4. Teor´ıa general de ´ algebras de Lie
5.7. An´ alisis arm´ onico en nilvariedades
Recordemos queg=g0⊕cdondeg0 = [g,g] yces el centro deg. Entonces si denotamos por
g0rel conjunto de elementos regulares deg0, podemos considerar que la medida de Plancherel est´a definida sobreg0r⊕c, ya que el complemento deg0r eng0 tiene medida de Lebesgue cero. SeaT un toro maximal deG0 con ´algebra de Lieh. Denotemos porg0CyhClas ´algebra de Lie complexificadas de g0 y h respectivamente, y por ∆ el sistema de ra´ıces correspondiente a (g0C,hC). Sea hR=ih y sea C una c´amara de Weyl fija dehR.
Sea Φ :G0/T ×C→g0r la funci´on definida en la secci´on anterior, dada por Φ(gT, x) = Ad(g)x, con g ∈G0, x∈C.
Entonces Φ es un difeomorfismo, y det(dΦ(g,x)) = (−1)#∆Qα∈∆α(x).
Sea θ(x) := |det(dΦ(g,ix))|. Integrando sobre g en lugar de g∗ y usando el Teorema de
cambio de variable obtenemos f(n) = cX j∈Λ Z c Z G0/T Z C f∗ψ(Ad(g)x+z), j(n)|P(Ad(g)x+z)|θ(x) dxdgdz.˙ y por Lema 5.5.2 f(n) = cX j∈Λ Z c Z C f ∗ Z G0/T ψAd(g)(x+z), j(n)dg˙ |P (x+z)|θ(x)dxdz. (5.9) Recordemos que parak ∈K, ρk
λ es la representaci´on irreducible deN correspondiente a
k·λ. Siλ|g est´a representada por el vectorx+z entonces k·λse corresponde con k·(x+z). Como (Ad(g), π(g)) es un automorfismo de N,tenemos que
ρAd(g)(x+z)(n) = ρ
Ad(g)
x+z (n) = ρx+z(Ad(g)·n),
entonces
ΨAd(g)(x+z), j(n) = Ψx+z , j(Ad(g)·n).
Queremos expresar (5.9) en t´erminos del conjunto de funciones esf´ericas asociadas al par (K, N).
Recordemos que CcK(N) es el ´algebra de funciones continuas K-bi-invariantes sobre N con soporte compacto, y que decimos que una funci´on continua K-bi-invariante φ sobre N es una funci´on esferica si el funcional lineal
χ(f) :=
Z
N
105 5.7. An´alisis arm´onico en nilvariedades
es un caracter no trivial de CcK(N). Es bien sabido que el conjunto de funciones esf´ericas acotadas se puede identificar con los homomorfismos del espacio de funciones integrables K-bi-invariantes sobre N v´ıa el mapa
φ7→χ(f) =
Z
N
f(n)φ(n−1) dn.
Lema 5.7.1. (a) Si xλ = x0 +z, con x0 ∈ g0r, x
0 6= 0 y z ∈ c, entonces K/K λ = G0/T. Adem´as, φλ,j(n) := Z G0/T ψAd(g)(x0+z), j(n)dg˙ es una funci´on esf´erica de (K, N).
(b) Si xλ ∈c, entonces Kλ =K. En particular, si λ∈c∗, φλ,j =ψλ,j. Demostraci´on.
(a) Sea CG0(xλ) el centralizador de xλ enG0, entonces
CG0(xλ) ={g ∈G0 :Ad(g)xλ =xλ}.
Como el conjunto U de operadores de entrelazamiento de π act´ua sobre g por la iden- tidad, Kλ = CG0(xλ)×U. Adem´as, como x0 es un elemento regular, x0 ∈/ c, CG0(xλ) =
CG0(x0) es un toro maximal de G0.
La descripci´on de las funciones esf´ericas acotadas de un par de Gelfand (K, N) est´a dada por el Teorema 8.7 en [5]. Sea (ρ, Hλ) ∈ Nb, consideremos la descomposici´on
Hλ =
L
j∈ΛWj,λ de la representaci´on metapl´ectica de Kρλ en componentes irreduci- bles y {v1,· · · , vd} una base ortonormal de Wλ,j. Entonces la prueba del Teorema 8.7
muestra que las funciones esf´ericas est´an definidas por φλ,j(n) = Z K/Kρλ dj X l=1 hρλ( ˙k·n)vl, vlidk,˙ (5.10)
dondedk˙ denota la medida K-invariante sobre K/Kρλ. En nuestro caso,Kρλ =Kλ,K/Kλ =G 0/T y Z G0/T ΨAd(g)(x0+z), j(n)dg˙ = Z G0/T Ψx0+z , j(Ad(g)·n)dg˙ = Z K/Kλ Ψx0+z , j(k·n)dk,˙
lo cual implica la afirmaci´on (a).
(b) Como antes, Kλ =CG0(xλ)×U, y como xλ ∈c, CG0(xλ) =G0, entonces Kλ =K.
Observaci´on 5.7.2. Para x ∈ C, z ∈ c, es m´as apropiado denotar por φx,z,j las funciones
esf´ericas correspondientes a xλ =x+z. Pero esta notaci´on es demasiado pesada y preferimos
5. An´alisis arm´onico en nilvariedades 106 Denotamos por VC la complexificaci´on de V y por (πC, VC) la extensi´on deπ agC. Sea
VC =M
r
Wr
la descomposici´on en subespacios irreducibles y sea Wr = LjWν
j
r la descomposici´on en espacios pesos, esto es
Wνrj :={v ∈W
r | πC(x)(v) = ν
j
r(x)v para todox∈hC}.
Entonces, para x∈C, tenemos
P(x) = Y
r,j
|νrj(x)|mjr/2, donde mj
r es la dimensi´on de Wrj. Sea ζr el caracter central de πC|Wr, es decir, ζr =tr(πC|Wr). Para z∈c y x∈C, se cumple P(x+z) = Y r,j |νrj(x) +ζr(z)|m j r/2. (5.11)
Resumiendo lo visto hasta ahora tenemos probado nuestro resultado principal.
Teorema 5.7.3. Sea f una funci´on Schwartz definida sobre N. Entonces
f(n) = m! 2mX j∈Λ dj Z c Z C f ∗φλ,j(n)|P(x+z)| θ(x)dx dz,
donde φλ,j es la funci´on esf´erica definida como en (5.10) y la funci´on P es como en (5.11).
El soporte de la medida de Plancherel es Λ×C×c, y la medida est´a dada por el producto
de la medida de contar pesada y la medida dµ(λ) = |P(x+z)|θ(x)dx dz.
Escribimos λ=λ0+λ0, con λ0 ∈[g,g]∗, y λ0 ∈c∗. Como una consecuencia del resultado
previo obtenemos la descomposici´on de la acci´on regular sobre L2(N).
Teorema 5.7.4. Sea g una de las ´algebras de Lie compactas que aparece en [23] y tal que el
correspondiente N(g, V) tiene representaciones de cuadrado integrable. Entonces la acci´on
regular de K nN sobre L2(N) se descompone como una integral directa de componentes
irreducibles por L2(N) = X j∈Λ Z c Z C Hλ , j dµ(λ),
donde µ es la medida µ(λ) = |P(λ)|θ(λ0)dλ y dλ es la medida de Lebesgue definida sobre
c ×C. M´as a´un, la proyecci´on sobre Hλ,j es Qλ,j(f) = f ∗φλ,j, donde φλ,j es la funci´on esf´erica dada por los siguientes casos:
107 5.7. An´alisis arm´onico en nilvariedades (i) Si λ0 6= 0, φλ,j(n) = Z G0/T ψλ,j( ˙g·n)dg,˙ (5.12) donde g ·n denota la acci´on de G0 por automorfismos sobre N, dg˙ es la medida G0- invariante definida sobre G0/T y ψλ.j es como en (5.5).
(ii) Asumamos que λ0 = 0. Si ges como en el caso VIII con k ≥1y n= 0, caso IX y caso
X con kj ≥ 1 y nj = 0 para todo 1 ≤ j ≤ α, entonces φλ,j = ψλ,j con ψλ,j como en
(5.5).
En caso VII, g=R, y φλ,j =ψλ,j con ψλ,j es como en (5.5).
En los otros casos, la medida de Plancherel se anula sobre c.
Demostraci´on.
(i) Se sigue del Teorema 5.7.3.
(ii) En los casos I, III, IV ,V y VI con n par, g es semisimple y tiene centro trivial. En el caso IX, g=u(n) =su(n)⊕iR, V =Cn, n≥3, donde Cn denota la representa- ci´on estandar deu(n). Como Ker(π(x)) es trivial para todox∈u(n), se sigue queBλ
es no degenerada. Luego, la medida de Plancherel est´a concentrada eng=iR⊕[g,g]. La expresi´on para las funciones esf´ericas se siguen del Lema 5.7.1 (b).
En el caso VIII con k ≥1,n = 0, y caso X con kj ≥1, nj = 0 para todo 1≤j ≤α el
an´alisis es similar al caso IX ya queπ tiene centro trivial.
En el caso VIII con k ≥ 1, n > 0, g = u(2) = su(2)⊕ iR, V = (C2)k ⊕(
C2)n. El
centro de u(2) act´ua no trivialmente solamente sobre (C2)k, de hecho, su(2) act´ua
sobre (C2)ncomo Im(H) act´ua componente a componente sobreHn por el producto de cuaterniones a izquierda. Por lo tanto, sit ∈R,π(it)(0, v) = (0,0) para todov ∈(C2)n,
esto es, (0, v)∈Ker(π(it)). Por (5.1) y (5.2) se sigue queBit es degenerada para todo
it∈iR. Entonces, por Teorema 6 en [25], la medida de Plancherel est´a concentrada en
g0 = [g,g].
En el caso X con kj ≥ 1 para todo 1 ≤ j ≤ α y 0 < nj0 para alg´un 1 ≤ j0 ≤ α el an´alisis es similar al caso VIII con n >0.
El caso VII se corresponde al grupo de Heisenberg, y fue probado en el Cap´ıtulo 3, Teorema 3.6.9.
Cap´ıtulo 6
Descripci´on de funciones esf´ericas
En este cap´ıtulo describiremos el conjunto B de funciones esf´ericas correspondientes al conjunto de representaciones gen´ericas (o con medida de Plancherel full) de N(g, V). Esta computaci´on involucra integrales sobre G0/T, lo cual es dif´ıcil de calcular con excepci´on de algunos pocos casos. Sin embargo, obtuvimos una parametrizaci´on de B.
Como vimos anteriormente, la representaci´on metapl´ectica $λ of Kλ est´a definida por
(3.7). Asumimos que se descompone en componentes irreducibles como
P(V) =M
j∈Λ
Wλ,j.
Tambi´en probamos que
ρλ(v, z) =ei|λ|hz,yλiπ|λ|(v,0).
El conjunto de funciones esf´ericas de (Kλ, Hn) correspondiente a las representaciones de Fock
π|λ| est´a dado por {ψλ,j}j∈N∪{0}, donde ψλ,j es como en (5.5). Como,
ρλ(π(g)v, Ad(g)z) = π|λ|(0,hAd(g)z, yλi)π|λ|(π(g)v,0) = ei|λ|hz,Ad(g−1)yλiπ| λ|(π(g)v,0), obtenemos que Z G0/T ψλ,j(g·(v, z))dg˙ = Z G0/T ei|λ|hz,Ad(g−1)yλiψ λ,j(π(g)v,0)dg.˙
Por la descripci´on en [4] del conjunto de funciones esf´ericas acotadas de un par de Gelfand (K, Hn), sabemos que para (v, t)∈Hn y λ >0
ψλ,j(v, t) =eitλqj λ12v e−λ4|v| 2 ,
donde qj es un polinomio K-invariante con coeficientes reales. En efecto, asumamosλ = 1 y
denotemos por P(V)R al ´algebra de polinomios realesK-invariantes. Entonces est´a probado
en [4] que existe una base can´onica {pj}j∈Λ del espacio vectorial P(V)R, pj ∈ Wj := Wj,1,
6. Descripci´on de funciones esf´ericas 110