3.2. Planteamiento matem´ atico
3.2.2. An´ alisis de simetr´ıas
A la hora de caracterizar estructuras complejas, resulta conveniente analizar si existe la posibilidad de reducir el problema general a uno o varios semiproblemas cuya caracterizaci´on resulte m´as simple y que en conjunto permitan describir el sistema completo. En nuestro caso, para analizar este hecho, supongamos que queremos analizar una secci´on transversal arbitraria como la de la figura3.3a que posee un plano de simetr´ıa enx= 0.
Al ser una estructura cerrada, los valores deγque hacen que el problema tenga soluciones no triviales toman una distribuci´on discretaγ = (γ0, γ1...γn) n→ ∞ . Si ahora descomponemos
la estructura en dos a trav´es de su plano de simetr´ıa y cada una de las secciones resultantes es cerrada enx= 0 con condiciones PEC/PMC (descomposici´on impar/par), obtenemos cuatro problemas cerrados independientes cuyos valores propiosγ12,γ22,γ32 yγ42 forman cada uno un conjunto discreto (Figura3.3b).
Descomposici´on Impar
Supongamos un modo en el problema 1 cuyo campo el´ectrico tiene la distribuci´on mostrada en la figura3.3b bajo una excitaci´on de amplitud unitaria. Si ahora realizamos un giro especular a dicho problema, lo que se obtiene es el problema 2 junto a la forma de campo permitida para el mismo tambi´en bajo dicha excitaci´on (campo electromagn´etico sim´etrico al del problema 1). Generalizando, se puede deducir que ambos problemas
3.2. Planteamiento matem´atico
tendr´an los mismos modos y que el campo electromagn´etico bajo las mismas condiciones de excitaci´on ser´a sim´etrico en ambos problemas. No obstante, al ser independientes, ´
estos podr´an excitar un mismo modo con distintas amplitudes obteniendo para cada uno una distribuci´on de campo distinta, obviamente, no sim´etrica (ver figura 3.3). La idea ahora es identificar qu´e excitaci´on en el problema 2 produce un campo en el planox= 0 igual al obtenido en el problema 1 bajo excitaci´on unitaria. En estas condi- ciones, llegar´ıamos a una distribuci´on de campo en ambos problemas con la misma constante de propagaci´on y con el mismo valor de campo en el plano x = 0, es decir, obtendr´ıamos la estructura de campo del modo asociado a dicha constante de propa- gaci´on en el problema general de la figura3.3a, ya que para ´este, en las regiones derecha e izquierda de x = 0, tendr´ıamos un campo que cumple las ecuaciones de Maxwell y las condiciones de contorno, que posee la misma constante de propagaci´on y que es continuo en toda la secci´on incluido el planox= 0.
Las excitaciones posibles para un determinado modo en el problema 2 pueden ser (ver figura 3.3b):
1. Excitaci´on con amplitud A= 1 (Excitaci´on Par) 2. Excitaci´on con amplitud A=−1 (Excitaci´on Impar) 3. Excitaci´on con amplitud A6=±1
Debido a que la descomposici´on impar impone campo el´ectrico tangencial nulo al plano
x = 0, es f´acil comprobar que la ´unica excitaci´on en el problema 2 que hace que el campo sea continuo en x= 0 respecto del modo con amplitud unitaria en el problema 1 es la excitaci´on impar (ver figura3.3 b).
As´ı, es f´acil deducir que en la estructura general (figura 3.3 a) el campo asociado al modo cumplir´a que:
Ex(x, y, z) =Ex(−x, y, z) Ey(x, y, z) =−Ey(−x, y, z) Ez(x, y, z) =−Ez(−x, y, z) Hx(x, y, z) =−Hx(−x, y, z) Hy(x, y, z) =Hy(−x, y, z) Hz(x, y, z) =Hz(−x, y, z) (3.10)
Teniendo en cuenta lo anterior, se puede concluir que mediante la descomposici´on impar es posible caracterizar ciertos modos de la estructura general que s´olo posean compo- nente de campo el´ectrico normal al plano x = 0 (modos impares), resolviendo uno de los dos semiproblemas resultantes de dicha descomposici´on que proporcione las ex- presiones Ex(x, y, z), Ey(x, y, z), Ez(x, y, z), Hx(x, y, z), Hy(x, y, z), Hz(x, y, z). Una vez
obtenidas, el campo en la estructura completa puede ser deducido mediante 3.10. Descomposici´on Par
Razonando de igual forma que para la descomposici´on impar, llegamos a la conclusi´on de que mediante la descomposici´on par es posible caracterizar ciertos modos de la estructura general que s´olo posean componente tangencial de campo el´ectrico en el plano x = 0 (modos pares) resolviendo uno de los dos semiproblemas resultantes de dicha descomposici´on. Estos modos cumplir´an que:
Ex(x, y, z) =−Ex(−x, y, z) Ey(x, y, z) =Ey(−x, y, z) Ez(x, y, z) =Ez(−x, y, z) Hx(x, y, z) =Hx(−x, y, z) Hy(x, y, z) =−Hy(−x, y, z) Hz(x, y, z) =−Hz(−x, y, z) (3.11)
Figura 3.4: Distribuci´on de campo el´ectrico y magn´etico para modos pares e impares en una estructura arbitraria sim´etrica respecto de un planox= 0
dondeEx(x, y, z), Ey(x, y, z), Ez(x, y, z), Hx(x, y, z), Hy(x, y, z), Hz(x, y, z) son obtenidas
en uno de dichos semiproblemas. De nuevo, mediante3.11es posible deducir el campo en la estructura general.
En la figura 3.4 se representan de forma gr´afica la distribuci´on del campo el´ectrico y magn´etico para modos pares e impares en un problema sim´etrico respecto de un planox= 0. Como se ha dicho, los autovaloresγ1 =γ2 =γP EC / γ3 =γ4 =γP M C son un subconjunto de
γ que proporciona modos de la estructura general con componente tangencial/normal nula en el plano de simetr´ıa. La pregunta que se plantea ahora es si γP EC / γP M C proporciona
todos los modos mediante los cuales se represente cualquier estructura de campo con dicha restricci´on. Si se consiguiese demostrar que los problemas resultantes de la descomposici´on impar/par son completos, la respuesta ser´ıa afirmativa. En caso contrario, podr´ıan existir modos impares/pares en la estructura general no deducibles a trav´es de dicha descomposici´on. En el caso de que fuesen completos, la estructura general sim´etrica quedar´ıa completamente caracterizada por la resoluci´on de dichos problemas cumpli´endose queγgen=γP EC∪γP M C.
Las expresiones 3.10, 3.11 adem´as de permitirnos escribir las soluciones de un problema gen´erico a partir de dos semiproblemas m´as sencillos de caracterizar, nos ofrecen la capacidad de llegar a determinadas conclusiones relacionadas con problemas asociados a simetr´ıas, como se ver´a en el cap´ıtulo 4.