Análisis de Mononobe y Okabe

El método más utilizado para calcular los esfuerzos sísmicos del suelo que actúan sobre un estribo de puente es un enfoque estático desarrollado en la década de 1920 por Mononobe (1929) y Okabe (1926). El análisis de Mononobe-Okabe es una ampliación de la teoría de la cuña deslizante de Coulomb que toma en cuenta las fuerzas inerciales horizontales y verticales que actúan sobre el suelo, Los trabajos de Seed y Whitman (1970) y Richards y Elms (1979) describen en detalle el procedimiento de análisis.

El enfoque adopta las siguientes hipótesis:

1. El estribo se puede desplazar lo suficiente para permitir la movilización de la resistencia total del suelo o permitir condiciones de empuje activo.

Br. Osman Romero, Br. Yader Avendaño, Br. Lenin Reyes 42 3. El relleno detrás del muro esta en condiciones no saturadas, de modo que no

surgirán problemas de licuefacción.

Considerando el equilibrio de la cuña de suelo detrás del estribo, se puede obtener un valor EAE de la fuerza activa que ejerce el estribo sobre la masa de suelo y viceversa.

Cuando el estribo está en el punto de falla EAE se puede calcular mediante la siguiente

expresión: 𝐾_𝐴𝐸= 𝐶𝑂𝑆 2_{(∅ − 𝜃)} Ψ cos 𝜃 cos(𝛿 + 𝜃) 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1( 𝐾𝑏 1 − 𝐾𝑣) Ψ = [1 + √sin(𝜙 + 𝛿) sin(∅ − 𝜃 − 𝛽) cos(𝛿 + 𝜃) cos 𝛽 ] 2 𝐸_𝐴𝐻 =1 2𝛾𝐻 2_{(1 − 𝐾} 𝑉)𝐾𝐴𝐸

γ = densidad del suelo (kg/m3)

H = altura del suelo (m)

Φ = ángulo de fricción del suelo (º)

δ = ángulo de fricción entre el suelo y el estribo (º)

kh = coeficiente de aceleración horizontal (adimensional) kv = coeficiente de aceleración vertical (adimensional) i = ángulo de inclinación de la superficie del relleno (º)

β = inclinación del muro respecto de la vertical (º)

Seed y Whitman han sugerido que h se podría obtener suponiendo que la componente estática del esfuerzo del suelo actúa a H/3 de la base del estribo, mientras que se podría considerar que el esfuerzo dinámico adicional actúa a una altura de 0,6H.

Elms y Martin (1979) demostraron que un valor de Kh= A/2 es adecuado para la mayoría de los propósitos de diseño, A = coeficiente de aceleración, δ = Φ /2.

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5.8. Métodos de diseño.

Hay dos filosofías para el diseño del hormigón armado que han prevalecido por mucho tiempo. El Diseño por Tensiones de Trabajo (WSD / Working Stress Design) fue el método más usado desde principios de siglo hasta principios de los años 60. A partir de la publicación de la edición 1963 del Código ACI, se ha dado una rápida transición hacia el Diseño por Resistencia Última, en gran parte por su enfoque más racional. El diseño por resistencia última, que en el código se denomina Método de Diseño por Resistencia (SDM / Strength Design Method) aborda la seguridad estructural con un enfoque conceptualmente más realista.

Antes de la edición 1956 del código, el método de diseño por tensiones de trabajo, muy similar al método de diseño alternativo del Apéndice A, era el único método disponible para diseñar elementos de hormigón armado. El método de diseño por resistencia se introdujo en el código por primera vez en 1956, en forma de un apéndice. En la siguiente edición (1963), el diseño por resistencia se trasladó al cuerpo principal del código como una alternativa al método de diseño por tensiones de trabajo. Debido a la gran aceptación que tuvo el método por resistencia, el código 1971 dedicó apenas una página al método de las tensiones de trabajo. Luego el método de las tensiones de trabajo se trasladó del cuerpo principal del código a un apéndice de la edición 1983. A partir de entonces el método comenzó a llamarse "método de diseño alternativo," y permaneció en un apéndice hasta el código 1999.

El método de diseño alternativo presentado en el Apéndice A del código 1999 es un método que intenta lograr seguridad estructural y un comportamiento adecuado de la estructura bajo condiciones de servicio limitando las tensiones bajo cargas de servicio a ciertos valores especificados. Estas "tensiones admisibles" están dentro del rango de comportamiento elástico del hormigón en compresión y del acero en tracción (y compresión). Se asume que el hormigón se fisura y que por lo tanto no proporciona ninguna resistencia a la tracción. Las tensiones en el hormigón se representan mediante una distribución elástica lineal. El acero generalmente se transforma en un área de hormigón equivalente. El método de diseño alternativo es idéntico al "método

Br. Osman Romero, Br. Yader Avendaño, Br. Lenin Reyes 44 de diseño por tensiones de trabajo" utilizado hasta 1963 para elementos solicitados a flexión sin carga axial. Los procedimientos para el diseño de elementos solicitados a compresión y flexión, diseño al corte y diseño para adherencia y anclaje de las armaduras siguen los procedimientos del método de diseño por resistencia del cuerpo principal del código, en el cual se aplican diferentes factores para reflejar el diseño bajo cargas de servicio. Los procedimientos del método de diseño alternativo no han sido actualizados tan exhaustivamente como el resto del código.

El reemplazo del método de diseño por tensiones admisibles y el método de diseño alternativo por el método de diseño por resistencia se puede atribuir a diversos factores, entre los cuales se pueden mencionar:

• El tratamiento uniforme de todos los tipos de cargas, lo que significa que todos los factores de carga son iguales a la unidad. No se considera la diferente variabilidad de los diferentes tipos de cargas (cargas permanentes y sobrecargas).

• Se desconoce el factor de seguridad contra la falla

• Los diseños típicamente son más conservadores y, para un mismo conjunto de momentos de diseño, generalmente requieren más armadura o mayores dimensiones que las requeridas por el método de diseño por resistencia.

En la actualidad el método de diseño alternativo prácticamente ha caído en desuso, excepto para algunos tipos de estructuras especiales o por parte de diseñadores no familiarizados con el diseño por resistencia. Las zapatas son los elementos más frecuentemente diseñados usando el método de diseño alternativo.

5.8.1. Método de Diseño por Resistencia

El Método de Diseño por Resistencia requiere que en cualquier sección la resistencia de diseño de un elemento sea mayor o igual que la resistencia requerida calculada mediante las combinaciones de cargas mayoradas especificadas en el código. De forma generalizada,

Br. Osman Romero, Br. Yader Avendaño, Br. Lenin Reyes 45 Resistencia de Diseño ≥ Resistencia Requerida (U)

Donde:

Resistencia de Diseño = Factor de Reducción de la Resistencia (φ) × Resistencia Nominal

φ = Factor de reducción de la resistencia que toma en cuenta (1) la probabilidad de que la resistencia de un elemento sea menor que la supuesta debido a las variaciones en las resistencias de los materiales y sus dimensiones, (2) las imprecisiones de las ecuaciones de diseño, (3) el grado de ductilidad y la confiabilidad requerida del elemento cargado, y (4) la importancia del elemento dentro de la estructura.

Resistencia Nominal = Resistencia de un elemento o sección transversal calculada usando las hipótesis y ecuaciones de resistencia del Método de Diseño por Resistencia, antes de aplicar cualquier factor de reducción de la resistencia.

Resistencia Requerida (U) = Factores de carga × Solicitaciones por cargas de servicio.

Factor de Carga = Factor que incrementa la carga para considerar la probable variación de las cargas de servicio.

Carga de Servicio = Carga especificada por el código de construcción (no mayorada)

Simbología:

Resistencia requerida:

Mu = momento flector mayorado (resistencia a la flexión requerida)

Pu = carga axial mayorada (resistencia a la carga axial requerida) para una excentricidad dada

Br. Osman Romero, Br. Yader Avendaño, Br. Lenin Reyes 46 Tu = momento torsor mayorado (resistencia a la torsión requerida)

Resistencia nominal:

Mn = resistencia nominal al momento flector

Mb = resistencia nominal al momento flector en condiciones de deformación balanceada

Pn = resistencia nominal a la carga axial para una excentricidad dada Po = resistencia nominal a la carga axial para excentricidad nula

Pb = resistencia nominal a la carga axial en condiciones de deformación balanceada Vn = resistencia nominal al corte

Vc = resistencia nominal al corte provista por el hormigón

Vs = resistencia nominal al corte provista por el acero de la armadura Tn = resistencia nominal a la torsión

Resistencia de diseño:

φMn = resistencia al momento flector de diseño

φPn = resistencia a la carga axial de diseño para una excentricidad dada φVn = resistencia al corte de diseño = φ (Vc + Vs)

φTn = resistencia a la torsión de diseño

En el diseño de secciones rectangulares que sólo tienen armadura de tracción (Fig. 1), las condiciones de equilibrio son las siguientes:

1. Equilibrio de fuerzas: C = T (1) 0,85 f'c ba = Asfy = ρbdfy 𝑎 = 𝐴𝑠𝑓𝑦 0,85𝑓´𝑐𝑏= 𝜌𝑑𝑓𝑦 0,85𝑓´𝑐 2. Equilibrio de momentos:

Br. Osman Romero, Br. Yader Avendaño, Br. Lenin Reyes 47 𝑀𝑛 = (𝐶 ó 𝑇) (𝑑 −𝑎 2) 𝑀𝑛 = 𝜌𝑏𝑑𝑓𝑦 (𝑑 −0,5𝜌𝑑 0,85 𝑓´𝑐 𝑓𝑦) (2) Figura 1

Deformación específica y distribución equivalente de tensiones en una sección rectangular

Dividiendo ambos lados de la Ec. (2) por bd2 _{se obtiene un coeficiente de resistencia} nominal Rn:

𝑅𝑛 = 𝑀𝑛

𝑏𝑑2 = 𝜌𝑓𝑦 (1 −

0,5𝜌𝑓´𝑐

0,85𝑓𝑦) (3)

Si b y d están prefijados, ρ se obtiene resolviendo la ecuación cuadrática para Rn: 𝜌 =0,85𝑓´𝑐

𝑓𝑦 (1 − √1 − 2𝑅𝑛

0,85𝑓´𝑐) (4)

La Ecuación (3) se puede usar para determinar la cuantía de acero ρ conociendo Mu o viceversa si se conocen las propiedades de la sección b y d. Reemplazando Mn = Mu/φ en la Ecuación (3), y dividiendo ambos lados de la ecuación por f'c:

𝑀𝑢

∅𝑓´𝑐𝑏𝑑2 = 𝜌𝑓𝑦 (1 −

0,5𝜌𝑓´𝑐 0,85𝑓𝑦)

Br. Osman Romero, Br. Yader Avendaño, Br. Lenin Reyes 48 Se define

𝜔 =𝜌𝑓´𝑐 𝑓𝑦 Reemplazando ω en la ecuación anterior:

𝑀𝑢

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