CAPÍTULO 1. MARCO TEÓRICO: TEORÍA MODERNA DE LA CARTERA
1.12. Apalancamiento de una cartera riesgosa con dos activos
En las carteras de dos activos, en dónde una es libre de riesgo, también se pueden componer carteras acreedoras, que estas estarían compuestas de fondos prestados e inversiones de los mismos activos, así como el capital original, en la cartera riesgosa. Si se hace la suposición de que hay mercados perfectos tiene que ser posible pedir prestado y prestar a la tasa libre de riesgo F.
Los inversionistas como lo son las personas morales pueden tomar prestado a tasas muy cercanas a la tasa libre de riesgo. Por lo contrario ocurre con las personas físicas que estas no pueden tomar préstamos a la tasa libre de riesgo. Los grandes bancos así como las empresas de administración de cartera tienen costos muy bajos en préstamos. Sobre estas condiciones es posible elaborar una cartera de préstamos obteniendo dinero prestado a la tasa F e invirtiendo los
ingresos provenientes del préstamo en alguna cartera riesgosa.
Con la oportunidad de poder obtener préstamos a la tasa F el conjunto de oportunidades se
vuelve mucho más amplio para el inversionista.
La fórmula para calcular carteras acreedoras o apalancadas de dos activos dos activos riesgosos con el activo libre de riesgo es la siguiente:
P = WF RF + WO O
Como se observa la fórmula es la misma a la del apartado anterior pero ahora la proporción de inversión el activo libre de riesgo es negativa, ya que los préstamos que se obtienen a la tasa libre de riesgo se invierten en la cartera riesgosa. Matemáticamente estas condiciones presupuestarias se expresa de la siguiente manera:
WF + WO = 1
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F
Manteniendo las restricciones presupuestarias del apartado anterior:
W*A = WO (WA)
W*B = WO (WB)
WF + W*A + W*B = 1
Donde la fórmula para determinar el riesgo es igual a la del apartado anterior: σP = WO σO
Para entender y comprender mejor el apalancamiento con los ejemplos del apartado anterior realizaremos el apalancamiento en el activo libre de riesgo con los activos riesgosos.
Ejemplo 1.
El inversionista toma préstamos a la tasa F = 4%, e invierte los fondos prestados más el capital
original en la cartera óptima “O”.
Tabla de parámetros del
activo libre de riesgo y el óptimo riesgoso. Activo "F" "O" (1A,B)
Rendimiento ( ) 0.04 0.2488
Riesgo (σ) 0.00 0.0522
La siguiente tabla muestra las diferentes carteras con sus rendimientos esperados y riesgosos. Estos rendimientos esperados y riegos se calcularon utilizando las fórmulas aplicadas anteriormente:
Portafolios de inversión integrados por el activo libre de riesgo y el óptimo riesgoso.
Portafolio WF WO Riesgo (σp) Rendimiento ( p)
1 -0.2 1.2 0.0626 0.2906
2 -0.4 1.4 0.0731 0.3323
3 -0.6 1.6 0.0835 0.3741
4 -0.8 1.8 0.0940 0.4158
5 -1 2 0.1044 0.4576
Al tomar el préstamo a F para invertirlo en una cartera riesgosa observamos que tanto el
rendimiento como el riesgo aumentan. El uso de los préstamos o apalancamiento aumenta tanto los rendimientos esperados como los riesgos estimados.
En la siguiente tabla se muestra a detalle los datos de la tabla anterior, la cual desglosa la cartera óptima (WO) indicando la proporción a invertir en la acción “A” y “B”:
Portafolios de inversión integrados por
el activo libre de riesgo “F” y el portafolio óptimo riesgoso “A” y “B”. WO Portafolio WF WA WB Riesgo (σp) Rendimiento p) 1 -0.2 1.2 0 0.0626 0.2906 2 -0.4 1.4 0 0.0731 0.3323
Portafolios de inversión integrados por
el activo libre de riesgo “F” y el portafolio óptimo riesgoso “A” y “B”. WO Portafolio WF WA WB Riesgo (σp) Rendimiento p) 3 -0.6 1.6 0 0.0835 0.3741 4 -0.8 1.8 0 0.0940 0.4158 5 -1 2 0 0.1044 0.4576
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invertirlos en el portafolio óptimo, como se observa la cartera apalancada se encuentra sobre la línea recta donde se encuentra el portafolio óptimo:
Analizando la gráfica observamos que portafolio 1A,B es activo no dominado o el portafolio óptimo por lo que siempre los inversionistas conservarán el portafolio óptimo en este caso 1A,B. Algunos inversionistas invertirán una parte de sus fondos en el portafolio óptimo y otra en “F”, otros más preferiran tomar préstado fondos a la tasa F y los invertiran en “O” 1A,B junto con su valor
original. Sin embargo, todos los inversionistas que mantengan cualquier cantidad de sus fondos en activos riesgosos colocarán dichos fondos en la cartera “O” 1A,B, de lo contrario estarán
seleccionando una cartera dominada.
Ejemplo 2.
El inversionista toma préstamos a la tasa F = 4%, e invierte los fondos prestados más el capital
Tabla de parámetros del
activo libre de riesgo y el óptimo riesgoso. Activo "F" "O" (4B,C)
Rendimiento ( ) 0.04 0.2936
Riesgo (σ) 0.00 0.0257
La siguiente tabla muestra las diferentes carteras con sus rendimientos esperados y riesgosos. Estos rendimientos esperados y riegos se calcularon utilizando las fórmulas aplicadas anteriormente:
Portafolios de inversión integrados por el activo libre de riesgo y el óptimo riesgoso.
Portafolio WF WO Riesgo (σp) Rendimiento p)
1 -0.20 1.20 0.0308 0.3443
2 -0.40 1.40 0.0360 0.3950
3 -0.60 1.60 0.0411 0.4458
4 -0.80 1.80 0.0463 0.4965
5 -1.00 2.00 0.0514 0.5472
Al tomar el préstamo a F para invertirlo en una cartera riesgosa observamos que tanto el
rendimiento como el riesgo aumentan. El uso de los préstamos o apalancamiento aumenta tanto los rendimientos esperados como los riesgos estimados.
En la siguiente tabla se muestra a detalle los datos de la tabla anterior, la cual desglosa la cartera óptima (WO) indicando la proporción a invertir en la acción “B” y “C”:
Portafolios de inversión integrados por
el activo libre de riesgo (F) y el portafolio óptimo riesgoso “B” Y “C”. WO Portafolio WF WB WC Riesgo (σp) Rendimiento p) 1 -0.20 0.48 0.72 0.0308 0.3443 2 -0.40 0.56 0.84 0.0360 0.3950
61
4 -0.80 0.72 1.08 0.0463 0.4965
5 -1.00 0.80 1.20 0.0514 0.5472
La siguiente gráfica muestra la cartera apalancada resultado de tomar los préstamos con el fin de invertirlos en el portafolio óptimo, como se observa la cartera apalancada se encuentra sobre la línea recta donde se encuentra el portafolio óptimo:
Analizando la gráfica observamos que portafolio “O” 4B,C es activo no dominado o el portafolio óptimo por lo que siempre los inversionistas conservarán el portafolio óptimo en este caso 4B,C. Algunos inversionistas invertirán una parte de sus fondos en el portafolio óptimo y otra en “F”, otros más preferiran tomar préstado fondos a la tasa F y los invertiran en “O” 4B,C junto con su valor
original. Sin embargo, todos los inversionistas que mantengan cualquier cantidad de sus fondos en activos riesgosos colocarán dichos fondos en la cartera “O” 4B,C, de lo contrario estarán seleccionando una cartera dominada.
El inversionista toma préstamos a la tasa F= 4%, e invierte los fondos prestados más el capital
original en la cartera óptima “O”.
Tabla de parámetros del
activo libre de riesgo y el óptimo riesgoso. Activo "F" "O" (3C,D)
Rendimiento ( ) 0.04 0.3116
Riesgo (σ) 0.00 0.0412
La siguiente tabla muestra las diferentes carteras con sus rendimientos esperados y riesgosos. Estos rendimientos esperados y riegos se calcularon utilizando las fórmulas aplicadas anteriormente:
Portafolios de inversión integrados por el activo libre de riesgo y el óptimo riesgoso.
Portafolio WF WO Riesgo (σp) Rendimiento p)
1 -0.20 1.20 0.0494 0.3659
2 -0.40 1.40 0.0576 0.4202
3 -0.60 1.60 0.0659 0.4745
4 -0.80 1.80 0.0741 0.5288
5 -1.00 2.00 0.0824 0.5832
Al tomar el préstamo a para invertirlo en una cartera riesgosa observamos que tanto el rendimiento como el riesgo aumentan. El uso de los préstamos o apalancamiento aumenta tanto los rendimientos esperados como los riesgos estimados.
En la siguiente tabla se muestra a detalle los datos de la tabla anterior, la cual desglosa la cartera óptima (WO) indicando la proporción a invertir en la acción “C” y “D”:
Portafolios de inversión integrados por
63 O Portafolio WF WC WD Riesgo (σp) Rendimiento p) 1 -0.2 0.72 0.48 0.0494 0.3659 2 -0.4 0.84 0.56 0.0576 0.4202 3 -0.6 0.96 0.64 0.0659 0.4745 4 -0.8 1.08 0.72 0.0741 0.5288 5 -1 1.20 0.80 0.0824 0.5832
La siguiente gráfica muestra la cartera apalancada resultado de tomar los préstamos con el fin de invertirlos en el portafolio óptimo, como se observa la cartera apalancada se encuentra sobre la línea recta donde se encuentra el portafolio óptimo:
Analizando la gráfica observamos que portafolio “O” 3C, D es activo no dominado o el portafolio óptimo por lo que siempre los inversionistas conservarán el portafolio óptimo en este caso 3C,D. Algunos inversionistas invertirán una parte de sus fondos en el portafolio óptimo y otra en “F”, otros más preferiran tomar préstado fondos a la tasa F y los invertiran en “O” 3C,D junto con su valor
original. Sin embargo, todos los inversionistas que mantengan cualquier cantidad de sus fondos en activos riesgosos colocarán dichos fondos en la cartera “O” 3C,D de lo contrario estarán seleccionando una cartera dominada.
El inversionista toma préstamos a la tasa F = 4%, e invierte los fondos prestados más el capital
original en la cartera óptima “O”
Tabla de parámetros del
activo libre de riesgo y el óptimo riesgoso. Activo "F" "O" (2D,E)
Rendimiento ( ) 0.04 0.2265
Riesgo (σ) 0.00 0.0519
La siguiente tabla muestra las diferentes carteras con sus rendimientos esperados y riesgosos. Estos rendimientos esperados y riegos se calcularon utilizando las fórmulas aplicadas anteriormente:
Portafolios de inversión integrados por el activo libre de riesgo y el óptimo riesgoso.
Portafolio WF WO Riesgo (σp) Rendimiento p)
1 -0.20 1.20 0.0623 0.2638
2 -0.40 1.40 0.0726 0.3011
3 -0.60 1.60 0.0830 0.3384
4 -0.80 1.80 0.0934 0.3757
5 -1.00 2.00 0.1038 0.4130
Al tomar el préstamo a F para invertirlo en una cartera riesgosa observamos que tanto el
rendimiento como el riesgo aumentan. El uso de los préstamos o apalancamiento aumenta tanto los rendimientos esperados como los riesgos estimados.
En la siguiente tabla se muestra a detalle los datos de la tabla anterior, la cual desglosa la cartera óptima (WO) indicando la proporción a invertir en la acción “D” y “E”:
Portafolios de inversión integrados por
el activo libre de riesgo “F” y el portafolio óptimo riesgoso “D y E”. WO
Portafolio WF
WD WE
65
2 -0.4 1.12 0.28 0.0726 0.3011
3 -0.6 1.28 0.32 0.0830 0.3384
4 -0.8 1.44 0.36 0.0934 0.3757
5 -1 1.60 0.40 0.1038 0.4130
La siguiente gráfica muestra la cartera apalancada resultado de tomar los préstamos con el fin de invertirlos en el portafolio óptimo, como se observa la cartera apalancada se encuentra sobre la línea recta donde se encuentra el portafolio óptimo:
Analizando la gráfica observamos que portafolio “O” 2D,E es activo no dominado o el portafolio óptimo por lo que siempre los inversionistas conservarán el portafolio óptimo en este caso 2D,E. Algunos inversionistas invertirán una parte de sus fondos en el portafolio óptimo y otra en “F”, otros más preferiran tomar préstado fondos a la tasa F y los invertiran en “O” 2D,E junto con su valor
original. Sin embargo, todos los inversionistas que mantengan cualquier cantidad de sus fondos en activos riesgosos colocarán dichos fondos en la cartera “O” 2D,E de lo contrario estarán seleccionando una cartera dominada.
Ejemplo 5.
El inversionista toma préstamos a la tasa F = 4%, e invierte los fondos prestados más el capital
original en la cartera óptima “O”.
Tabla de parámetros del
activo libre de riesgo y el óptimo riesgoso.
Activo "F" "O" (5E,A)
Rendimiento ( ) 0.04 0.2417
Riesgo (σ) 0.00 0.0275
La siguiente tabla muestra las diferentes carteras con sus rendimientos esperados y riesgosos. Estos rendimientos esperados y riegos se calcularon utilizando las fórmulas aplicadas anteriormente:
Portafolios de inversión integrados por el activo libre de riesgo y el óptimo riesgoso.
Portafolio WF WO Riesgo (σp) Rendimiento p)
1 -0.20 1.20 0.03300 0.2820
2 -0.40 1.40 0.03850 0.3224
3 -0.60 1.60 0.04400 0.3627
4 -0.80 1.80 0.04950 0.4030
5 -1.00 2.00 0.05500 0.4434
Al tomar el préstamo a F para invertirlo en una cartera riesgosa observamos que tanto el
rendimiento como el riesgo aumentan. El uso de los préstamos o apalancamiento aumenta tanto los rendimientos esperados como los riesgos estimados.
En la siguiente tabla se muestra a detalle los datos de la tabla anterior, la cual desglosa la cartera óptima (WO) indicando la proporción a invertir en la acción “E” y “A”:
67 WO Portafolio WF WE WA Riesgo (σp) Rendimiento p) 1 -0.20 0.24 0.96 0.0330 0.2820 2 -0.40 0.28 1.12 0.0385 0.3224 3 -0.60 0.32 1.28 0.0440 0.3627 4 -0.80 0.36 1.44 0.0495 0.4030 5 -1.00 0.40 1.60 0.0550 0.4434
La siguiente gráfica muestra la cartera apalancada resultado de tomar los préstamos con el fin de invertirlos en el portafolio óptimo, como se observa la cartera apalancada se encuentra sobre la línea recta donde se encuentra el portafolio óptimo:
Analizando la gráfica observamos que portafolio “O” 5E,A es activo no dominado o el portafolio óptimo por lo que siempre los inversionistas conservarán el portafolio óptimo en este caso 5E,A. Algunos inversionistas invertirán una parte de sus fondos en el portafolio óptimo y otra en “F”, otros más preferiran tomar préstado fondos a la tasa F y los invertiran en “O” 5E,A junto con su valor
original. Sin embargo, todos los inversionistas que mantengan cualquier cantidad de sus fondos en activos riesgosos colocarán dichos fondos en la cartera “O” 5E,A de lo contrario estarán seleccionando una cartera dominada.