An´alisis de sensibilidad al cambio de forma

En esta secci´on presentamos los conceptos fundamentales para calcular la derivada con res- pecto al cambio en la forma del dominio donde est´a definido el problema que se est´a estudiando. Desde el punto de vista matem´atico este caso es m´as complejo que el de la sensibilidad al cam- bio en los coeficientes que aparecen en la ecuaci´on diferencial. La presentaci´on ser´a desarrollada siguiendo las ideas explicadas en la secci´on previa.

Supongamos que el fen´omeno o sistema que estamos estudiando est´a gobernado por el si- guiente problema: _½

HallaruΩ∈

W

(Ω)tal que

a_Ω(u_Ω,v) =l_Ω(v), ∀v∈

W

(Ω), (4.23)

donde

W

(Ω) es un espacio de Hilbert apropiado,aΩ(·,·)es una forma bilineal sim´etrica, coer-

citiva y continua, ylΩ(·) una forma lineal continua. Con el sub´ındice Ωqueremos enfatizar la

dependencia dea(·,·),l(·)yuen el dominioΩ.

Al igual que en la secci´on previa asumimos que para este sistema tenemos un funcional costo Ψque depende deΩde manera expl´ıcita y tambi´en de manera impl´ıcita a trav´es de la soluci´on del problema (4.23). Por lo tanto tenemos

ψ(Ω) =Ψ(Ω,u_Ω). (4.24)

El objetivo es encontrar un dominioΩ∗_{perteneciente a una familia}

_A

_{de dominios admisibles}

tal que:

ψ(Ω∗)≤ψ(Ω), ∀Ω∈

A

. (4.25) Nuevamente, notemos que hallar un dominio ´optimo implica los siguientes problemas:(i)existen- cia de un dominio ´optimo,(ii)dar una caracterizaci´on de los dominios ´optimos y(iii)construcci´on de un algoritmo que calcule el o los dominios ´optimos. Estos dos ´ultimos problemas est´an asocia- dos con el c´alculo de la derivada de la aplicaci´on:

Ω→ψ(Ω)∈R. (4.26)

Un inconveniente para definir tal derivada es que el conjunto

A

carece de una estructura de espacio vectorial. Una manera de resolver esto es utilizar el m´etodo propuesto originalmente en [81] y tambi´en desarrollado en [41], conocido en la literatura como “speed method”. La idea central del m´etodo consiste en: dado un campo vectorialV :Rn_→Rn_{, definir un mapa desde el dominio de}

referenciaΩa un nuevo dominio perturbado de la siguiente manera

xt=pt(x) =x+tV(x), t∈R+. (4.27)

dondeR+_{={t≥0}. En palabras, este m´etodo simula un transformaci´on gradual en la forma del}

dominio de referencia, de acuerdo a una direcci´on conocidaV, a un dominio perturbado definido por:

Ωt ={xt ∈Rn:∃x∈Ω,xt=pt(x)},

∂Ωt ={xt ∈Rn:∃x∈∂Ω,xt=pt(x)}.

En esta nueva configuraci´on perturbadaΩ_t debemos considerar una nueva ecuaci´on de estado:

½

Hallaru_Ωt ∈

W

(Ω_t)tal que

4.3. AN ´ALISIS DE SENSIBILIDAD AL CAMBIO DE FORMA 45

Aqu´ıuΩt es la respuesta del sistema en la nueva configuraci´on perturbadaΩt y el nuevo valor de la funci´on costo est´a dado por

ψ(Ωt) =Ψ(Ωt,uΩt).

De esta forma, tenemos que la sensibilidad deψcausada por una perturbaci´on del sistema en la direcci´on del campoV es

˙ ψ(Ω;V) = l´ım t→0 ψ(Ωt)−ψ(Ω) t (4.28) = l´ım t→0 Ψ(Ω_t,u_Ωt)−Ψ(Ω,u) t , uΩt ∈

W

(Ωt),u∈

W

(Ω). (4.29) Hay que resaltar que en la expresi´on de arriba los elementosu y uΩt pertenecen a espacios to- pol´ogicos distintos. Una manera ´util de calcular (4.28) se obtiene utilizando el mapa definido en la ecuaci´on (4.27) de manera tal de transformar todas las expresiones definidas en la configura- ci´onΩt a expresiones definidas en la configuraci´on de referenciaΩ. Por ejemplo, la soluci´on a la

ecuaci´on de estado ser´a ahora

u_t(x):=u_Ωt(p_t(x)) =u_Ωt(x_t), (4.30) funci´on definida en el dominio de referenciaΩ, es decirut∈

W

(Ω). Por su parte, la funci´on costo

est´a ahora definida por

Ψ(Ω,t,ut):=Ψ(Ωt,uΩt) =ψΩt◦pt(Ω). (4.31) La situaci´on original se recupera cuandot=0, obteniendou0=uΩ=:uyΨ(Ω,0,u0) =Ψ(Ω,u).

Realizando el mismo cambio de variables la ecuaci´on de estado puede ser reescrita como:

½

Hallarut∈

W

(Ω)tal que

at(ut,v) =lt(v), ∀v∈

W

(Ω), (4.32)

dondeat :

W

(Ω)×

W

(Ω)→Rylt :

W

(Ω)→R. Finalmente la sensibilidad deψcausada por

una perturbaci´on del sistema en la direcci´on deV est´a dada por ˙

ψ(Ω;V) =l´ım

t→0

Ψ(Ω,t,u_t)−Ψ(Ω,0,u)

t , ut,u∈

W

(Ω). (4.33)

si este l´ımite existe y lo llamaremos derivada de forma.

4.3.1. Una metodolog´ıa para calcular la derivada de forma.

Como vimos en la secci´on previa, el m´etodo propuesto en [81] conocido como “speed method” puede ser interpretado de la siguiente manera. Dada una direcci´on de perturbaci´onV, la variable de dise˜noΩest´a controlada de manera ´unica por el par´ametrot∈R+_{. De esta manera la derivada}

de forma de la funci´on costo, en la direcci´on del campo vectorialV, es simplemente ˙

ψ(Ω;V) = d

dtΨ(t,ut)|t=0. (4.34)

Notemos que no hemos escritoΩen el t´ermino derecho de ecuaci´on (4.34) ya que ahora todas las expresiones est´an definidas en el dominio de referenciaΩ.

4.3.1.A. Operaciones b´asicas de derivaci´on.

Para escribir en forma expl´ıcita la expresi´on para la derivada de forma (4.34) es necesario utilizar ciertas operaciones b´asicas de derivaci´on, las cuales ser´an listadas a continuaci´on para facilitar la lectura del trabajo.

Recordemos que el mapa que transforma el dominio de referenciaΩen un dominio perturbado Ω_t, est´a dado por la ecuaci´on

xt=pt(x) =x+tV(x),

dondeV(x)es un campo vectorial suficientemente regular definido en un abierto que contiene al conjuntoΩ. Este campo vectorial describe la velocidad de cada punto en el instantet. La derivada de este mapa con respecto a un punto materialxes:

Dp_t(x) = (Id+tDV)(x) =:F_t(x).

Utilizando esta ´ultima ecuaci´on y apelando a resultados conocidos, obtenemos las siguiente iden- tidades: • F_t−1=Id−tDV+O(t2_{)y por lo tantoF} t=0=Ft−=10=Id, • d dt(Ft) =DV, • d dt(F −1 t )|t=0=−DV,

• det(Ft) =det(I+tDV) =1+t tr(DV) +

O

(t2) =1+t div(V) +

O

(t2),

• d

dtdet(Ft)|t=0 = div(V),

• det(F_t−1) =det(Id−tDV+

O

(t2_{)) =1−t div(V) +}

_O

_(t2_),

• d dt(det(F −1 t ))|t=0 =−div(V), • dxt=det(Ft)dx, • dΓ_t =kF_t−Tηkdet(F_t)dΓ, • d dt(kF −T t ηk)|t=0=−η.(DV)Tη, • d dt(kF −T

t ηkdet(Ft))|t=0 =−η.(DV)Tη+ div(V) =: divΓ(V).

Teniendo en cuenta los resultados listados arriba, a continuaci´on mostramos c´omo derivar funciones que pueden estar definidas por integrales en el dominioΩo integrales sobre su frontera o parte de ´esta, la que denotamos porΓ.

Caso 1:Seaφuna funci´on definida por φ=

Z

4.3. AN ´ALISIS DE SENSIBILIDAD AL CAMBIO DE FORMA 47

dondeϕ es una funci´on suave definida enΩ. Utilizando el mapa (4.27), tenemos la familia de funcionales que dependen del par´ametrotdada por

φt=

Z

Ωt

ϕΩt(xt)dxt.

Denotando porϕt(x) = (ϕΩt◦pt)(x) =ϕΩt(x+tV(x)), funci´on definida en el dominio de referen- ciaΩ, tenemos la nueva familia

φt =

Z

Ωϕt(x)det(Ft)dx.

Luego, la derivada deφt con respecto at, ent=0 y en la direcci´onV, est´a dada por:

˙ φ = d dt( Z Ωϕt(x)det(Ft)dx)|t=0 = Z Ω d dt(ϕt(x)det(Ft))|t=0dx = Z Ω( ˙ ϕt(x) +ϕ(x)div(V))dx).

Caso 2:Seaφuna funci´on definida por φ=

Z

Γζ(x)dΓ

dondeζes una funci´on suave definida enΓ. Nuevamente, mediante la aplicaci´on del mapa (4.27), consideramos una familia de funciones que depende detdefinidas por

φt=

Z

Γt

ζt(xt)Γt.

Transformando estas funciones al dominio de referenciaΩ, tenemos que la derivada deφt con

respecto at, ent=0 y en la direcci´onV, est´a dada por: ˙ φ = d dt( Z Γζt(x)det(Ft)kF −T t ηkdΓ)|t=0 = Z Γ d dt(ζt(x)det(Ft)kF −T t ηk)|t=0dΓ = Z Γ( ˙ ζt(x) +ζ(x)divΓ(V))dΓ.

4.3.1.B. C´alculo de la derivada de forma.

Consideremos un funcional costo que dependa expl´ıcita e impl´ıcitamente del dominio Ω, el caso m´as general es del tipo

ψ(Ω) =Ψ(Ω,uΩ) =

Z

Ω

G

(uΩ)dx+

Z

Γ

J

(uΩ)dΓ. (4.35)

Utilizando los resultados presentados anteriormente podemos calcular la derivada de forma (4.34) para este funcional costo como mostramos a continuaci´on:

˙ ψ(Ω;V) = d dtΨ(t,ut)|t=0 (4.36) = Z Ω d dt(

G

t(ut)det(Ft))dx+ Z Γ d dt ¡

J

t(ut)det(Ft)kFt−Tηk ¢ |t=0 dΓ = Z Ω( ˙

G

(u) +

G

(u)div(V))dx+ Z Γ( ˙

J

(u) +

J

(u)divΓ(V))dΓ.

Observemos que las funciones

G

t(ut) =

G

(t,ut)y

J

t(ut) =

J

(t,ut)dependen expl´ıcita e impl´ı-

citamente det. Por lo tanto, de manera similar a lo realizado en la secci´on (3.2.1) podemos escribir ˙

G

(u) =

G

0_{(u) +}∂

G

∂u(u; ˙u), (4.37) ˙

J

(u) =

J

0_{(u) +}∂

J

∂u(u; ˙u), (4.38)

donde ˙ues la variaci´on de la respuestaudebida a la perturbaci´onV dada por el l´ımite l´ım

t→0k

ut(x)−u(x)

t −u˙(x;V)kW(Ω)=0, (4.39)

y la que usualmente se denomina derivada material.

Observemos que a partir de las ecuaciones (4.36), (4.37) y (4.38), al igual que para la derivada con respecto a los par´ametros de dise˜no, obtenemos que la derivada con respecto a la forma puede escribirse como

˙

ψ(Ω;V) =Ψ0(0,u;V) +∂Ψ

∂u(0,u; ˙u). (4.40)

Nuevamente, para obtener ˙ψ es necesario conocer ˙u. Al igual que para el caso en que las variables de dise˜no eran los coeficientes de la ecuaci´on, derivamos la ecuaci´on de estado con respecto at, ent=0:

d

dtat(ut,v;V)|t=0 =

d

dtlt(v;V)|t=0.

Asumiendo que estas derivadas son lineales y continuas en la direcci´on de la perturbaci´onV tene- mos que d dtat(ut,v;V)|t=0 = d dtlt(v;V)|t=0, (4.41) a0(u,v;V) +a(u˙,v) = l0(v;V). (4.42) nuevamente, para evitar el c´alculo expl´ıcito de ˙u, definimos la siguiente ecuaci´on adjunta:

  

Hallarλtal que

a(λ,λ¯) =−∂Ψ

∂u(0,u; ¯λ), ∀λ¯ ∈

W

(Ω) .

(4.43) Como la ecuaci´on es v´alida para todo ¯λ∈

W

(Ω), en particular es v´alida si consideramos ¯λ=u˙y usando la simetr´ıa de la forma bilineal y la ecuaci´on (4.42), obtenemos

−∂Ψ

∂u(0,u; ˙u) =a(u˙,λ) =l

0_(λ;V)−a0_{(u,λ;V). (4.44)}

Finalmente, reemplazando esta ´ultima expresi´on en (4.40) podemos expresar la derivada de la funci´on costo como:

˙

ψ(Ω;V) =Ψ0(u;V) +a0(u,λ;V)−l0(λ;V), (4.45) dondeues soluci´on de (4.23) yλes soluci´on del problema adjunto (4.43).

Por lo tanto, para calcular la derivada de la funci´on costo con respecto a cambios en la forma del dominio, al utilizar el m´etodo adjunto no es necesario calcular ˙u, sino que simplemente debe- mos resolver la ecuaci´on de estado parau, la correspondiente ecuaci´on adjunta y luego evaluar las expresionesΨ0,a0yl0.

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