Considérese una familia de distribuciones de probabilidad que implica dos parámetros 1y 2y sea F(x; 1, 2) la función de distribución acumulativa correspondiente. La familia de dis-
tribuciones normales es una de esas familias, con 1, 2y F(x; , ) [(x)/].
Otro ejemplo es la familia Weibull, con 1, 2y
F(x; , )1e(x/)
Otra familia más de este tipo es la familia gama, para la cual la función de distribución acumulativa es una integral que implica la función gama incompleta que no puede ser ex- presada en cualquier forma más simple.
Se dice que los parámetros 1y2son parámetros de ubicación y escala, respecti-
vamente, si F(x; 1, 2) es una función de (x1)/2. Los parámetros y de la familia
normal son los parámetros de ubicación y escala, respectivamente. Al cambiar la curva de densidad acampanada se desplaza a la derecha o izquierda y al cambiar se alarga o com- prime la escala de medición (la escala sobre el eje horizontal cuando se dibuja la función de densidad). La función de distribución acumulativa da otro ejemplo
F(x; 1, 2)1ee(x
1)/2 x
Se dice que una variable aleatoria con esta función de distribución acumulativa tiene una distribución de valor extremo. Se utiliza en aplicaciones que implican la duración de un componente y la resistencia de un material.
Aunque la forma de la función de distribución acumulativa de valor extremo a prime- ra vista pudiera sugerir que 1es el punto de simetría de la función de densidad y por ende
la media y la mediana, éste no es el caso. En cambio,P(X1)F(1; 1, 2)1e1
0.632, y la función de densidadf(x; 1, 2)F(x; 1, 2) es negativamente asimétrica (una
larga cola inferior). Asimismo, el parámetro de escala 2no es la desviación estándar ( 10.57722y 1.2832). Sin embargo, al cambiar el valor de 1cambia la ubicación
de la curva de densidad, mientras que al cambiar2cambia la escala del eje de medición.
El parámetro de la distribución de Weibull es un parámetro de escala, pero no es un parámetro de ubicación. El parámetro en general se conoce como parámetro de forma. Un comentario similar es pertinente para los parámetros y de la distribución gama. En la forma usual, la función de densidad de cualquier miembro de o la distribución gama o Wei- bull es positiva con x0 y cero de lo contrario. Un parámetro de ubicación puede ser in- troducido como tercer parámetro (se hizo esto para la distribución de Weibull) para desplazar la función de densidad de modo que sea positiva si xy cero de lo contrario.
Cuando la familia considerada tiene sólo parámetros de ubicación y escala, el tema de si cualquier miembro de la familia es una distribución de población factible puede ser abor- dado vía una gráfica de probabilidad única de fácil construcción. Primero se obtienen los percentiles de la distribución estándar, una con 1 0 y 2 1, con los porcentajes
100 (i0.5)/n(i 1, . . . , n). Los npares (percentil estandarizado, observación) dan los puntos en la gráfica. Esto es exactamente lo que se hizo para obtener una gráfica de proba- bilidad normal ómnibus. Un tanto sorprendentemente, esta metodología puede ser aplicada para dar una gráfica de probabilidad Weibull ómnibus. El resultado clave es que Xtiene una distribución de Weibull con parámetro de forma y parámetro de escala , entonces la va- riable transformada ln(X) tiene una distribución de valor extremo con parámetro de ubica- ción 1 ln() y parámetro de escala 1/. Así pues una gráfica de los pares (percentil
estandarizado de valor extremo, ln(x)) que muestre un fuerte patrón lineal apoya la selec- ción de la distribución de Weibull como modelo de una población.
Las observaciones adjuntas son de la duración (en horas) del aislamiento de aparatos eléc- tricos cuando la aceleración del esfuerzo térmico y eléctrico se mantuvo fijo a valores par- ticulares (“On the Estimation of Life of Power Apparatus Insulation Under Combined Electrical and Thermal Stress”, IEEE Trans. on Electrical Insulation, 1985: 70-78). Una gráfica de probabilidad de Weibull necesita calcular primero los percentiles 5o, 15o, . . . , y
95ode la distribución de valor extremo estándar. El (100p)opercentil (p) satisface
pF((p))1ee(p) de donde (p) ln[ln(1 p)]. Percentil 2.97 1.82 1.25 0.84 0.51 x 282 501 741 851 1072 ln(x) 5.64 6.22 6.61 6.75 6.98 Percentil 0.23 0.05 0.33 0.64 1.10 x 1122 1202 1585 1905 2138 ln(x) 7.02 7.09 7.37 7.55 7.67
Los pares (2.97, 5.64), (1.82, 6.22), . . . , (1.10, 7.67) se dibujan como puntos en la fi- gura 4.36. La forma recta de la gráfica hacia la derecha argumenta firmemente a favor del uso de la distribución de Weibull como modelo de duración de aislamiento, una conclusión también alcanzada por el autor del citado artículo.
Ejemplo 4.31 3 5 8 7 6 2 1 0 1 ln(x) Percentil
La distribución gama es un ejemplo de una familia que implica un parámetro de for- ma para el cual no hay ninguna transformación h(·) de tal suerte que h(X) tenga una distri- bución que dependa sólo de los parámetros de ubicación y escala. Para construir una gráfica de probabilidad primero se tiene que estimar el parámetro de forma de los datos muestrales (algunos métodos para realizar lo anterior se describen en el capítulo 6). En ocasiones un investigador desea saber si la variable transformada Xtiene una distribución normal con al- gún valor de (por convención, 0 es idéntica a la transformación, en cuyo caso Xtie- ne una distribución lognormal). El libro Graphical Methods for Data Analysis, citado en la bibliografía del capítulo 1, discute este tipo de problema así como también otros refinamien- tos de construcción de gráficas de probabilidad. Afortunadamente, la amplia disponibilidad de varias gráficas de probabilidad junto con paquetes de software estadísticos significa que el usuario con frecuencia puede evitar los detalles técnicos.