La antigüedad griega y el problema de las cuadraturas

Históricamente el desarrollo de las matemáticas se ha realizado en forma paralela al progreso de las diferentes culturas, inicialmente sin más pretensiones que la de solucionar problemas que se les presentaban en su diario vivir. Un ejemplo de la situación anterior se puede observar en civilizaciones como la babilónica y la egipcia las cuales construían templos o delimitaban terrenos para cultivar; empleando la demarcación de superficies

13_{La arqueología de los obstáculos epistemológicos fue tomada del documento los obstáculos}

41 mediante la aplicación de las matemáticas que tenían a su disposición que aunque sencillas, les brindaban alternativas de solución a problemas prácticos de su vida cotidiana.

Sin desconocer que civilizaciones como las anteriores jugaron un papel importante en el progreso del conocimiento matemático, la presente investigación iniciará con los aportes matemáticos realizados en la antigua Grecia, dado que al tener motivaciones más intelectuales que prácticas, la forma de abordar las matemáticas por parte de los griegos evidencia una clara intención de fortalecer su espíritu científico.

En Grecia se empieza a organizar y sistematizar un cuerpo teórico que permite establecer procesos formales de medición, más allá de los que eran obtenidos a través de la intuición. El establecimiento de la lógica y la aplicación de sus métodos los conducen a pensar las matemáticas de una manera diferente, donde el estudio formal de los conceptos y las relaciones que se establecen entre estos, les permiten caracterizar las matemáticas como una disciplina científica.

Desde esta nueva perspectiva las ideas intuitivas sobre las diferentes formas de medir van adquiriendo un sentido de rigurosidad14 _{con la aparición de la geometría, cuyo estudio} y progreso estuvo enfocado a la solución de tres problemas referentes a la medida: La duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo.

Buscar la solución a estos problemas tenía como objeto encontrar la medida de diferentes magnitudes, pretendían establecer formas de medir que se diferenciaran de los procesos de medición empírica directa, que les permitiera determinar longitudes como la altura de las pirámides, el ancho de un rio o la distancia entre un puerto y un barco, distancias que no podían ser calculadas a partir de situaciones experimentales.

Este tipo de motivaciones dieron paso al desarrollo de muchos de los conceptos matemáticos que conocemos en la actualidad, entre ellos el concepto de la integral, noción

14_{La rigurosidad que inicia con la cultura griega marcará la evolución del conocimiento matemático y en}

42 que será también objeto de estudio.

Al investigar la cultura griega con el objetivo de analizar el cálculo de cuadraturas o el origen de la integral definida, debemos ubicarnos sobre dos épocas muy importantes: el Periodo Helénico y el Periodo Helenístico, siendo este último, el momento histórico cumbre en el desarrollo de las matemáticas griegas.

En el periodo helénico se realizaron una gran variedad de aportes a la construcción del conocimiento matemático. Pensadores como Tales de Mileto, Pitágoras, Platón, Hipócrates de Quíos, Eudoxo, entre otros filósofos y hombres de ciencia, fundamentaron sus teorías sobre la base de que los fenómenos naturales podían ser comprendidos mediante la razón, una nueva forma de entender el mundo en la que las matemáticas desempeñarían una importante labor. Es así como la matemática se constituye, en la cultura griega, como una disciplina con un método y objeto de estudio determinado, donde la demostración rigurosa de los resultados marcará un nuevo camino en la forma de fundamentar los conocimientos científicos.

A Tales de Mileto se le atribuyen las primeras demostraciones matemáticas, demostraciones que permitirían acreditar los resultados obtenidos como verdades inquebrantables, demarcando el camino que debería seguir la evolución del conocimiento de esta ciencia. Pitágoras de Samos uno de sus discípulos más sobresalientes funda una sociedad secreta a la que denomina los Pitagóricos, y siguiendo la línea de trabajo de su maestro se dedican a la búsqueda de la verdad a partir de una cosmovisión fundamentada en los números, en la que consideran que las matemáticas y sus propiedades eran la base de todo lo existente, asignándole al número la responsabilidad de ser el principio fundamental de la naturaleza.

Para los pitagóricos:

Todos los objetos estaban hechos de partículas elementales de materia o ―unidades de existencia‖ combinadas de acuerdo con las distintas figuras geométricas. El número total de unidades representaba, de hecho, el objeto material. El número era la materia y forma del universo. De ahí la doctrina pitagórica: ―Todas las cosas son número‖ (Kline, 1985).

43 Los pitagóricos establecen que dadas dos magnitudes de medida distinta, es posible encontrar otra magnitud que sirva de medida común para ambas, en otras palabras, consideran que todas las magnitudes son conmensurables15 _{y sobre esta base edifican toda} su teoría matemática.

Para los pitagóricos los razonamientos geométricos se podían transformar generalmente en problemas aritméticos, realizaron importantes avances en la geometría del plano, al punto de llegar a considerar que todo podía ser medido. Sin embargo, dos de sus tópicos más importantes: el Teorema de Pitágoras y el Pentagrama místico pitagórico, les condujo a encontrar dos magnitudes para las cuales no era posible encontrar una medida común. En efecto, se toparon con que la diagonal del cuadrado de lado 1 no era conmensurable con su lado; lo mismo que sucedía entre la diagonal y el lado de un pentágono regular, situación que desencadenaría el primer gran problema al interior de las matemáticas griegas: la aparición de las magnitudes inconmensurables.