Análisis del ensayo de acopado hidráulico

La teoría de membranas permite establecer, en una primera aproximación, la relación existente entre las diferentes magnitudes físicas intervinientes en el proceso. En particular se quiere establecer una relación entre la tensión equivalente en el polo de la probeta y la presión ejercida para deformar la chapa, el espesor y el radio de curvatura que presenta la muestra. Dado que se restringe el análisis a chapas delgadas (baja relación entre el espesor y el diámetro de la probeta), se puede considerar que los esfuerzos de flexión son despreciables, simplificando considerablemente el análisis. Lo anterior habilita a considerar que la tensión a través del espesor ( ) sea nula, pudiéndose establecer la siguiente relación:

2

(4.1)

donde y son las tensiones principales en la superficie de la chapa, y son los correspondientes radios de curvatura de la superficie curva, es la presión hidráulica y el espesor de la chapa.

Restringiendo el análisis al caso de acopado hidráulico axisimétrico, las dos tensiones principales pueden considerarse idénticas ( ), y del mismo modo los radios de curvatura ( ), los cuales también permanecen constantes cualquiera sea el plano considerado.

(4.2)

Asumiendo un comportamiento tipo Von Mises para el material, la tensión equivalente en la chapa se calcula mediante las Ecs. (4.3) y (4.4).

̅ √ ,( ) ( ) ( ) - (4.3) ̅ (4.4)

La validez estricta de las ecuaciones anteriores, debido a la desviación de la geometría del domo, se observa sólo en el polo de la probeta. Adicionalmente, la evaluación de la curva de carga del material requiere del cálculo de la deformación plástica en el polo. Asumiendo que la forma del domo es esférica, de espesor uniforme y teniendo en cuenta la constancia de volumen, se obtiene la siguiente expresión de la deformación plástica equivalente:

̅ √ ,( ) ( ) ( ) -

(4.5)

̅ ( ) (4.6)

Se deduce de las definiciones y ecuaciones anteriores que la determinación de la curva de carga requiere del valor del espesor en el polo de la probeta ( ), del radio de curvatura ( ) y de la presión del fluido de trabajo ( ). La presión se obtiene mediante la utilización de un

transductor incorporado en el equipo. En el caso del radio de curvatura y el espesor actual de la chapa en el domo, su obtención no es directa y se deben realizar una serie de simplificaciones para su cálculo. En la literatura pueden encontrarse diferentes aproximaciones direccionadas a ello. El factor común en la mayoría de ellas es utilizar la altura del domo ( ) para expresar la evolución de tanto el radio de curvatura como el espesor de la chapa. El valor de se determina mediante la utilización de un esferómetro centrado en la parte superior de la chapa. En los apartados siguientes se presenta una breve reseña de los métodos más frecuentemente encontrados en la literatura que permiten obtener la curva tensión-deformación en este tipo de ensayos.

4.2.1 Radio de curvatura

Una de las expresiones que relacionan el radio de curvatura con la altura del domo se puede obtener de forma simple en base a argumentos geométricos, asumiendo que el domo es esférico y despreciando la influencia del radio de empalme en la cavidad de la matriz. En base a estos argumentos, Hill (1950) propuso un modelo analítico que responde a la siguiente ecuación:

(4.7)

donde es el radio de la matriz y la altura de acopado. Panknin (1959) incorporó en el análisis el efecto del radio de empalme de la matriz. No obstante, en el presente caso, la matriz de la máquina de ensayo tiene un radio de empalme que se puede considerar despreciable. Consecuentemente, el análisis se desarrolla en base a la aproximación propuesta por Hill. La Fig. 4.1 presenta un diagrama con las características principales del esferómetro incorporado en el equipo de ensayo. Nótese que es el radio interno del tubo y no es la altura total de acopado, sino aquella entre el tubo y el vástago del esferómetro.

Figura 4.1 Geometría del ensayo de acopado hidráulico.

4.2.2 Espesor en el domo

La evolución del espesor en el polo de la probeta fue analizada por varios investigadores con considerable profundidad. El común denominador consistió en encontrar expresiones cerradas (analíticas) que permitan obtener de la manera más precisa posible el valor del espesor a medida que la chapa se deforma. Hill (1950) desarrolló un método analítico en base a la cinemática de la superficie de la probeta. Chakrabarty y Alexander (1970) mejoraron la precisión del modelo de Hill teniendo en cuenta los efectos del endurecimiento por deformación en la chapa, pero a costa de introducir un proceso de iteración en el cálculo del coeficiente de endurecimiento, desconocido en un principio. Más recientemente, Kruglov et al. (2002) desarrollaron una fórmula simple basada en la hipótesis de que las deformaciones sobre el meridiano de la probeta se encuentran uniformemente distribuidas en la superficie del domo:

* ⁄

( ⁄ )+ (4.8)

Recientemente, Lăzărescu et al. (2011) modificaron la ecuación de Kruglov mediante un factor de corrección que tiene en cuenta la no uniformidad de la distribución de las deformaciones. No obstante, a partir de un estudio comparativo experimental de las diferentes aproximaciones, Koç et al. (2011) determinaron que la fórmula propuesta por Kruglov aproxima con mayor precisión la evolución del espesor durante el ensayo. En función de lo anterior se adoptó dicha aproximación en el presente trabajo.

El diagrama de flujo de la Fig. 4.2 muestra el procedimiento seguido a partir de los valores de presión y altura del acopado para el cálculo final de la tensión y deformación en el material.

Figura 4.3 Equipo de acopado hidráulico. Figura 4.4 Cabezal con esferómetro.