Las sentencias siguientes son teoremas de cualquier teor´ıa aritm´etica. (Da- mos algunas indicaciones sobre la demostraci´on.)
1. Vxy(Natx∧Naty→Nat(x+y))
Por inducci´on sobrey, es decir, probando la sentencia
V
x(Natx→Vy(Naty→Nat(x+y))), para lo cual se prueba previamente (supuesto Natx) la f´ormula
Nat(x+ 0)∧Vy(Naty∧Nat(x+y)→Nat(x+y0))
y se aplica N9. Para probar esta f´ormula vemos que x+ 0 = x, luego Nat(x+ 0) y si Nat(x+y) entonces x+y0 = (x+y)0, luego tambi´en
Nat(x+y0), por N2.
2. Vxy(Natx∧Naty→Nat(xy)) Similar al caso anterior. 3. Vx(Natx→x0=x+ 0(1))
x+ 0(1)=x+ 00= (x+ 0)0=x0.
4. Vxyz(Natx∧Naty∧Natz→(x+y) +z=x+ (y+z))
Por inducci´on sobre z: (x+y) + 0 = x+y = x+ (y + 0) y supuesto (x+y) +z =x+ (y+z) entonces ((x+y) +z)0 = (x+ (y+z))0, luego
6.2. Algunos teoremas en teor´ıas aritm´eticas 157 5. Vxy(Natx∧Naty→x+y0 =x0+y)
Por inducci´on sobrey: x+ 00= (x+ 0)0=x0 =x0+ 0, y six+y0=x0+y
entoncesx+y00= (x+y0)0 = (x0+y)0=x0+y0.
6. Vx(Natx→0 +x=x)
Por inducci´on: 0 + 0 = 0 y si 0 +x=x, entonces 0 +x0 = (0 +x)0 =x0.
7. Vxy(Natx∧Naty→x+y=y+x)
Por inducci´on sobrey: x+ 0 = x= 0 +x y six+y =y+x, entonces x+y0= (x+y)0 = (y+x)0=y+x0 =y0+x.
8. Vxyz(Natx∧Naty∧Natz→x(y+z) =xy+xz)
Por inducci´on sobrez: x(y+ 0) =xy=xy+x·0, y six(y+z) =xy+xz entoncesx(y+z0) =x(y+z)0=x(y+z)+x= (xy+xz)+x=xy+(xz+x) =
xy+xz0.
9. Vxyz(Natx∧Naty∧Natz→(xy)z=x(yz))
Por inducci´on sobrez: (xy)·0 = 0 =x·0 =x(y·0), y si (xy)z=x(yz), entonces (xy)z0= (xy)z+xy=x(yz) +xy=x(yz+y) =x(yz0).
10. Vx(Natx→0·x= 0)
Por inducci´on: 0·0 = 0 y si 0·x= 0, entonces 0·x0 = 0·x+ 0 = 0 + 0 = 0.
11. Vx(Natx→0(1)·x=x)
Por inducci´on: 0(1)·0 = 0 y si 0(1)·x=x, entonces 0(1)·x0= 0(1)·x+0(1)=
x+ 0(1) =x0.
12. Vxy(Natx∧Naty→xy=yx)
Por inducci´on sobre y: x·0 = 0 = 0·x, y si xy = yx entonces xy0 =
xy+x=yx+x=yx+ 0(1)·x= (y+ 0(1))·x=y0x.
13. Vx(Natx→x= 0∨Wy(Naty∧x=y0))
Inmediato por inducci´on sobrex.
14. Vxy(Natx∧Naty∧xy= 0→x= 0∨y= 0)
Si xy = 0 pero ¬x= 0 y¬y = 0 entonces x=u0 = u+ 0(1), y =v0 =
v+0(1), con lo que 0 =xy=uv+u+v+0(1)= (uv+u+v)0, contradicci´on.
15. Vxyz(Natx∧Naty∧Natz∧x+z=y+z→x=y)
Por inducci´on sobrez: six+ 0 =y+ 0 entoncesx=y, six+z=y+z→ x =y, entonces si x+z0 =y+z0 se cumple (x+z)0 = (y+z)0, luego
16. Vxy(Natx∧Naty∧x+y= 0→x= 0∧y = 0)
Si¬y= 0 entoncesy=v0, con lo que 0 =x+y= (x+v)0, contradicci´on.
As´ı pues y= 0. Similarmente se prueba quex= 0. Usaremos la notaci´onx≤y≡Wz(Natz∧x+z=y) 17. Vx(Natx→x≤x)
x+ 0 =x.
18. Vxy(Natx∧Naty∧x≤y∧y≤x→x=y)
Six≤y∧y≤xentoncesx+z=y∧y+w=x, luegoy+w+z=y=y+0, luegow+z= 0, luegoz= 0, luegox=x+ 0 =y.
19. Vxyz(Natx∧Naty∧Natz∧x≤y∧y≤z→x≤z)
x+u=y∧y+v=z, luegox+ (u+v) =y+v=z, luegox≤z. 20. Vx(Natx→0≤x) 0 +x=x 21. Vx(Natx→x≤x0) x+ 0(1)=x0 22. Vxy(Natx∧Naty→x≤y∨y≤x)
Por inducci´on sobre y: 0 ≤ x, luegox ≤0 ∨ 0≤ x, si x≤ y ∨ y ≤ x entonces, en el caso y ≤xtenemos y+z =x. Si z = 0 esy =x, luego x≤x0 =y0, luegox≤y0∨y0 ≤x. Si¬z= 0, entoncesz=u0,y+u0=x,
y+ (u+ 0(1)) = x, luego (y+ 0(1)) +u =x, y0+u =x, y0 ≤ x, luego
tambi´en x≤y0 ∨y0 ≤ x. En el casox≤y se cumple x+z =y, luego
x+z0=y0, es decir,x≤y0, y tambi´enx≤y0∨y0 ≤x.
23. Vxy(Natx∧Naty∧x≤y∧y≤x0→x=y∨y=x0)
x+u=y∧y+v=x0, luegox+ (u+v) =x0 =x+ 0(1),u+v= 0(1). Si
¬y =x∧ ¬y =x0 entonces ¬y = 0 ∧ ¬v = 0, luegou=k+ 0(1) ∧v =
r+ 0(1), luegou+v= ((k+r) + 0(1)) + 0(1)= 0(1), luego (k+r) + 0(1)= 0,
es decir, 0 = (k+r)0, contradicci´on.
Usaremos la notaci´onx < y≡x≤y∧ ¬x=y. 24. Vx(Natx→x < x0)
Sabemos quex≤x0 y¬x=x0, pues en otro casox=x0 =x+ 0(1), luego
6.2. Algunos teoremas en teor´ıas aritm´eticas 159 25. Vxy(Natx∧Naty→(x < y↔x0≤y))
Six < yentoncesx+u=y, con¬u= 0, luegou=v+0(1),x+(v+0(1)) =
y, (x+ 0(1)) +v=y,x0+v=y,x0 ≤y.
Six0 ≤y, entoncesx0+u=y,x+ (0(1)+u) =y, luegox≤y, y six=y entonces 0(1)+u= 0, luegou0= 0, contradicci´on. As´ı pues,x < y.
26. Vxy(Natx∧Naty∧ ¬y= 0→ 1 W cr(Natc∧Natr∧x=yc+r∧r < y)) Veamos V
xy(Natx∧Naty∧ ¬y= 0→Wcr(Natc∧Natr∧x=yc+r∧r < y)) por inducci´on sobrex.
0 = y·0 + 0∧ 0< y. Si x=yc+r∧r < y, entonces x0 =yc+r0 con
r0 ≤y. Sir0 < y ya lo tenemos. Si r0=y entoncesx0=yc+y =yc0+ 0
con 0< y.
Para probar la unicidad basta ver que six=yc+r=y¯c+ ¯r conr < y, ¯
r < y, entoncesc= ¯c∧r= ¯r.
Podemos suponer quec ≤¯c (el caso ¯c≤ces an´alogo). As´ı ¯c=c+u. Si ¬c= ¯centonces¬u= 0,u=v+ 0(1).
x=y¯c+ ¯r= (yc+yu) + ¯r= ((yc+yv) +y·0(1)) + ¯r= (yc+y) + (yv+ ¯r), luegoyc+y≤x. Comor < y, y=r+k con¬k= 0,x= (yc+y) +t= (yc+ (r+k)) +t= (yc+r) + (k+t) =x+ (k+t), luegok+t= 0 yk= 0, contradicci´on.
Por lo tantoc= ¯c, luegoyc=yc¯y, comoyc+r=yc¯+ ¯r, tambi´enr= ¯r. Usaremos la notaci´on
x≡y(m´odz)≡Wr(Natr∧(x=y+rz∨y=x+rz)) 27. Vxy(Natx∧Naty→x≡x(m´ody))
x=x+ 0·y.
28. Vxyz(Natx∧Naty∧Natz∧x≡y(m´odz)→y≡x(m´odz)) Inmediato.
29. Vxyzw(Natx ∧ Naty ∧ Natz ∧ Natw ∧ x ≡ y(m´odw) ∧ y ≡ z (m´odw)→x≡z(m´odw))
Por hip´otesis (x=y+rw∨y =x+rw)∧ (y =z+tw ∨z =y+tw). Distinguimos cuatro casos:
a) x=y+rw∧y=z+tw. Entoncesx=x+ (tw+rw) =x+ (t+r)w, luegox≡z(m´odw). b) x=y+rw∧z=y+tw. Entoncesx+tw= (y+tw) +rw=z+rw. Sir≤tentoncest=r+u, luegox+ (rw+uw) =z+rw,x+uw=z. Si t≤r entoncesr=t+u, luegox+tw=z+ (tw+uw),x=z+uw. En cualquier casox≡z(m´odw).
Los casos restantes son similares a ´estos. 30. Vxz(Natx∧Natz∧ ¬z= 0→
1
W
y(Naty∧y < z∧x≡y(m´odz)))
W
cy(Natc∧Naty∧x=zc+y∧y < z). Claramentex≡y(m´odz). Para la unicidad hemos de ver que si x≡y(m´odz)∧x≡y¯(m´odz) con y < z, ¯y < zentonces y= ¯y. En efecto, en tal casoy ≡y¯(m´odz), luego y= ¯y+rz∨y¯=y+rz. Supongamosy= ¯y+rz(el otro caso es an´alogo). Entonces, si ¬r= 0 tenemosr=u+ 0(1), luego y= ¯y+ (ux+ 0(1)·z) =
(y+ux) +z, luegoz≤y, contradicci´on. As´ı pues,r= 0, con lo quey= ¯y.
Observaciones El lector se habr´a dado cuenta de que hemos usado muchas de las propiedades que acabamos de probar mucho antes de haberlas demostrado aqu´ı. A estas alturas, ya deber´ıa darse cuenta por s´ı mismo de que esto no delata un c´ırculo vicioso, pero de todos modos vamos a discutirlo aqu´ı. Consideremos por ejemplo el teorema 7, que afirma la conmutatividad de la suma de n´umeros naturales. Hemos de distinguir dos hechos muy diferentes:
a) La suma de n´umeros naturales es conmutativa.
b) En toda teor´ıa aritm´etica puede probarse que la suma de n´umeros natu- rales es conmutativa.
Hasta ahora, hemos usado siempre que ha sido oportuno el hecho a), que todos sabemos que es cierto. Ahora acabamos de probar el hecho b), que no es evidente ni siquiera para alguien que sepa a). Sucede que b) implica a), pero esto no es inmediato, sino que es un teorema que requiere su justificaci´on: si una f´ormula es demostrable en toda teor´ıa aritm´etica, entonces es demostrable en la aritm´etica de Peano, luego es verdadera en su interpretaci´on natural. Ahora bien, aqu´ı es esencial lo de “toda” teor´ıa aritm´etica, pues la ´unica en la que podemos confiar es la aritm´etica de Peano. Veremos m´as adelante que existen teor´ıas aritm´eticas consistentes en las que se pueden demostrar sentencias falsas en su interpretaci´on natural. En resumen:
• No es cierto que a) implique b), es decir, el hecho de que una sentencia sea verdadera en su interpretaci´on natural no garantiza que sea demostrable en toda teor´ıa aritm´etica.
• No es cierto que si una sentencia es demostrable en una teor´ıa aritm´etica tenga por ello que ser verdadera en su interpretaci´on natural.
6.2. Algunos teoremas en teor´ıas aritm´eticas 161 • S´ı es cierto que si una sentencia es demostrable en cualquier teor´ıa aritm´e- tica entonces es verdadera en su interpretaci´on natural —es decir, que b) implica a)—, pero esto es una afirmaci´on trivial, pues lo ´unico que necesitamos en realidad es que sea demostrable en la aritm´etica de Peano. Si el lector se siente desconcertado por estos hechos deber´ıa tener en cuenta las consideraciones siguientes. Supongamos que partimos de unos axiomas si- milares a los de Peano y con ellos probamos que la suma de n´umeros naturales no es conmutativa. No ser´ıa dif´ıcil conseguir unos axiomas adecuados para ello, pero la conclusi´on que sacar´ıamos de ah´ı no ser´ıa que, en contra de lo que pens´abamos, la suma de n´umeros naturales no es conmutativa, sino que los axiomas de partida “no son buenos”, es decir, no reflejan las propiedades de los n´umeros naturales. As´ı pues, si una prueba de la no conmutatividad de la suma no nos hace dudar de la conmutatividad de la suma, sino que nos lleva a desechar los axiomas, debemos admitir que una prueba de la conmutatividad de la suma a partir de unos axiomas no debe convencernos de la conmutati- vidad de la suma, sino de que los axiomas “son buenos”. El hecho de que no estemos dispuestos a descartar la conmutatividad a partir de una demostraci´on formal pone de manifiesto que la conmutatividad no puede depender de una demostraci´on formal.
Los matem´aticos piensan —y est´an en lo cierto— que una teor´ıa matem´atica totalmente rigurosa pasa por demostrar hechos tales como la conmutatividad de la suma. Ahora bien, estamos se˜nalando que esta exigencia no tiene por objeto eliminar todo margen de duda sobre la conmutatividad de la suma —no hay tal duda—, sino garantizar que los axiomas son lo suficientemente correctos y potentes como para demostrar la conmutatividad de la suma. Si de los axiomas se dedujera que la suma no es conmutativa tendr´ıamos que cambiarlos, y si esto no sucediera pero tampoco se dedujera la conmutatividad, tendr´ıamos que a˜nadir nuevos axiomas o sustituir los que tuvi´eramos por otros m´as potentes.
Por otra parte, debemos descartar la idea de que si definimos de un modo u otro los n´umeros naturales y conseguimos probar que los objetos que hemos definido cumplen los axiomas de Peano ya tenemos garantizado que estamos hablando realmente de los n´umeros naturales y que todo lo que probemos sobre los n´umeros naturales en nuestra teor´ıa ser´an afirmaciones verdaderas sobre los n´umeros naturales. Los axiomas de Peano ´unicamente garantizan que nuestros “n´umeros naturales” cumplen las propiedades b´asicas de los n´umeros naturales, de modo que, seg´un hemos visto en esta secci´on, ya no hace falta que nos moles- temos en probar la conmutatividad de la suma o la divisibilidad eucl´ıdea: todos estos hechos son consecuencias de dichos axiomas y se cumplen autom´aticamente en cuanto los demostramos. Pero esto no excluye que en nuestra teor´ıa podamos probar afirmaciones falsas sobre los n´umeros naturales.
Matem´atica y metamatem´atica A partir de la secci´on siguiente vamos a demostrar muchos resultados en los que argumentos metamatem´aticos se com- binan sutilmente con argumentos matem´aticos (es decir, con demostraciones
formales en una teor´ıa axiom´atica). El lector no familiarizado con la l´ogica de- ber´a hacer aqu´ı un gran esfuerzo de comprensi´on para asimilar esta relaci´on tan delicada si es que quiere entender cabalmente los teoremas de incompletitud. Para ayudarle detallamos aqu´ı la prueba de un teorema elemental:
Teorema 6.1 SeaT una teor´ıa aritm´etica. Para todo natural nse cumple
` T
V
x(Natx→(x≤0(n)↔x= 0(0)∨x= 0(1)∨ · · · ∨x= 0(n))). Demostraci´on: Por inducci´on (metamatem´atica) sobre n, es decir, tene- mos que probar que infinitas sentencias (una para cada n) son teoremas deT; empezamos por el caso n = 0 y despu´es probaremos que si la sentencia n es demostrable la n+ 1 tambi´en lo es. La prueba es constructiva, de modo que proporciona un algoritmo para generar expl´ıcitamente una demostraci´on de cual- quiera de las sentencias.
Paran= 0 hemos de probar ` T
V
x(Natx→(x≤0↔x= 0)). Esto se sigue3 de los teoremas 17, 18 y 20.
Ahora lo suponemos cierto paran, es decir, suponemos que ya hemos escrito una demostraci´on de la sentencia del enunciado (paran) y veremos c´omo ex- tenderla para llegar a la misma f´ormula paran+ 1. As´ı pues, nuestro problema ahora es demostrar
` T
V
x(Natx→(x≤0(n+1)↔x= 0(0)∨ · · · ∨x= 0(n)∨x= 0(n+1))). Procedemos, pues, a esbozar4 una demostraci´on. Suponemos Natxy, para
probar una implicaci´on, suponemos5 tambi´en x ≤ 0(n+1). Esto es lo mismo
que x ≤ 0(n)0. Por la definici´on de < y el teorema 25, de aqu´ı se sigue que
x≤0(n)∨x= 0(n+1). Por hip´otesis de inducci´on (metamatem´atica) dispone-
mos de la sentencia del enunciado, que podemos usar en nuestra demostraci´on (matem´atica). Al aplicarla al casox≤0(n)la disyunci´on se transforma en
x= 0(0)∨ · · · ∨x= 0(n)∨x= 0(n+1), que es lo que quer´ıamos probar.
3El lector deber´ıa completar los detalles tomando como modelo la segunda parte de la
prueba.
4Los matem´aticos nunca dan pruebas detalladas (ahora modus ponens, ahora modus to-
llens), sino esbozos de prueba, que contienen la informaci´on suficiente para cubrir todos los huecos.
5Si fueran= 5, un matem´atico dir´ıa “supongamos quexes un n´umero natural menor o
igual que 6, pero nosotros precisamos que el “6” es en realidad el numeral 0(6) (en general
0(n+1)) y evitamos decir quexes un n´umero natural porquexno es un n´umero natural, es una
variable. Comp´arese con el novelista que escribe “. . . Napole´on le habl´o a un soldado”, pero en realidad Napole´on (= 6) no ha hablado con ning´un soldado (= n´umero natural), simplemente el novelista ha escrito las palabras “Napole´on” (= 0(6)) y “soldado” (=x) en una frase, todo
6.3. Expresabilidad y representabilidad 163