pueden definirse a partir de su topolog´ıa. Hasta ahora hemos visto ´unicamente los conceptos de abierto y entorno. Otro concepto importante es el dual conjuntista de “abierto”: Definici´on 1.28 Diremos que un subconjunto de un espacio topol´ogico esce- rradosi su complementario es abierto.
Por ejemplo, un semiplano (sin su recta frontera) es un conjunto abierto, mientras que un semiplano con su frontera es cerrado, pues su complementario es el semiplano opuesto sin su borde, luego es abierto. Pronto veremos que la diferencia entre los conjuntos abiertos y los cerrados es precisamente que los primeros no contienen a los puntos de su borde y los segundos contienen todos los puntos de su borde. En importante notar que un conjunto no tiene por qu´e ser ni abierto ni cerrado. Baste pensar en el intervalo [0,1[.
Ejercicio: SeaX= [0,1]∪]3,4]. Probar que ]3,4] es a la vez abierto y cerrado enX.
Las propiedades de los cerrados se deducen inmediatamente de las de los abiertos:
Teorema 1.29 Sea X un espacio topol´ogico. Entonces: a) ∅y X son cerrados.
b) La intersecci´on de cualquier familia de cerrados es un cerrado. c) La uni´on de dos cerrados es un cerrado.
Puesto que la uni´on de abiertos es abierta, al unir todos los abiertos con- tenidos en un conjunto dado obtenemos el mayor abierto contenido en ´el. Si- milarmente, al intersecar todos los cerrados que contienen a un conjunto dado obtenemos el menor cerrado que lo contiene:
Definici´on 1.30 Sea X un espacio topol´ogico. Llamaremos interior de un conjunto A ⊂ X al mayor abierto contenido en A. Lo representaremos por intA oA◦. Llamaremos clausura deA al menor cerrado que contiene a A. Lo representaremos por clA oA. Los puntos deA◦ se llamanpuntos interioresde
A, mientras que los deAse llamanpuntos adherentesdeA.
As´ı pues, para todo conjunto A tenemos que A◦⊂ A ⊂A. El concepto de punto interior es claro: un puntoxes interior a un conjuntoAsi y s´olo siAes un entorno dex. Por ejemplo, en un semiplano cerrado, los puntos interiores son los que no est´an en el borde. El teorema siguiente nos caracteriza los puntos adherentes.
Teorema 1.31 Sea X un espacio topol´ogico y A un subconjunto de X. Un puntoxes adherente aAsi y s´olo si todo entorno de xcorta aA.
Demostraci´on: Supongamos que xes adherente a A. Sea U un entorno de x. Existe un abiertoG tal quex∈G⊂U. Basta probar queG∩A6=∅. Ahora bien, en caso contrario X\G ser´ıa un cerrado que contiene aA, luego
A⊂X\G, mientras quex∈A∩G.
Rec´ıprocamente, si x tiene esta propiedad entonces x ∈ A, ya que de lo contrarioX\A ser´ıa un entorno dexque no corta aA.
Vemos, pues, que, como su nombre indica, los puntos adherentes a un con- juntoAson los que “est´an pegados” aA, en el sentido de que tienen alrededor puntos de A. Por ejemplo, es f´acil ver que los puntos adherentes a un semi- plano abierto son sus propios puntos m´as los de su borde. Veamos ahora que el concepto de borde corresponde a una noci´on topol´ogica general:
Definici´on 1.32 SeaX un espacio topol´ogico yA⊂X. Llamaremosfrontera deAal conjunto∂A=A∩X\A.
As´ı, los puntos frontera de un conjunto son aquellos que tienen alrededor puntos que est´an en A y puntos que no est´an en A. Esto es claramente una definici´on general del “borde” de un conjunto. Por ejemplo, la frontera de un tri´angulo la forman los puntos de sus lados.
Teorema 1.33 Sea X un espacio topol´ogico. Se cumple:
a) Si A⊂X entonces A◦⊂A⊂A, adem´asA◦es abierto yAes cerrado. b) Si A⊂B⊂X yA es abierto entoncesA⊂B◦.
c) Si A⊂B⊂X yB es cerrado entoncesA⊂B. d) Si A⊂B⊂X entonces A◦⊂B◦yA⊂B.
e) Si A,B⊂X, entonces int (A∩B) = intA∩intB,A∪B=A∪B. f ) A⊂X es abierto si y s´olo siA=A◦, y es cerrado si y s´olo si A=A. g) Si A⊂B⊂X, entonces AB =AX∩B.
h) Si A⊂X, entonces int (X\A) =X\clAy cl (X\A) =X\intA. Demostraci´on: Muchas de estas propiedades son inmediatas. Probaremos s´olo algunas.
e) Claramente A∪B ⊂ A∪B, y el segundo conjunto es cerrado, luego
A∪B ⊂A∪B. Por otra parte es claro que A ⊂A∪B y B ⊂A∪B, luego tenemos la otra inclusi´on. La prueba con interiores es id´entica.
g) Observemos en primer lugar que los cerrados de B son exactamente las intersecciones con B de los cerrados de X. En efecto, si C es cerrado en X
entonces X\C es abierto enX, luego B∩(X\C) = B\C es abierto enB, luegoB\(B\C) =B∩C es cerrado enB. El rec´ıproco es similar.
Por definici´on,AXes la intersecci´on de todos los cerrados enXque contienen aA, luego AX∩B es la intersecci´on de todas las intersecciones con B de los cerrados enX que contienen a A, pero estos son precisamente los cerrados de
B que contienen aA, o sea,AX∩B es exactamenteAB.
h) Tenemos que A ⊂clA, luego X\clA ⊂X\A y el primero es abierto, luegoX\clA⊂int (X\A).
Por otra parte int (X \A) ⊂X \A, luego A ⊂ X \int (X \A), y ´este es cerrado, luegoA⊂X\int (X\A) y int (X\A)⊂X\A.
En la prueba de la propiedad g) hemos visto lo siguiente:
Teorema 1.34 Si X es un espacio topol´ogico y A ⊂ X, los cerrados en la topolog´ıa relativa deA son las intersecciones conA de los cerrados deX.
Conviene observar que el an´alogo a g) para interiores es falso. Es decir, no se cumple en general que A◦B =A◦ ∩B. Por ejemplo, es f´acil ver que en R se cumpleN◦=∅, luego N◦∩Z=∅, mientras queN◦Z=N.
Vamos a refinar el concepto de punto adherente. Hemos visto que los puntos adherentes a un conjunto A son aquellos que tienen alrededor puntos de A. Sucede entonces que todo punto x∈A es trivialmente adherente, porquexes un punto de alrededor dex y est´a enA. Cuando eliminamos esta posibilidad trivial tenemos el concepto de punto de acumulaci´on:
Definici´on 1.35 Sea X un espacio topol´ogico y A ⊂ X. Diremos que un puntox∈X es unpunto de acumulaci´ondeA si todo entornoU dexcumple (U\{x})∩A6=∅. El conjunto de puntos de acumulaci´on deAse llamaconjunto derivadodeAy se representa por A0.
Ejemplo Consideremos el conjunto A =©1/n| n∈ N\ {0}™⊂R. Es f´acil ver queA=A∪ {0}. Sin embargo,A0 ={0}. En efecto, en general se cumple queA0⊂A, pero ning´un punto 1/n∈Aes de acumulaci´on, pues
∏ 1 n− 1 n+ 1, 1 n+ 1 n+ 1 ∑
es un entorno de 1/nque no corta aA salvo en este mismo punto.
Como ya hemos dicho, siempre es cierto queA0 ⊂A. Tambi´en es claro que un punto adherente que no est´e enAha de ser un punto de acumulaci´on deA. En otras palabras,A=A∪A0. Los puntos de Apueden ser de acumulaci´on o no serlo. Por ejemplo, todos los puntos de [0,1] son de acumulaci´on, mientras que los puntos del ejemplo anterior no lo eran.
Definici´on 1.36 SeaX un espacio topol´ogico yA⊂X. Los puntos deA\A0 se llamanpuntos aislados deA.
Un puntox∈Aes aislado si y s´olo si tiene un entornoU tal queU∩A={x}. El entorno lo podemos tomar abierto, y entonces vemos que los puntos aislados deAson los puntos que son abiertos en la topolog´ıa relativa. Vemos, pues, que un espacio es discreto si y s´olo si todos sus puntos son aislados. Es el caso del ejemplo anterior.
Definici´on 1.37 Un subconjunto A de un espacio topol´ogico X es denso si
A=X.
Aplicando la propiedad h) de 1.33 vemos que Aes denso en X si y s´olo si
X \A tiene interior vac´ıo, es decir, si y s´olo si todo abierto de X corta a A. Esto significa que los puntos deAest´an “en todas partes”. Por ejemplo, puesto que todo intervalo de n´umeros reales contiene n´umeros racionales e irracionales, es claro que Qy R\Qson densos enR. De aqu´ı se sigue f´acilmente queQn y
(R\Q)n son densos enRn.
Ejercicio: Probar que siAes abierto en un espacioX yD es denso enX entonces
A∩Des denso enA.
Hay una propiedad que no cumplen todos los espacios topol´ogicos, pero s´ı la pr´actica totalidad de espacios de inter´es.
Definici´on 1.38 Diremos que un espacio topol´ogicoX es unespacio de Haus- dorffsi para todo par de puntos distintosx,y∈X existen abiertos disjuntosU
yV tales quex∈U,y∈V (se dice que los abiertosU yV separanaxey). Por ejemplo, si en un conjunto X con m´as de un punto consideramos la topolog´ıa formada ´unicamente por los abiertos∅y X (topolog´ıa trivial) obte- nemos un espacio que no es de Hausdorff. Se trata de un espacio patol´ogico donde todo punto est´a alrededor de cualquier otro. Aunque la topolog´ıa trivial es ciertamente la m´as patol´ogica posible, lo cierto es que todas las topolog´ıas no de Hausdorff comparten con ella su patolog´ıa, y rara vez resultan de inter´es. Veamos las propiedades de los espacios de Hausdorff:
Teorema 1.39 Se cumplen las propiedades siguientes:
a) En un espacio de Hausdorff, todo conjunto finito es cerrado. b) Todo espacio de Hausdorff finito es discreto.
c) Todo subespacio de un espacio de Hausdorff es un espacio de Hausdorff. d) El producto de una familia de espacios de Hausdorff es un espacio de
Hausdorff.
e) Todo espacio m´etrico es un espacio de Hausdorff.
f ) Un espacioX es de Hausdorff si y s´olo si la diagonal∆ ={(x, x)|x∈X} es cerrada enX×X.
Demostraci´on: a) Basta probar que todo punto {x} en un espacio de HausdorffXes cerrado. Ahora bien, dadoy∈X\{x}, existen abiertos disjuntos
U,V tales quex∈U,y∈V, luegoy∈V ⊂X\ {x}, lo que prueba queX\ {x} es entorno de todos sus puntos, luego{x}es cerrado.
b) En un espacio de Hausdorff finito todo subconjunto es cerrado, luego todo subconjunto es abierto, luego es discreto.
c) Si X es un espacio de Hausdorff y A⊂ X, dados dos puntosx, y ∈A, existen abiertos disjuntosU, V enX que separan axey, luegoU∩A,V ∩A
son abiertos disjuntos enAque separan a xey.
d) Consideremos un producto de espacios de Hausdorff Q
i∈I
Xi y dos de sus puntosx,y. Seai0 un ´ındice tal quexi0 =6 yi0. Existen abiertos U, V enXi0
que separan a xi0 e yi0. Entonces p− 1
i0 (U) y p
−1
i0 (V) son abiertos subb´asicos
disjuntos en el producto que separan axey.
e) Si X es un espacio m´etrico, dos de sus puntos x, y est´an separados por las bolas de centrosx,y y radiod(x, y)/2.
f) La diagonal ∆ es cerrada si y s´olo si su complementario es abierto, si y s´olo si para todo par (x, y)∈X×X conx6=y existe un abierto b´asicoU×V
en X ×X tal que (x, y) ∈ U ×V ⊂ X ×X \∆. Ahora bien, la condici´on
U×V ⊂X×X\∆ equivale aU∩V =∅, luego la diagonal es cerrada si y s´olo siX es Hausdorff.
Ejercicio: Probar que si un producto de espacios topol´ogicos es un espacio de Haus- dorff no vac´ıo, entonces cada uno de los factores es un espacio de Hausdorff.
Terminamos la secci´on con algunas propiedades m´etricas, no topol´ogicas, es decir propiedades definidas a partir de la distancia en un espacio m´etrico y que no se pueden expresar en t´erminos de su topolog´ıa.
Definici´on 1.40 Un subconjuntoAde un espacio m´etrico esacotadosi existe unM > 0 tal que para todo par de puntos x, y ∈A se cumple d(x, y)≤M. El di´ametro de un conjunto acotadoA es el supremo de las distanciasd(x, y) cuando (x, y) var´ıa enA×A.
Es f´acil probar que todo subconjunto de un conjunto acotado es acotado, as´ı como que la uni´on finita de conjuntos acotados est´a acotada. Sin embargo hemos de tener presente el hecho siguiente: dado un espacio m´etricoM, podemos definird0(x, y) = m´ın©1, d(x, y)™. Es f´acil ver qued0 es una distancia enMy las bolas de radio menor que 1 parad0 coinciden con las bolas respecto ad. Como estas bolas forman una base de las respectivas topolog´ıas m´etricas concluimos que ambas distancias definen la misma topolog´ıa. Sin embargo, respecto ad0 todos los conjuntos est´an acotados. Esto prueba que el concepto de acotaci´on no es topol´ogico.
Ejercicio: Calcular el di´ametro de una bola abierta enRn y en un espacio con la m´etrica discreta.
Definici´on 1.41 SiM es un espacio m´etrico,A6=∅un subconjunto deM y
x∈M, definimos la distancia dexaAcomo d(x, A) = ´ınf{d(x, y)|y∈A}. Es evidente que six∈Aentoncesd(x, A) = 0, pues entre las distancias cuyo ´ınfimo determinand(x, A) se encuentrad(x, x) = 0. Sin embargo los puntos que
cumplend(x, A) = 0 no est´an necesariamente enA.
Teorema 1.42 Si M es un espacio m´etrico y A ⊂ M, entonces un punto x
cumpled(x, A) = 0si y s´olo si xes adherente aA.
Demostraci´on: Sid(x, A) = 0, para probar que es adherente basta ver que toda bola abierta de centro xcorta a A. Dado≤ >0 tenemos que d(x, A)< ≤, lo que significa que existe uny∈Atal qued(x, y)< ≤, es decir, y∈B≤(x)∩A. El rec´ıproco se prueba igualmente.
En el caso de espacios normados podemos hacer algunas afirmaciones adi- cionales. La prueba del teorema siguiente es inmediata.
Teorema 1.43 SeaEun espacio normado yA⊂E. Las afirmaciones siguien- tes son equivalentes:
a) A es acotado.
b) Existe unM >0tal quekxk ≤M para todox∈A. c) Existe unM >0tal queA⊂BM(0).
Ejercicio: Probar que en un espacio normado la clausura de una bola abierta es la bola cerrada del mismo radio y el interior de una bola cerrada es la bola abierta. ¿Cu´al es la frontera de ambas? Dar ejemplos que muestren la falsedad de estos hechos en un espacio m´etrico arbitrario.