ANÁLISIS ESTRUCTURAL.

6.2.1 Caso particular de una membrana de espesor constante y doble radio de curvatura con la forma de superficie de revolución (domo esférico).

Un elemento estructural muy utilizado en la industria de la construcción, es el caso del domo, sujeto a acciones de carga propia o por presiones sobre su superficie.

En este estudio, se considera un cascarón esférico como se observa en la fig.(6.1)

ó fig. (2.12) que se encuentra sujeto a la acción de una carga de presión de magnitud constante, dada por unidad de área e igual a q = 50 N/m2.

Así, se tiene que los parámetros geométricos que definen al domo son de magnitud:

Fig. 6.1 Domo esférico sometido a una carga de presión uniforme q.

a=5.774 m h= 0.05 m α=60o

y las propiedades mecánicas son: E= 200 x 109 _N/m2

ν=0.3

Las direcciones de las fuerzas, y esfuerzos calculados se muestran en la fig. (6.2), al igual que el comportamiento de estados de esfuerzos supuesto que se pretende hallar mediante el cálculo analítico y numérico.

Partiendo del punto 2.4.1 (ver capítulo 2) donde se discute el comportamiento de la distribución de esfuerzos en cascarones esféricos por el método clásico (analítico), las fórmulas (2.29) para hallar las fuerzas meridionales y paralelas fig. (2.8) o fuerzas de membrana son:

Fig. 6.2 (a) Dirección de fuerzas y esfuerzos presentados en la estructura (b) Comportamiento del estado de esfuerzos supuesto.

(

)

ϕ ϕ ϕ ϕ Cos aq Sen Cos aq N + − = − − = 1 1 2 (6.1) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₋ + = ϕ ϕ θ Cos Cos aq N 1 1 (6.2)

y del punto 2.3.3 (ver capítulo 2) donde se discute el caso de cascarones de espesor constante, los esfuerzos correspondientes se obtienen la fórmula:

h N

N_ϕ = _θ =−σ (6.3)

Los valores obtenidos después de realizar los cálculos para las fuerzas y los esfuerzos σϕ y σθ se presentan en la tabla 6.1. Estos fueron calculados cada dos

grados, hasta tener una abertura de α=600 por ser éste un caso específico.

Tabla 6.1 Distribución de esfuerzos principales por el método analítico.

GRADOS ro (m) Nϕ (N) Nθ (N) σϕ (N/m2) σθ (N/m2) 2 0.20150969 -144.467086 -144.130151 -2889.34173 -2882.60303 4 0.40277388 -144.599202 -143.470712 -2891.98404 -2869.41424 6 0.60354735 -144.819753 -142.372003 -2896.39505 -2847.44006 8 0.80358548 -145.129278 -140.834555 -2902.58556 -2816.69109 10 1.00264458 -145.528536 -138.859105 -2910.57073 -2777.1821 12 1.2004821 -146.018511 -136.446592 -2920.37022 -2728.93185 14 1.39685703 -146.600413 -133.598149 -2932.00826 -2671.96297 16 1.59153009 -147.275689 -130.31509 -2945.51378 -2606.3018 18 1.78426413 -148.046028 -126.598905 -2960.92056 -2531.97811 20 1.97482431 -148.913371 -122.451244 -2978.26743 -2449.02489 22 2.16297847 -149.879923 -117.873901 -2997.59846 -2357.47802 24 2.34849738 -150.948161 -112.868798 -3018.96322 -2257.37597 26 2.531155 -152.120852 -107.437969 -3042.41703 -2148.75937 28 2.7107288 -153.401066 -101.583531 -3068.02131 -2031.67063 30 2.887 -154.792195 -95.3076704 -3095.84389 -1906.15341 32 3.05975383 -156.297971 -88.6126074 -3125.95942 -1772.25215 34 3.22877982 -157.92249 -81.5005723 -3158.4498 -1630.01145 36 3.39387205 -159.670234 -73.9737713 -3193.40469 -1479.47543 38 3.55482936 -161.546102 -66.0343513 -3230.92204 -1320.68703 40 3.71145566 -163.555435 -57.684361 -3271.1087 -1153.68722 42 3.86356012 -165.704056 -48.925708 -3314.08112 -978.514161 44 4.01095743 -167.998302 -39.7601118 -3359.96604 -795.202236 46 4.15346801 -170.445072 -30.1890517 -3408.90143 -603.781035 48 4.29091822 -173.051867 -20.2137102 -3461.03734 -404.274204 50 4.42314061 -175.826848 -9.83491011 -3516.53696 -196.698202 52 4.54997409 -178.778891 0.94695438 -3575.57783 18.9390875 54 4.67126413 -181.917654 12.1319938 -3638.35307 242.639876

56 4.78686294 -185.253644 23.7209074 -3705.07288 474.418149

58 4.89662971 -188.798307 35.7150764 -3775.96615 714.301529

60 5.00043068 -192.564112 48.1166667 -3851.28223 962.333333

El esfuerzo meridional varía desde un valor máximo a un mínimo: σϕmax= –2889.34 N/m2 σϕmin= –3851.28 N/m2

de la misma manera el esfuerzo paralelo registra un valor máximo y mínimo: σθmax= 962.33 N/m2 σθmin= -2882.60 N/m2

Es importante observar, que dada la simetría de la estructura, en el punto más alto, los esfuerzos longitudinales y meridionales son máximos. Estos a su vez son los esfuerzos principales. Sin embargo, por las condiciones de apoyo, no se observa dicha simetría en la zona inferior del cascarón.

Respecto al cálculo de la deformación máxima, ésta se calcula desde la cúspide de la estructura. Para el cálculo de este desplazamiento se parte de:

(

)

_ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ν sen cos 1 sen ) cos 1 log( sen 1 2 C Eh q a v _⎥+ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + = (6.4)

donde la constante C se calcula por la condición de que para ϕ=α, el desplazamiento v es cero por ser punto de apoyo. De manera que se escribe:

(

)

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− +} + + = log(1 cos ) cos 1 1 1 2 α α ν Eh q a C (6.5) y a partir de: a w a v ₋ = ϕ ε_θ cot (6.6)

se puede obtener el desplazamiento w que se produce en la dirección vertical. Y como:

(

θ ϕ

)

θ ν ε N N Eh − = 1 (6.7)

se obtiene la componente de deformación εθ, ahora de la ec. (6.6) se tiene que: θ

ε

ϕ a

v

del cual después de sustituir los valores requeridos y de evaluar a lo largo de α hasta que ϕ=α se obtiene que el desplazamiento máximo es de 1.565 x 10-6 m, cuyo valor se espera que converja con la solución numérica. Este desplazamiento se presenta en la cúspide de la estructura.

6.2.2 Solución por ANSYS del caso particular de una membrana de espesor constante y doble radio de curvatura con la forma de superficie de revolución (domo esférico).

La solución del presente problema comienza por la modelación del domo en cuestión. Esto se genera por la rotación de una curva que describe la figura y geometría real del problema.

Posteriormente, se discretiza el dominio y se aplican las restricciones . En la fig. (6.3) se muestra la discretización del dominio así como de las condiciones de frontera, estando el domo empotrado en su base y bajo una carga de presión actuando sobre su superficie externa. El tipo de elemento utilizado en este modelo finito es el Cascarón membrana 41, descrito en el capítulo 5.

Enseguida, se aplica una carga de presión uniforme sobre la superficie externa y se soluciona el problema. Los resultados que se obtienen se muestran en la tabla 6.2 para diversos números de nodos sobre el modelo finito. La red con 126 elementos es la que mejor aproximación arrojó respecto al cálculo analítico del esfuerzo σϕ máximo por ser quien causa la deformación máxima en la cima de la

estructura, también porque con esta red el esfuerzo σθ máximo converge con el

obtenido analíticamente.

Tabla 6.2 Esfuerzos obtenidos en el sentido meridional y latitudinal. (N/m2) Esfuerzo σϕ meridional Esfuerzo _latitudinal σθ

No.

Análisis Elementos No.

Máxima Mínima Máxima Mínima

Deformación x 10-6 (m) Fig. 6.3 Modelo del Elemento Finito con condiciones de frontera.

1 110 -2585.0 -3328.0 848.49 -2786.9 0.158 2 121 -2682.3 -3582.3 947.37 -2864.0 0.167 3 126 -2689.8 -3667.3 964.00 -2966 0.167 El comportamiento del esfuerzo latitudinal σθ con respecto al ángulo de abertura α

se ilustran en la fig. (6.4) donde se aprecia la variación en la magnitud y sentido del esfuerzo. Se

recuerda que en este cálculo el ángulo de 00 corresponde a la cima de la estructura, mientras que a los 600 a los bordes de ésta. De la misma manera, en la fig

(6.5) se muestra

graficada la relación esfuerzo meridional- Ángulo de abertura (σϕ-

α). Se aprecia que este esfuerzo es siempre de

compresión debido al peso de la estructura.

-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 2 8 _{14 20 26 32 38 44 50 56} Ángulo de abertura Esfuerzo l ati tudi na l

Fig. 6.4 Comportamiento del esfuerzo latitudinal σθ con respecto al

ángulo de abertura α.

En la fig. (6.6) se muestra la distribución de esfuerzos obtenidos para el primer esfuerzo principal, el cual es el esfuerzo meridiano σϕ

obtenido analíticamente. Además que el esfuerzo más grande se halla actuando en dicha dirección. Este estado de esfuerzos presenta una particularidad en la forma de distribuirse sobre la

estructura, pues es un estado de compresión hacia la cima de éste mientras que se invierte de sentido conforme el ángulo ϕ se incrementa. Para cuando este ángulo sobrepasa los 51o 50’ grados, el estado de esfuerzos es de tensión hasta llegar a la base de la estructura. Este mismo estado de esfuerzos se encontró por el método analítico y por el método numérico. En otras palabras hay convergencia en la solución. -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 2 8 _{14 20 26 32 38 44 50 56} Ángulo de abertura Esfuerzo meridional

Fig. 6.5 Comportamiento del esfuerzo meridional σϕ respecto al ángulo

Fig. 6.6 Distribución de esfuerzo meridional (vista superior) con una malla de 121 elementos.

En la fig. (6.7) se presenta la distribución de esfuerzos en el sentido latitudinal, siendo ésta siempre de compresión. Este comportamiento es de esperarse, debido a que dicho esfuerzo es el que soporta la carga de la estructura. Este esfuerzo es también el esfuerzo principal σ2 sobre la base de que registra las magnitudes más

bajas con respecto al esfuerzo latitudinal (σθ o σ1).

Fig. 6.7 Distribución de esfuerzos en el sentido latitudinal con una malla de 110 elementos.

La geometría deformada del domo después de haber sido aplicada la carga y considerado las condiciones de borde se muestra a continuación fig. (6.8), en

donde se puede observar que el mayor desplazamiento ocurre en la cima de ésta debido al peso del cuerpo. Esta deformación máxima es de 0.167 x 10-6 _m.

Fig. 6.8 Geometría del domo deformado después de aplicar la carga.

6.2.3 Comparación de los resultados obtenidos por el método analítico y numérico (ANSYS5.3).

Sobre la base de que la carga es simétrica, entonces no se generan esfuerzos cortantes. Por lo tanto, σ1 es el esfuerzo principal máximo. En nuestro caso se

puede decir que la dirección del σ1 es la misma que el esfuerzo σθ siendo de

compresión en la cima de la estructura y de tensión cerca de su borde. Esto se debe a las condiciones de frontera a que existe un cambio de sentido en la dirección al sobrepasar los 51o 50’. La fig. (6.9) muestra el rango de esfuerzos calculados analítica y numéricamente. Similarmente, el σ2 es el σϕ debido a que en

esa dirección se producen los menores esfuerzos actuando en forma de compresión, y este esfuerzo es en el que recae la carga de la estructura. La fig. (6.10) muestra la convergencia entre la solución analítica y numérica.

-3500 -3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2 _{10 18 26 34 42 50 58} Ángulo de abertura Esfuerzo latitudinal Analítico Numérico

-5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 2 _{10 18 26 34 42 50 58} Ángulo de abertura ESfuerzo meridiona l Analítico Numérico

Fig. 6.10 Comportamiento del esfuerzo principal 2 respecto al ángulo de abertura

α.

La deformación máxima calculada en ambos métodos también resulta convergente, y en ambas soluciones, el desplazamiento se localiza en la cima de la estructura provocando un aplastamiento. Por otra parte, en el borde de la estructura no se registran deformaciones debido a que ésta está totalmente empotrada. La fig (6.11) exhibe

la deformación máxima.

La solución obtenida por ambos métodos converge tanto en los valores máximos, mínimos y en el rango intermedio. De este tipo de estructura, se puede decir que con el análisis efectuado, ésta queda caracterizada de manera que se sabe en que dirección y sentido actúan los esfuerzos principales. También es importante mencionar que esta caracterización obedece a una

condición de frontera específica, porque al variar ésta, el estado de esfuerzos puede cambiar.

Fig. 6.11 Deformación máxima calculada en la cúspide del domo.

6.2.4 Membrana cilíndrica con una carga externa puntual actuando en el

centro de la longitud.

La teoría de membrana predice con exactitud el estado de esfuerzos cuando una estructura se somete bajo la acción de fuerzas de presión distribuidas ya sea uniformemente o que varíen sobre el cuerpo de la membrana. Pero existe una particularidad, pues esta teoría no es adecuada para calcular estados de

esfuerzos y deformaciones en donde la carga no sea aplicada en forma de presión. De esto se deriva que el problema propuesto en este punto es la de calcular la deformación máxima que se obtiene en la estructura de membrana cuando ésta se le aplica una carga

puntual. Para esto, se parte del trabajo de Ashwell en [6.1] donde presenta este problema y utiliza el MEF como herramienta de aproximación numérica y compara su resultado con los obtenidos por otros investigadores.

La solución a este problema comienza cuando en la fig. (6.12) se presenta el modelo estructural el cual se encuentra bajo la acción de una carga puntual. Las condiciones de frontera en el cilindro en sus bordes se encuentran libres de restricciones. Las propiedades del material y el valor de la carga puntual son:

Fig. 6.12 Membrana circular con una carga puntual externa. a= 0.1258 m (4.953 pulg) h= 0.00039 m (0.0154 pulg) E= 72450 MPa (10.5 x 106 lb/pulg2) v= 0.31250 l= 0.2628 m (10.35 pulg) P= 0.44 N (0.1 lb)

Revisando en la bibliografía se encontró que Timoshenko en [6.2] desarrolla un procedimiento matemático el cual tiene como fin hallar una expresión que calcule el desplazamiento ocurrido en el punto de aplicación de la carga, siendo ésta puntual y de acuerdo a las condiciones de frontera a la que se halla expuesto el cilindro. La expresión escrita en forma de serie es:

∑

= = − = 6... 4, , 2 2 2 3 0 ) 1 (n 1 2 ) ( n Dl Pa w π ϕ (6.9)

o también puede escribirse como:

Dl Pa 2 149 . 0 3 (6.10)

donde: w= Desplazamiento en el punto de aplicación de la carga. P= Carga puntual.

n= Número entero positivo hasta la cual se requiera aproximar la solución.

D= Rigidez geométrica. L= Longitud del cilindro.

El valor de la deformación en el punto de aplicación calculada por la expresión 6.10) es de 0.000632 m (0.0249 Pulg). Esta viene a ser una solución analítica y será comparada con una solución numérica y con los valores obtenidos por otros investigadores.

6.2.5 Solución numérica de una membrana cilíndrica con una carga externa puntual actuando en el centro de la longitud.

La generación del modelo finito se obtuvo a partir de las condiciones geométricas y de frontera que se describe en el punto anterior anterior. Se modeló solo la mitad del cilindro fig. (6.13) el cual se discretizó obteniéndose una malla de 16 x 16, debido a que esta discretización cumple el mismo criterio utilizado por la mejor aproximación obtenida numéricamente por Ashwell y Sabir en [6.3]. En este problema se utilizó el elemento Cascarón membrana 63. Asimismo, los nodos en el plano de corte, únicamente tienen

restringido el movimiento vertical. Aunque como solo se modeló la mitad del cilindro, se aplicaron condiciones de simetría en los bordes.

En la fig. (6.14) muestra el campo de esfuerzos sobre la superficie del cilindro, donde puede apreciarse que se presenta una particularidad en su distribución en el cuerpo del cilindro. Bajo estas condiciones, el esfuerzo máximo se localiza en el punto en que la carga se aplicó. Esto concuerda con la teoría de la

membrana, la cual predice que se provocan grandes esfuerzos y desplazamientos en el punto de la aplicación de la carga debido a que existe una singularidad en ella y que las verdaderas fuerzas de membranas se presentarán en las zonas alejadas a dicho punto.

Fig 6.13 Modelo discretizado con una carga concentrada P, con condiciones de simetría en los bordes.

El valor obtenido mediante el cálculo numérico es de: 0.00006102 m (0.024248 pulgadas).

Respecto a la deformación obtenida, la teoría de membranas dice que ésta será grande cuando la carga se aplica en un punto del elemento estructural y que por una teoría básica de membrana no se puede calcular debido a que no obedece a la teoría de pequeñas deflexiones, pues recuérdese que la geometría no debe ser afectada grandemente para mantener el equilibrio estático. Debido a esto, cuando se tiene una condición de carga como la que se presenta en este problema, es necesario que la teoría de membrana requiera de consideraciones particulares o planteamientos muy específicos para conocer el valor de las deformaciones que se producen en puntos singulares. En la fig. (6.15) se muestra la deformación de la geometría cilíndrica después de ser aplicada la carga.

Fig. 6.14 Distribución del esfuerzo principal σ1 en el punto de aplicación

de la carga y en sus alrededores.

6.2.6 Comparación de resultados obtenidos por ANSYS5.3 con los valores obtenidos por diversos investigadores.

Este tipo de problemas es de especial interés en el análisis de estados de esfuerzos en membranas porque presenta una particularidad a la teoría de membrana, debido a cargas puntuales. También, porque se considera importante calcular sobre todo, la magnitud de la deformación ocurrida en el punto de aplicación de la carga. Debido a esto, Ashwell y Gallagher en [6.1] muestran un desarrollo en el ámbito numérico para poder calcular este tipo de problemas y de la complejidad que se implica en el desarrollo de una teoría adecuada para dicho fin.

Los resultados mostrados en [6.3] donde Ashwell presenta su solución y las obtenidas por diversos investigadores se resumen en la tabla 6.3. Es importante mencionar que los resultados expuestos en dicha tabla son numéricos, es decir fueron obtenidos a partir del MEF y que las deformaciones están dadas en pulgadas debido a que los investigadores reportaron sus soluciones en dicho sistema de unidades.

Cabe resaltar, para dar importancia el que del presente análisis, se halló una solución analítica en el cálculo de la deformación máxima, debido a que en [6.1]

sólo muestra resultados numéricos. De esto se puede decir que es la deformación hallada en el sentido vertical de la membrana cilíndrica parte de una teoría de deformaciones “inextensional” donde las componentes de las deformaciones en la superficie media se igualan a cero.

Tabla 6.3 Deflexiones obtenidas por una carga externa puntual en una membrana cilíndrica. El resultado obtenido analíticamente por Zenteno es de 0.0249 pulgadas (0.00006324 m).

Elementos Ashwell y

Sabir [6.2] Thomas y Gallagher

[6.1]

Cantin y

Clough [6.3] Sabir y Lock [6.2] ANSYS5.3 Zenteno

1 0.2301 0.00003 0.00001 0.00001 2 0.01582 0.00063 4 0.02403 0.02327 0.00074 6 0.02440 8 0.02406 0.02467 0.00700 0.00691 16 0.02414 0.00699 0.00694 24 0.02418 0.00699 0.00696 64 0.02431 0.00708 0.00706 64 0.0240248

También se plantea que el caso presentado en este trabajo, con condiciones de carga puntuales diametralmente en el punto medio del cilindro y con los bordes

libres, es sólo un caso específico (ec. 6. 10). En este trabajo se empleó la expresión satisfactoria correpondiente (ec. 6.9) para esta situación, pués la ecuación que describe este comportamiento se desprende de un caso general, donde las cargas no necesariamente se encuentran en la parte media del cilindro sino que puede ser a cualquier longitud de ésta. Lo mismo sucede con el ángulo de aplicación de la carga, donde ésta no necesariamente deben encontrarse diametralmente sino que puede variar el ángulo de la aplicación de ésta. Con esto se concluye que la solución a este tipo de problemas está disponible para diversos parámetros geométricos. Finalmente, se debe hacer notar que la solución analítica converge con el resultado numérico de este trabajo y hay correspondencia con los resultados de [6.2] y [6.]. En los otros casos, se considera que la red es rígida y no es apta para este tipo de análisis, por el contrario ANSYS tiene la capacidad de atacar este tipo de problemas con complejidades de manera satisfactoria.

In document Análisis del estado de esfuerzos, vibración y pandeo de membranas (página 145-157)