ANÁLISIS DE LOS TIPOS DE PROBLEMAS

En este primer nivel de análisis, se pretende hacer una identificación de las prácticas matemáticas propuestas por la secuencia didáctica, entendidas como aquellas acciones o manifestaciones (lingüísticas o de otro tipo) realizadas a lo largo del proceso de instrucción, en cuanto a los problemas matemáticos involucrados, su resolución, comunicación o generalización a otros contextos y problemas.

Actividad 1

Las situaciones problema propuestas para cada una de las actividades de la secuencia son de naturaleza intramatemática, pues, en todos los casos, la tarea consiste en aplicar una técnica de acercamiento mediante el software, con objeto de visualizar la linealidad local de una curva en un punto.

En el caso particular de la Actividad 1, el propósito es el de conducir al alumno desde su noción de recta tangente como la que toca un solo punto de la circunferencia, hasta la conjetura de que la recta tangente puede tocar a la curva en más de un punto o cortarla y seguir siendo tangente en la zona de corte.

Como sistema de prácticas podemos identificar el siguiente:

- Lectura y comprensión del texto impreso en la Hoja de Trabajo de la Actividad 1. - Manipulación del applet Linealizador con objeto de observar la linealidad local de la

curva en un punto dado, mediante acercamientos sucesivos.

- Determinación visual del valor numérico de la pendiente del segmento visualizado. - Identificación de la pendiente del segmento visualizado con el valor de la pendiente

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- Manipulación del applet Linealizador con objeto de observar la construcción de la recta tangente sobre la curva en el punto dado, mediante alejamientos sucesivos. - Identificación analítica de la ecuación de la recta tangente encontrada.

- Verificación visual de la validez de la definición de recta tangente como la que toca un solo punto de una curva, y tiene en dicho punto la misma pendiente que la curva. - Redefinición de la recta tangente como aquélla que tiene en las cercanías del punto

de tangencia la misma pendiente que la curva, lo que la hace localmente indistinguible de ésta.

Actividad 2

Las situaciones problema propuestas por esta actividad, se orientan hacia la aplicación de la técnica de acercamiento, con objeto de visualizar la linealidad local de una curva en un punto, y lo mismo sucede con las actividades 3, 4, 5 y 6 de la secuencia. El propósito general de estas cinco actividades es que, a partir de la gráfica de f y desde la noción de linealidad local, el alumno se apoye en la interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de la recta tangente, para llegar a la identificación de la expresión analítica de la función derivada, f ´.

Para esta Actividad 2, podemos identificar el siguiente sistema de prácticas:

- Lectura y comprensión del texto impreso en la Hoja de Trabajo de la Actividad 2. - Manipulación del applet Linealizador con objeto de observar la linealidad local de

una terna de rectas, mediante acercamientos sucesivos.

- Determinación visual del valor numérico de la pendiente del segmento visualizado para cada punto propuesto.

- Identificación de la pendiente del segmento visualizado con el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto dado.

- Tabulación de los valores de la pendiente de la recta tangente correspondientes a las abscisas de los puntos de tangencia dados.

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- Construcción de la gráfica de la función que expresa la pendiente de la recta tangente para cada punto de abscisa x.

- Identificación de la expresión analítica de la función que expresa la pendiente de la recta tangente para cada punto de abscisa x, con base en conocimientos previos sobre gráficas de funciones.

- Identificación de la expresión analítica correspondiente a la curva original, con base en conocimientos previos sobre gráficas de funciones.

- Relación entre el comportamiento creciente o decreciente de una función lineal y el signo de la pendiente de su recta tangente.

Actividad 3

Como sistema de prácticas podemos identificar el siguiente:

- Lectura y comprensión del texto impreso en la Hoja de Trabajo de la Actividad 3. - Manipulación del applet Linealizador con objeto de observar la linealidad local de

una selección de seis parábolas, mediante acercamientos sucesivos.

- Determinación visual del valor numérico de la pendiente del segmento visualizado para cada punto propuesto.

- Identificación de la pendiente del segmento visualizado con el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto dado.

- Tabulación de los valores de la pendiente de la recta tangente correspondientes a las abscisas de los puntos de tangencia dados.

- Construcción de la gráfica de la función que expresa la pendiente de la recta tangente para cada punto de abscisa x.

- Identificación de la expresión analítica de la función que expresa la pendiente de la recta tangente para cada punto de abscisa x, con base en conocimientos previos sobre gráficas de funciones.

- Identificación de la expresión analítica correspondiente a la curva original, con base en conocimientos previos sobre gráficas de funciones.

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- Relación entre el comportamiento creciente o decreciente de una función cuadrática y el signo de la pendiente de su recta tangente.

- Identificación de los efectos de la traslación vertical u horizontal de una parábola, sobre la gráfica de la función que expresa la pendiente de la recta tangente.

Actividades 4, 5 y 6

En estas tres actividades didácticas se identifica un sistema de prácticas similar al de la Actividad 3, sólo que el enfoque se orienta hacia funciones polinomiales de grados 3 y 4 en la Actividad 4, hacia una selección de funciones trascendentes en la Actividad 5, y hacia la función exponencial natural en la Actividad 6. Con la intención de no complicar demasiado la tarea esencial, en estas actividades no se atiende a los efectos de trasladar vertical u horizontalmente la curva, pues, al respecto, las nociones abordadas en la Actividad 3 se consideran suficientes para un tratamiento posterior más profundo.

La Actividad 6 presenta una variante que es importante destacar: los valores de la pendiente del segmento visualizado para cada abscisa estudiada, no pueden ser determinados de manera exacta, dada la naturaleza de la función exponencial natural. En este caso, se pide al estudiante que aproxime, lo mejor posible, cada valor, y se espera que, al construir la gráfica de la función pendiente de la recta tangente, observe que, a diferencia de las otras actividades, la curva resultante cae sobre la correspondiente a la función f.

Actividad 7

El objetivo de esta actividad es esencialmente distinto al de las actividades precedentes, ya que busca poner al estudiante en contacto con la noción visual de no derivabilidad en

un punto. Así, en dos de los casos, el propósito es llevar al estudiante a concluir que la

diferencia entre una curva suave y otra que presenta algún cambio abrupto en su comportamiento gráfico, radica en que sea posible o no reemplazarla localmente por un segmento de recta único, mientras que, en un tercer caso, se busca que el alumno identifique que la derivabilidad en un punto está relacionada con un valor real de la pendiente de la recta tangente en dicho punto.

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En esta séptima actividad, como sistema de prácticas podemos identificar el siguiente: - Lectura y comprensión del texto impreso en la Hoja de Trabajo de la Actividad 7. - Manipulación del applet Linealizador con objeto de observar la linealidad local de

una curva en un punto dado, mediante acercamientos sucesivos.

- Utilización del lenguaje, verbal y/o gráfico, para explicar la imposibilidad de visualizar un comportamiento localmente lineal de la curva en el punto dado.

La identificación de estos elementos que conforman el sistema de prácticas identificado para cada actividad didáctica, permite observar el papel ejecutor del estudiante en el desarrollo de la tarea matemática, con apoyo en las indicaciones de la Hoja de Trabajo y en la eventual intervención del profesor, como conductor del proceso de instrucción.