6. Aplicaciones de las Curvas Concoide
6.2. Aplicaciones en la actualidad
En la actualidad el uso de Concoides se da en aplicaciones de diversa ´ındole: Medicina
´ Optica
Elecromagnetismo Construcci´on Mec´anica de flu´ıdos etc.
A continuaci´on se describen brevemente algunas aplicaciones concretas.
Articulaci´on de la cadera.
Para poder cuantificar la relaci´on entre la morfolog´ıa de la cadera y la mec´ani- ca del cart´ılago, se emplean modelos computacionales que se basan en m´etodos de elementos finitos, los cuales permiten resolver ecuaciones diferenciales asociadas a problemas f´ısicos sobre geometr´ıas complicadas. Muchos de estos modelos han asu- mido la uni´on de la cadera como una esfera perfecta, pero estudios m´edicos recientes han demostrado que el an´alisis en la predicci´on de las tensiones a las que se somete la articulaci´on de la cadera es m´as preciso si se considera la interfaz hueso-cart´ılago de ´esta como una concoide rotacional. Ve´anse [2], [11] y [12] para m´as detalle.
La concoide proporciona una buena aproximaci´on de la geometr´ıa nativa de articu- laci´on de la cadera, con un promedio del error de ajuste de 0,5mm. En la siguiente imagen, a la izquierda puede observarse la curva de la concoide, definida por la ecua- ci´on r = a+b·cosθ, y a la izquierda un ajuste a´un m´as preciso a partir de la optimizaci´on deCCON CH,ayb, a lo largo de la direcci´on del vector n:
Figura 6.5: Forma concoidal de la articulaci´on de la cadera
Se trata de un factor importante y muy a tener en cuenta tanto en el estudio de enfermedades de la articulaci´on de la cadera como puede ser la osteoartritis (enfer- medad producida por el desgaste del cart´ılago), as´ı como en el dise˜no de pr´otesis de cadera donde la precisi´on en la forma de ´esta es imprescindible.
Reflectancia de la luz.
Las condiciones para la variaci´on mon´otona o no mon´otona de la reflectancia de la luz no polarizada en una interfaz con un determinado ´angulo de incidencia han sido determinadas con exactitud [3].
La condici´on de MFR (Maximum Flat Reflectance), es decir, m´axima reflectancia plana, es aquella en la que el ´ındice de refracci´on complejo de la interfaz, N, es tal que: Re (N −1)2 N3 = 2 N N∗. (6.1)
N =ηejθ =n+jk (6.2) dondeη=√n2+k2 yθ= arc tg k n , llegamos a la condici´on de MFR: M F R←→2 cosθ−√3≤η≤2 cosθ+√3. (6.3) Por lo tanto, si el ´ındice de refracci´on complejo de una interfaz es tal que 2 cosθ−√3 ≤ η ≤ 2 cosθ+√3, entonces la reflectancia de la luz no polarizada sobre dicha interfaz es mon´otona con el ´angulo de incidencia de la luz. De lo con- trario la reflectancia exhibe un m´ınimo en la incidencia oblicua de la luz. La l´ınea l´ımite de separaci´on entre las regiones de comportamiento mon´otona y no mon´otona est´a descrita por el Lima¸c´on de Pascal.
Una representaci´on gr´afica de estos valores se muestra en las siguientes im´agenes, donde la curva HIB (High Index Branch) representa el l´ımite superior del ´ındice de refracci´on complejo y la curva LIB (Low Index Branch) representa el l´ımite inferior del ´ındice de refracci´on complejo:
A partir de aqu´ı se pueden obtener ´utiles resultados, tales como una familia de curvas de m´axima reflectancia plana de luz no polarizada (Ru) en funci´on del ´angulo de incidenciaφ, y para valores concretos de la la curva HIB del Lima¸c´on de Pascal, donde la curva ’a’ corresponde a una interfaz diel´ectrico-diel´etrico conN = 2 +√3 = 3,73205:
Figura 6.7: Curvas de m´axima reflectancia
O igualmente una familia de curvas de m´ınima reflectancia plana de luz no polarizada (Ru) en funci´on del ´angulo de incidenciaφ, y para valores concretos de la curva LIB del Lima¸c´on de Pascal:
Figura 6.8: Curvas de m´ınima reflectancia
Todas estos resultados, son de gran utilidad en todas aquellas materias donde la reflectancia de la luz juega un papel importante, tales como:
• Dise˜no de lentes ´opticas • An´alisis de materiales
• Estudio de radiaciones elctromagn´eticas • Fibra ´optica
• etc.
Fractura concoidal.
La fractura concoidal es un tipo de rotura propia de materiales fr´agiles, de composi- ci´on homog´enea, pero amorfa (is´otropa), que al trocearse no siguen planos naturales de separaci´on. Entre estos materiales podemos incluir el vidrio dom´estico, algunos minerales (cristal de roca) y numerosas rocas naturales duras y criptocristalinas como el s´ılex, la cuarcita, la obsidiana, etc.
Figura 6.9: Ejemplos de fracturas concoidales: obsidiana arriba y vidrio abajo
gran importancia en la Prehistoria, pero hoy en d´ıa tambi´en es empleada por muchos ge´ologos para determinar la naturaleza de los materiales que estudian. Igualmente es una caracter´ıstica de utilidad en la elecci´on de materiales de construcci´on. Antena Lima¸c´on.
Se trata de antenas cuyo patr´on de radiaci´on posee la forma del Lima¸c´on de Pascal:
Figura 6.10: Diagrama de radiaci´on de una antena de Lima¸c´on
Un ejemplo de su uso puede darse en antenas de VHF (Very High Frequency, de 30 a 300MHz) las cuales son empleadas por ejemplo en algunos sistemas de comunicaci´on mar´ıtima o a´erea.
Ve´anse [26] y [27] para m´as informaci´on. Gu´ıas de onda.
Hoy en d´ıa contamos con gu´ıas de onda triangulares, rectangulares, pentagonales, circulares, el´ıpticas y parab´olicas, pero todas estas gu´ıas de ranura poseen esquinas pronunciadas en la propia gu´ıa que las hacen tener algunas p´erdidas y no ser tan eficientes en la propagaci´on de las ondas.
Debido a esta limitaci´on en la gama de gu´ıas, se han estudiado las curvas existentes para ver si se pueden encontrar gu´ıas mejores [22], y m´as en concreto se ha estudiado gu´ıas de onda rectangulares con las esquinas redondeadas, partiendo de las ecuaciones de dos curvas de contorno simples,ρ=a/cosϕ+lyρ=acosϕ+l, que no son otras que la Concoide de Nic´omedes y el Lima¸c´on de Pascal, respectivamente.
Tras el estudio se ha llegado a la conclusi´on de que las gu´ıas de onda rectangulares regulares con esquinas interiores lisas y redondeadas estudiadas, deber´ıan ser m´as eficientes en la transmisi´on de energ´ıa de alta frecuencia.
Mec´anica de procesamiento de flu´ıdos.
Como hemos comentado anteriormente, durante el siglo pasado ya se llevaron a ca- bo algunos intentos para producir m´aquinas de compresi´on-expansi´on basadas en el movimiento de la curva del Lima¸c´on de Pascal, pero estos intentos no culminaron en la producci´on a gran escala en la industria debido a la sustituci´on de la curva de Lima¸c´on por una circular, sin prestar suficiente atenci´on al perfil del rotor. Poste- riormente se ha demostrado que las m´aquinas de procesamiento de fluidos basadas en la curva de Lima¸c´on poseen relaciones volum´etricas sinoidales y ecuaciones de presi´on y de par de fuerza simplificadas, lo cual resulta enormemente beneficioso en el dise˜no de estas m´aquinas. Ve´ase [20] para m´as detalle.
En la siguiente figura puede observarse el esquema de una m´aquina de fluidos basada en la curva de Lima¸c´on: una m´aquina de compresi´on-expansi´on.
Figura 6.12: M´aquina de compresi´on-expansi´on
Y las relaciones de presi´on y par de fuerzas de fluido, en funci´on del ´angulo de giro del rotor:
Figura 6.13: Presi´on y par de fuerzas
Aunque en la actualidad esta maquinaria de procesamiento de fluidos basada en la curva de Lima¸c´on ya se fabrica e instala en diferentes sistemas industriales, se espera que con los avances de la tecnolog´ıa de fabricaci´on se atraiga a´un m´as el inter´es de la industria y tenga una expansi´on mayor.
Cap´ıtulo 7
Superficie Concoide
Las concoide de superficies son objeto de varios estudios en la actualidad en los que el presente proyecto podr´ıa resultar de gran utilidad. Por ese motivo, y por la l´ogica relacci´on con la concoide de una curva, se hace en este cap´ıtulo una breve rese˜na a las concoide de superficie. Ve´anse [5], [13] y [14] para m´as informaci´on sobre los conceptos expuestos en este cap´ıtulo.
Se define lasuperficie concoide,C(S), de una superficie irreducibleS ∈R3, para un foco A(a, b, c) y una distancia fijad >0, como el conjunto de puntos Qen la recta AP a una distanciadde un puntoP movi´endose en la superficieS.
De forma m´as precisa, es el conjunto de puntos definido por:
C(S) ={Q∈AP,con P ∈ S, tal que dist(Q, P) =d}.
Figura 7.1: Superficie concoide: definici´on.
Y en las siguientes imagenes puede observarse la comparativa entre la concoide de una recta y la concoide de un plano:
Figura 7.2: A la izquierda la concoide de una recta en R2 y a la derecha la concoide de un
plano enR3.
Figura 7.3: Concoide rotacional del cono
Figura 7.4: Concoide de una esfera.
Figura 7.5: A la izquierda: concoide rotacional del cilindro. A la derecha: concoide rota- cional de la hip´erbola.
Cap´ıtulo 8
Bibliograf´ıa
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