An´alisis de estabilidad local de los puntos cr´ıticos

En las tablas C.7 y C.8, se presenta una informaci´on (parcial) sobre el car´acter din´amico de estos puntos, a saber, la localizaci´on en el espacio de fase, las condiciones de existencia y el par´ametro de desaceleraci´on, q, los valores propios del sistema linealizado en una vecindad del punto, el car´acter din´amico y el valor del par´ametro de la ecuaci´on de estado de la energ´ıa oscura, w. Mas adelante completaremos esta informaci´on identificando los modelos cosmol´ogicos representados por los puntos cr´ıticos de nuestro sistema din´amico, y en el caso de los puntos cr´ıticos aislados; tambi´en comentaremos acerca de su geometr´ıa. Finalmente presentaremos algunas simulaciones num´ericas que soportan nuestros hallazgos. Notemos que en el caso de los sistemas din´amicos 3D es en general dif´ıcil de extraer informaci´on suficiente del sistema sin recurrir a la investigaci´on num´erica [100]. La necesidad

CASO FRW PLANO 71 de utilizar herramientas num´ericas se manifiesta particularmente en el problema que no interesa tratar, dado que los estados asint´oticos e intermedios tienen la misma relevancia en nuestro estudio. Con esto en mente, no solo deseamos mostrar que nuestro sistema admite soluciones con par´ametro de ecuaci´on de estado w > ₋1 y otro con w < ₋1, sin´o que tambi´en queremos mostrar como puede ocurrir la transici´on sin necesidad de ajustar finamente las condiciones iniciales. En nuestro caso

w= x 2 φ−x2ϕ−y2 x2 φ−x2ϕ+y2 , (3.3.29)

el cual evaluaremos luego en cada punto cr´ıtico.

Luego, si alguno de los l´ımites asint´oticos de nuestro modelo debe describir adecuadamente el uni- verso actual, esta debe ser una soluci´on acelerada. Por tanto las soluciones no aceleradas deben ser asint´oticamente inestables, o dicho de otra manera, ellas no deben ser favorecidas por las condiciones iniciales. En este sentido solo los casos en queP es estable son satisfactorios.

Como puede deducirse de las tablas C.7 y C.8, muchas de las caracter´ısticas de nuestro sistema din´amico dependen del valor de la cantidadδ ≡m2−n2. Nos podemos dar cuenta casi inmediatamente de la relevancia de esta magnitud al notar que

6δ= 6(m2₋˜n2) = µ V,φ V ¶2 − µ V,ϕ V ¶2 , (3.3.30)

o sea, la cantidad que indica la existencia de un atractor o el otro compara la pendiente del potencial en dos direcciones diferentes, o equivalentemente, ella compara cuan r´apido los campos escalares liberan (adquieren) energ´ıa potencial cuando ellos ruedan hacia abajo (escalan) el potencial. A diferencia del caso con un solo campo escalar con potencial exponencial, en el caso de dos campos escalares, podemos tener una expansi´on acelerada a´un si el potencial no es suficientemente plano. Lo que interesa aqu´ı no es exactamente cu´an plano el potencial es, sino que lo que importa, esencialmente, es cuanto m´as plano es en una direcci´on que en la otra.

Despu´es de estas aclaraciones preliminares, seremos m´as espec´ıficos sobre el car´acter de los puntos cr´ıticos aislados y no aislados de nuestro sistema.

El punto O representa una soluci´on desacelerada dominada por materia. Es una silla, y su car´acter inestable (ver las figuras B.6-B.9) coincide con lo que ya hab´ıamos anticipado. Tales soluciones se espera que sean relevantes en la caracterizaci´on del universo temprano (espec´ıficamente para la ´epoca de desacople materia–radiaci´on). Las variables que hemos utilizado no nos permiten conocer el valor del par´ametro de la ecuaci´on de estado correspondiente a este caso (por que no conocemos las valores de las diferentes razones entre xφ, xϕ y y). Para esta tarea posiblemente requeriremos el uso de un

CASO FRW PLANO 72 conjunto alternativo de variables m´as adecuadas para la descripci´on del universo temprano, pero esto es de poco inter´es en el contexto de esta secci´on.

Las curvasC_± representan soluciones en las cu´ales la contribuci´on de la materia y la energ´ıa potencial a la densidad de energ´ıa total es despreciable. Estas soluciones son entonces de tipo fluido r´ıgido (stiff-fluid, w = 1), las cuales a su vez corresponden a universos desacelerados. El car´acter inestable de estas soluciones significa que ellas no son favorecidas desde el punto de vista de las condiciones iniciales y por tanto es improbable que ellas representen el estad´ıo final en la evoluci´on de nuestro universo.

El punto T representa una soluci´on para la cual la EO quintasma escala con la MO (la ecuaci´on de estado del quintasma es de tipo polvo), y cuando este punto cr´ıtico existe es un atractor. Este estado asint´otico de tiempo reciente representa un modelo cosmol´ogico desacelerado en el cual la raz´on entre las densidades de energ´ıa de la materia y de la EO son proporcionales. De acuerdo a la estructura de valores propios de esta soluci´on esta puede ser o bien una silla o un nodo espiral. Como estas soluciones no son compatibles con el universo actual, los modelos de energ´ıa quintasma con este tipo de atractor no son satisfactorios. Curiosamente, la existencia de esta soluci´on es completamente inherente a la interacci´on entre los dos campos escalares. Su existencia, al menos en nuestro marco de trabajo, indica que los modelos de energ´ıa quintasma pueden admitir otros atractores diferentes que los usuales atractores fantasma y atractores de de Sitter, un hecho que no hab´ıa sido se˜nalado en la literatura con anterioridad (hasta donde conocemos).

El punto P representa una soluci´on en la cual la EO quintasma domina sobre la materia (la ecuaci´on de estado del fluido quintasma corresponde a un fluido es cual se corre al rojo m´as r´apido que el polvo). Este estado asint´otico de tiempo reciente no necesariamente representa un modelo cosmol´ogico acelerado, eso depende de la cantidad δ = m2₋n2. Debido a la naturaleza de sus valores propios, esta soluci´on es o bien una silla o un nodo estable. Las soluciones aceleradas asociadas a este punto cr´ıtico pueden proporcionar un buena representaci´on del universo actual. El potencial que hemos seleccionado nos permite caracterizar a este punto por su valor del par´ametro de la ecuaci´on de estado

w <₋1, mientras que en los modelos de energ´ıa quintasma estudiados en [56, 57] el atractor satisfac´ıa

w=−1 necesariamente.

De acuerdo a sus valores propios, en principio los puntos cr´ıticos T y P pueden tener tres o dos comportamientos din´amicos diferentes. 7 No obstante, en algunos casos que un punto cr´ıtico tenga determinado tipo de comportamiento fuerza la no existencia del otro punto. Adicionalmente, las

7_{El puntoT puede ser bien una silla, un nodo espiral , o un nodo estable. El punto cr´ıticoP puede ser una silla o un}

CASO FRW PLANO 73 condiciones de existencia de estos puntos por un lado y los experimentos num´ericos por otro lado, nos permiten identificar las secuencias heterocl´ınicas de estos modelos.