ANTECEDENTES HISTÓRICOS DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

Las primeras noticias que se tienen del empleo de un método similar al MEF se remontan a más de 2000 años, en la antigua Grecia, cuando se aplicó este método a la geometría. Los matemáticos de aquella época aproximaron el número trascendental π, substituyendo un círculo por un polígono regular de muchos lados y de este modo obtuvieron resultados sorprendentemente precisos. Registros aún más antiguos muestran vestigios de la aplicación del método a la solución de problemas geométricos. El papiro de Ahmes refiere que por el año de 1500 a de J. C. Empleaban el valor de 101/2 para π. Arquímides, uno de los más grandes matemáticos de la antigüedad, usó elementos finitos para determinar volúmenes de sólidos.

El desarrollo del MEF, tal como lo conocemos ahora, inició en la década de los 40s. En 1941, Hrenikoff [4.1] y en 1943 Mc Henry [4.2] publicaron trabajos donde aplicaban el método a problemas de elasticidad en estructuras. En 1943, Courant

[4.3] sugirió el uso de polinomios de interpolación pieza por pieza en subregiones triangulares como método para obtener soluciones numéricas aproximadas. El trabajo de Courant es particularmente importante debido a que extendió el concepto de Método del Elemento Finito a otros campos y no se limitó al de la mecánica estructural. Ninguno de los trabajos precedentes se aplicó a la solución de problemas prácticos, porque no se contaba en esa época con equipo de cómputo digital. En 1947, Levy [4.5] aplicó el MEF a la aeronáutica y captó la atención de muchos investigadores, debido a esto fue objeto de muchos estudios.

La formulación general del método de la teoría matricial de estructuras, basado en los principios energéticos fundamentales de la elasticidad (el principio de los trabajos virtuales de D´Alembert), se debió a Argyris y Kesley [4.6].

En 1953, Levy [4.6] introdujo la formulación del método basándose en la matriz de rigidez. Levy aplicó esta formulación para estudiar el comportamiento elástico de las alas tipo delta en aeronaves, resolviendo las ecuaciones planteadas con

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computadoras digitales. En esa época M. J. Turner formó un pequeño grupo dentro de la compañía Boeing, con el fin de desarrollar un método de análisis, para aplicar la formulación de la matriz de rigidez en cálculos dinámicos de estructuras. Como resultado, en 1956, Turner, Clough, Martín y Topp publicaron un artículo [4.7] considerado como la contribución clave en el progreso del Método del Elemento Finito. Este trabajo y el presentado por Argyris y kelsey [4.6] dieron origen a que el método tuviera un desarrollo explosivo y que fuera aplicado extensamente en la ingeniería. El término “Método del Elemento Finito” fue propuesto por Clough [4.8] en 1960, en una publicación referente a problemas de elasticidad plana.

El problema de la flexión de placas fue tratado en primera instancia por Melosh [4.9] y por Adini y Clough [4.10], ambos trabajos fueron publicados en 1961 y emplearon elementos finitos rectangulares. En 1963, Grafton y Strome [4.11] publicaron un trabajo concerniente al estudio de conchas delgadas, empleando un elemento finito cónico. Este trabajo introdujo el análisis axisimétrico para su aplicación en conchas delgadas y recipientes sometidos a presión.

Melosh [4.12], en 1963, estableció las bases matemáticas para fundamentar el MEF, convirtiéndolo en un área de estudio interesante para los académicos. Melosh reconoció que el MEF es una variante del método de Rayleigh-Ritz y los confirmó con una técnica de uso general para manejar problemas continuos de elasticidad. Zienkewicz y Cheung [4.13] interpretaron el MEF de una manera más amplia, presentando la formulación variacional del método.

Hasta 1967, los matemáticos e ingenieros trabajaron con el MEF separados unos de otros. Hoy en día ambos tienen conocimiento uno del otro, no obstante, los matemáticos raras veces se interesan en los problemas de ingeniería y los ingenieros pocas veces tienen la capacidad total para comprender a los matemáticos. Es importante aclarar que este método no solamente está limitado al análisis en ingeniería mecánica, sino también a análisis en ingeniería eléctrica, y otros campos de aplicación

En el análisis de esfuerzos por el MEF, los datos que se requieren son la geometría del elemento o sistema que se deba analizar, las propiedades mecánicas y las condiciones de carga y con este método se pueden obtener las respuestas al sistema con las solicitaciones antes mencionadas. En los problemas que se resuelven por este método es importante tener presente lo siguiente: la forma del espécimen, la optimización del equipo de computo y el análisis combinado de formas y materiales.

El MEF se basa en la utilización de las computadoras como herramienta para resolver las ecuaciones diferenciales que gobiernan el fenómeno y considerando las condiciones de frontera del problema. Entre las cualidades de este método destaca su gran versatilidad para analizar cuerpos con geometrías complejas y condiciones

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de frontera discontinua o mixta así como su capacidad para aplicarse a una amplia variedad de campos de la ingeniería. Dentro de los beneficios que se tienen en este método es que es posible visualizar los resultados claramente e interpretar esto, y es más sencillo tomar decisiones basándose en gráficas arrojadas por el método. Como ya se mencionó, el MEF es una técnica de análisis numérico empleada para obtener soluciones aproximadas para una amplia variedad de problemas de ingeniería. En la actualidad es adecuado por la generosidad que ofrece el resolver problemas obteniendo soluciones numéricas aproximadas en vez soluciones exactas, ya que en muchas ocasiones los problemas que se pretenden resolver tienen geometrías que por su complejidad no son fáciles de resolver analíticamente. Las alternativas que se pueden elegir para solucionar este tipo de problemas, consisten en hacer planteamientos a priori que simplifiquen el problema de manera que pueda resolverse. En algunas ocasiones este procedimiento funciona pero en otras ocasiones se llega a complicar más. La alternativa más viable consiste en encontrar una solución numérica con un alto grado de aproximación. Hoy en día se tienen computadoras con gran capacidad para resolver ecuaciones diferenciales parciales, que gobiernan varios fenómenos en un modelo como son: desplazamientos, temperatura, presión, etc.

El MEF emplea un arreglo de varias subregiones o elementos de tamaño muy pequeño y que están interconectados entre sí. El modelo por elementos finitos de un problema, ofrece una aproximación por elementos, de las ecuaciones gobernantes. El dominio de estudio puede modelarse y aproximarse analíticamente, reemplazándolo por elementos discretos perfectamente ensamblados. Como dichos elementos pueden ser colocados en una gran variedad de posiciones y dimensiones, es posible representar aún las formas más complejas.

El concepto fundamental del MEF consiste en que cualquier función característica del medio continuo, como la temperatura, presión o desplazamiento, pueden aproximarse por un modelo discreto compuesto de una serie de funciones continuas pieza a pieza definidas en un número finito o subdominios. Las funciones continuas pieza a pieza, se definen empleando valores de la cantidad en un número finito de puntos en su dominio.

Dichas series de funciones continuas, se eligen comúnmente de manera que aseguren la continuidad del comportamiento de éstas a través del medio continuo completo; aún en los casos en que los campos elegidos no aseguren continuidad, se pueden obtener soluciones satisfactorias. Este método puede aplicarse aún a materiales compuestos con propiedades físicas no homogéneas, o a materiales compuestos por varios tipos de materiales homogéneos.

La principal ventaja de este método es la capacidad de ser automatizado para formar ecuaciones y la habilidad que se tiene para representar estructuras irregulares y complejas, así como diversas condiciones de frontera, otra característica importante del MEF es de que el elemento al cual se le ha aplicado

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una carga, distribuye ésta a los elementos adyacentes uno tras otro, hasta los más lejanos donde las cargas llegan a ser casi nulas tomando en cuenta las condiciones de frontera para aquellos elementos ubicados en ella.

El MEF calcula, en primera instancia, los desplazamientos en los nodos de los elementos. Realiza varias iteraciones partiendo de los resultados obtenidos en la primera iteración, para repetir los cálculos de desplazamiento y de este modo, mejorar resultados posteriores con lo que se van aproximando a los reales, repitiendo este procedimiento es posible alcanzar un factor de exactitud elegido por el usuario del método.

Una vez que se encuentran los desplazamientos de los nodos, se pueden traducir en deformaciones y posteriormente en esfuerzos. Para calcular los esfuerzos a partir de las deformaciones, se emplea la Ley de Hooke en 2 dimensiones, que establece que:

(

)

(

)

El MEF posee una característica que lo hace único de entre los métodos numéricos aproximados. Esta característica es la capacidad para formular soluciones para elementos individuales antes de ensamblarlos, para representar el problema completo. Un ejemplo de dicha característica es que si se estuvieran tratando problemas de análisis de esfuerzos, sería posible encontrar la rigidez para cada elemento y ensamblar todos los elementos para determinar posteriormente la rigidez de la estructura completa. En esencia, un problema complejo se reduce considerando varios problemas simplificados.

El MEF realiza los siguientes pasos para la solución de problemas planteados por el analista:

1. Discretización del dominio. El primer paso consiste en dividir el dominio de estudio en elementos requeridos según el tipo de análisis que se realice. Se pueden emplear diferentes tipos de elementos en la misma discretización. Cuando se analiza una estructura que tiene diferentes tipos de componentes, como son placas y vigas, no sólo es deseable, sino necesario, emplear diferentes tipos de elementos en el mismo dominio.

2. Seleccionar las funciones de interpolación. El paso siguiente consiste en asignar los nodos de cada elemento y elegir el tipo de función de interpolación para representar el cambio de la variable sobre el elemento. Esta puede ser

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escalar, vector o un tensor de orden superior. En muchas ocasiones se seleccionan polinomios como funciones de interpolación para la variable, porque se integran éstos y diferencian fácilmente. El grado del polinomio depende del número de nodos asignado a cada elemento, de la naturaleza y el número de las incógnitas de cada nodo y los requerimientos de continuidad impuestos a los nodos a lo largo de los límites de los elementos. La magnitud de la variable, así como la magnitud de sus derivadas, pueden ser las incógnitas existentes en cada nodo.

3. Definir las propiedades del material. Una vez que se ha establecido el modelo de elementos se deben determinar las ecuaciones matriciales que expresan las propiedades de cada uno de los elementos, para los cuales se pueden emplear alguna de las 4 formulaciones del MEF: la formulación directa, la formulación variacional, la formulación de los pesos residuales, la formulación del balance de energía.

4. Ensamblar las propiedades de los elementos para obtener las ecuaciones

del sistema, considerando las condiciones de frontera. Para determinar las propiedades del sistema, se deben ensamblar las propiedades de todos los elementos. Se combinan las ecuaciones matriciales expresando el comportamiento del dominio del sistema. Las ecuaciones matriciales para el sistema, tienen la misma forma que las ecuaciones para un sólo miembro, excepto que éstas contienen más términos, porque incluyen a todos los elementos. La base para realizar el procedimiento de ensamble se fundamenta en el hecho de que en un nodo, donde se interconectan elementos, el valor de la variable es el mismo para cada elemento que comparte dicho nodo. Como en la actualidad se cuentan con computadoras de alta capacidad. Éstas se encargan de realizar el ensamble de las ecuaciones y de resolverlas. El paquete ANSYS 5.5 realiza todos los pasos de análisis y solución de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.

5. Resolver el sistema de ecuaciones. El proceso de ensamble del paso anterior,