6 Comparación de los Métodos de calibración
6.1 ANOVA funcional
En esta sección compararemos las curvas medias de cada uno de los procesos en función del método de calibración. Usaremos una batería de tests implementados en la librería fdANOVA de R. Existen muchos procedimientos de comparación de medias funcionales que utilizan distintas metodologías y serán más o menos apropiados en función de las condiciones que presenten los datos. En general, no hay un procedimiento óptimo, por lo que se podría aplicar en una primera etapa varios test y si los resultados no son concluyentes, afinar más en un segundo paso. En el trabajo de Górecki y Smaga (2015)[7] y en el propio manual del paquete fdANOVA[8], se puede consultar la descripción y condiciones de uso de cada test. Nosotros usaremos cinco test diferentes:
• Test FP Basado en el test pointwise F introducido por Ramsay. • Test CH Basado en la norma L2. Para datos homocedásticos. • Test CS Basado en la norma L2. Para datos heterocedásticos. • Test L2b Para muestras pequeñas con desviaciones de normalidad. • Test GPF Basado en el test pointwise F. Para muestras pequeñas. En todos los casos, plantearemos el contraste:
H0: µA(t) = µB(t) H1: µA(t) 6= µB(t)
(6.1) Fijaremos un nivel de significación α = 0.1. Al igual que se suele hacer con los contrastes vectoriales, hemos decidido dar, además del p-valor de los cinco test, los valores de los estadísticos experimentales, pues en algunos casos puede ser ilustrativo de las condiciones en que se realiza el test.
46 Capítulo 6. Comparación de los Métodos de calibración
Comparación de medias de la Flexión de la Cadera Izquierda. La Figura 6.1 muestra la repre- sentación de los dos grupos de curvas con sus medias, el Grupo 1 se corresponde con el Método A y el grupo 2 con el Método B.
Figura 6.1 Curvas de la flexión de la cadera izquierda y medias para cada Método.
Tabla 6.1 p-valores de la comparación de medias de la Flexión de la Cadera en función del método de calibrado.
FP test
Test statistic = 9.081297 p-value = 0.008 CH test
Test statistic = 90964.67 p-value = 0.0112 CS test
Test statistic = 90964.67 p-value = 0.0024 L2b test
Test statistic = 45482.34 p-value = 3e-04 GPF test
Test statistic = 9.072777 p-value = 0.001635426
Como conclusión de los resultados de la Tabla 6.1, rechazamos la hipótesis nula y admitimos la diferencia de las medias de los dos Métodos. Dado que hay mucha homogeneidad dentro de cada grupo, los test son sensibles para detectar diferencias significativas entre las medias.
6.1 ANOVA funcional 47
Comparación de medias de la Abducción de la Cadera Izquierda. La Figura 6.2 muestra la representación de los dos grupos de curvas con sus medias, el Grupo 1 se corresponde con el Método A y el grupo 2 con el Método B.
Figura 6.2 Curvas de la abducción de la cadera izquierda y medias para cada Método.
Tabla 6.2 p-valores de la comparación de medias de la Abducción de la Cadera en función del método de calibrado.
FP test
Test statistic = 3.377544 p-value = 0.068 CH test
Test statistic = 27555.12 p-value = 0.0764 CS test
Test statistic = 27555.12 p-value = 0.0561 L2b test
Test statistic = 13777.56 p-value = 0.0661 GPF test
Test statistic = 2.798958 p-value = 0.09325377
A la vista de los resultados de la Tabla 6.2, rechazamos la hipótesis nula y admitimos la diferencia de las curvas medias de los dos Métodos de calibración. En este caso, a pesar de existir mayor heterogeneidad dentro de los grupos el ANOVA detecta diferencias significativas.
48 Capítulo 6. Comparación de los Métodos de calibración
Comparación de medias de la Rotación de la Cadera Izquierda. La Figura 6.3 muestra la representación de los dos grupos de curvas con sus medias, el Grupo 1 se corresponde con el Método A y el grupo 2 con el Método B.
Figura 6.3 Curvas de la rotación de la cadera izquierda y medias para cada Método.
Tabla 6.3 p-valores de la comparación de medias de la Rotación de la Cadera en función del método de calibrado.
FP test
Test statistic = 1.597026 p-value = 0.233 CH test
Test statistic = 27372.13 p-value = 0.2141 CS test
Test statistic = 27372.13 p-value = 0.1995 L2b test
Test statistic = 13686.06 p-value = 0.2034 GPF test
Test statistic = 1.62543 p-value = 0.2325271
No hay evidencias (Tabla 6.3) para rechazar la hipótesis nula y admitimos que no hay diferencias significativas en las curvas medias de los dos Métodos de calibración. Los p-valores son muy parecidos en todos los tests.
6.1 ANOVA funcional 49
Comparación de medias de la Flexión de la Rodilla Izquierda. La Figura 6.4 muestra la repre- sentación de los dos grupos de curvas con sus medias, el Grupo 1 se corresponde con el Método A y el grupo 2 con el Método B.
Figura 6.4 Curvas de la flexión de la rodilla izquierda y medias para cada Método.
Tabla 6.4 p-valores de la comparación de medias de la Flexión de la Rodilla en función del método de calibración.
FP test
Test statistic = 1.321807 p-value = 0.246 CH test
Test statistic = 10507.99 p-value = 0.2519 CS test
Test statistic = 10507.99 p-value = 0.24 L2b test
Test statistic = 5253.994 p-value = 0.2368 GPF test
Test statistic = 1.4379 p-value = 0.2694903
No hay evidencias (Tabla 6.4) para rechazar la hipótesis nula y admitimos que no hay diferencias significativas en las curvas medias de los dos Métodos de calibración. Los p-valores son coincidentes en todos los tests.
50 Capítulo 6. Comparación de los Métodos de calibración
Comparación de medias de la Abducción de la Rodilla Izquierda. La Figura 6.5 muestra la representación de los dos grupos de curvas con sus medias, el Grupo 1 se corresponde con el Método A y el grupo 2 con el Método B.
Figura 6.5 Curvas de la abducción de la rodilla izquierda y medias para cada Método.
Tabla 6.5 p-valores de la comparación de medias de la Abducción de la Rodilla en función del método de calibración.
FP test
Test statistic = 0.3122132 p-value = 0.638 CH test
Test statistic = 4051.405 p-value = 0.6631 CS test
Test statistic = 4051.405 p-value = 0.6594 L2b test
Test statistic = 2025.702 p-value = 0.6564 GPF test
Test statistic = 0.4594861 p-value = 0.6494179
No hay evidencias (Tabla 6.5) para rechazar la hipótesis nula y admitimos que no hay diferencias significativas en las curvas medias de los dos Métodos de calibración. Los p-valores son coincidentes en todos los tests.
6.1 ANOVA funcional 51
Comparación de medias de la Rotación de la Rodilla Izquierda. La Figura 6.6 muestra la representación de los dos grupos de curvas con sus medias, el Grupo 1 se corresponde con el Método A y el grupo 2 con el Método B.
Figura 6.6 Curvas de la rotación de la rodilla izquierda y medias para cada Método.
Tabla 6.6 p-valores de la comparación de medias de la Rotación de la Rodilla en función del método de calibración.
FP test
Test statistic = 0.008806558 p-value = 0.996 CH test
Test statistic = 87.28063 p-value = 0.9936 CS test
Test statistic = 87.28063 p-value = 0.9956 L2b test
Test statistic = 43.64032 p-value = 0.9927 GPF test
Test statistic = 0.01137679 p-value = 0.9734451
No hay evidencias (Tabla 6.6) para rechazar la hipótesis nula y admitimos que no hay diferencias significativas en las curvas medias de los dos Métodos de calibración. Los estadísticos de contraste tan pequeños y los p-valores tan próximos a uno, hace que en este caso el resultado sea concluyente.
52 Capítulo 6. Comparación de los Métodos de calibración
Comparación de medias de la Flexión del Tobillo Izquierdo. La Figura 6.7 muestra la represen- tación de los dos grupos de curvas con sus medias, el Grupo 1 se corresponde con el Método A y el grupo 2 con el Método B.
Figura 6.7 Curvas de la flexión del tobillo izquierdo y medias para cada Método.
Tabla 6.7 p-valores de la comparación de medias de la Flexión del Tobillo en función del método de calibración.
FP test
Test statistic = 1.310135 p-value = 0.26 CH test
Test statistic = 21773.17 p-value = 0.2646 CS test
Test statistic = 21773.17 p-value = 0.2646 L2b test
Test statistic = 10886.58 p-value = 0.1669 GPF test
Test statistic = 1.334369 p-value = 0.2955419
No hay evidencias (Tabla 6.7) para rechazar la hipótesis nula y admitimos que no hay diferencias signifi- cativas en las curvas medias de los dos Métodos de calibración. En todo caso hay diferencias importantes en las resoluciones de algunos tests.
6.1 ANOVA funcional 53
Comparación de medias de la Inversión del Tobillo Izquierdo. La Figura 6.8 muestra la repre- sentación de los dos grupos de curvas con sus medias, el Grupo 1 se corresponde con el Método A y el grupo 2 con el Método B.
Figura 6.8 Curvas de la inversión del tobillo izquierdo y medias para cada Método.
Tabla 6.8 p-valores de la comparación de medias de la Inversión del Tobillo en función del método de calibración.
FP test
Test statistic = 1.759495 p-value = 0.187 CH test
Test statistic = 55591.95 p-value = 0.1891 CS test
Test statistic = 55591.95 p-value = 0.1704 L2b test
Test statistic = 27795.97 p-value = 0.1825 GPF test
Test statistic = 1.723077 p-value = 0.214687
No hay evidencias (Tabla 6.8) para rechazar la hipótesis nula y admitimos que no hay diferencias significativas en las curvas medias de los dos Métodos de calibración. Los p-valores no son demasiado altos, un mayor tamaño muestral podría cambiar la conclusión del test.
54 Capítulo 6. Comparación de los Métodos de calibración
Comparación de medias de la Rotación del Tobillo Izquierdo. La Figura 6.9 muestra la repre- sentación de los dos grupos de curvas con sus medias, el Grupo 1 se corresponde con el Método A y el grupo 2 con el Método B.
Figura 6.9 Curvas de la rotación del tobillo izquierdo y medias para cada Método.
Tabla 6.9 p-valores de la comparación de medias de la Inversión del Tobillo en función del método de calibración.
FP test
Test statistic = 1.549598 p-value = 0.219 CH test
Test statistic = 18654.57 p-value = 0.2263 CS test
Test statistic = 18654.57 p-value = 0.1934 L2b test
Test statistic = 9327.286 p-value = 0.1917 GPF test
Test statistic = 1.797823 p-value = 0.1956894
No hay evidencias (Tabla 6.9) para rechazar la hipótesis nula y admitimos que no hay diferencias significativas en las curvas medias de los dos Métodos de calibración. Los p-valores no son demasiado altos, un mayor tamaño muestral podría cambiar la conclusión del test.
No obstante las conclusiones objetivas de los test, hay que decir que al ser éstos muy conservativos, existir una gran variabilidad en los datos y tratarse de muestras pequeñas (n=11), algunas de las conclusiones a las que hemos llegado habría que ponerlas en tela de juicio.
7 Conclusiones
• El plantear un estudio del ciclo de pedaleo desde una perspectiva funcional es bastante novedoso; si bien es cierto que existen trabajos publicados que estudian los ciclos de marcha, algunos de los cuales han sido citados en este trabajo.
• Las series de observaciones de las variables que se obtienen en el ciclo de pedaleo, son realizaciones de procesos aleatorios funcionales. El análisis de datos funcional permite tratar la información de los ciclos de pedaleo respetando la esencia funcional de las variables observadas.
• La reconstrucción de las curvas a través de técnicas de suavizado eliminará una parte del ruido aleatorio que se produce en la medición de los ángulos de las articulaciones.
• Las técnicas estadísticas funcionales permiten analizar con detalle cada uno de los procesos de manera individual a través del estudio de la variabilidad de la muestra obtenida. En este sentido, adquiere especial importancia el análisis funcional de componentes principales, ya que descompone la variabilidad total del proceso en distintos modos de variabilidad, ortogonales entre sí. Además, las rotaciones de las componentes pueden ayudan a interpretar el significado de las mismas.
• Para las magnitudes angulares de flexiones, las primeras componentes principales presentan mayor inercia en las articulaciones más rígidas, con menos grados de libertad, y que necesitan menos modos de variabilidad para explicar su comportamiento, como es el caso de la cadera; mientras que en las articulaciones más flexibles, como el tobillo, el FPCA debe reservar mayor cantidad de inercia para las segundas y consecutivas componentes, al objeto de explicar otros modos de variación. En este esquema, la rodilla ocupa una posición intermedia.
• El FPCA bivariable, como el análisis funcional de correlaciones canónicas permiten estudiar las conexiones/relaciones que se dan entre los distintos procesos funcionales.
• A través del FPCA bivariable se ha analizado las relaciones entre los pares de flexiones angulares, detectándose la nula relación entre cadera y tobillo, confirmando lo que ya habíamos visto a través de la correlación cruzada entre ambas variables.
• El análisis de correlaciones canónicas ha puesto de manifiesto la relación existente entre los ángulos de la flexión de la cadera y de la rodilla.
• Los procedimientos de ANOVA funcional han permitido comparar las curvas medias de los métodos de calibración. A pesar de haberse elegido un nivel de significación alto (0.1), el reducido tamaño de las muestras, la alta heterogeneidad –en algunos casos– dentro de los grupos y la cantidad de escenarios posibles en el campo funcional, hacen que los test no sean demasiado sensibles a la hora de encontrar diferencias significativas, lo que no quiere decir que no las haya.
• No obstante lo comentado en el punto anterior, en dos de los contrastes, la flexión de la cadera y la flexión de la rodilla, se han encontrado diferencias significativas en sus medias funcionales. Aparte de los motivos comentados, una cuestión que puede haber influido en el resultado es que dichas medidas angulares son las que tienen los mayores rangos.
• Aunque no se ha realizado en este trabajo, podría ser de interés trabajar con las curvas derivadas, lo que permitirá, no ya estudiar la evolución o la variabilidad de los procesos a través del ciclo de pedaleo, sino la velocidad o la aceleración con que se producen los cambios.
56 Capítulo 7. Conclusiones
• La complejidad de muchos de los procedimientos funcionales se compensan con el hecho de que la mayoría de ellos disponen de representaciones gráficas que permiten examinar con detalle el comportamiento de los procesos en cada instante del ciclo de pedaleo. Si bien es cierto que solo con ayuda de expertos en campo de estudio se podrá extraer el máximo partido de dichas representaciones.