Aplicaciones

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3. Correspondencia entre conjuntos convexos y funciones sublineales

3.5. Aplicaciones

mo el c´alculo se da con subconjuntos deRn, entonces la pregunta es ¿ para qu´e extender

estas estructuras en correspondencia v´ıa la operaci´on soporte ? Y ¿ para qu´e extensi´on es la operaci´on soporte un isomorfismo? la respuesta se da en esta secci´on, empecemos con la relaci´on:

Proposici´on 3.12. Sea S1 y S2 conjuntos convexos cerrados no vac´ıos, adem´as δS1 y δS2 son sus respectivas funciones soporte. entonces:

S1 ⊂S2 ⇔δS1(d)≤δS2(d), ∀ d∈R

Demostraci´on. Al aplicar la condici´on de equivalencia en el corolario 3.4.1.1 se satisface: S1 ⊂S2 ⇔ s ∈S2, para todo s∈S1, d∈Rn. ⇔ δS2 ≥ hs, di, para todo s∈S1, d∈R n. ⇔ δS2 ≥ sup s∈S1 hs, di, d∈Rn. ⇔ δS2 ≥δS1, d∈R n.

De manera que el resultado anterior generaliza al teorema 3.3.1, y si se complementa con la proposici´on 3.5:

Proposici´on 3.13. Sea δS1 y δS2 las funciones soporte de los conjuntos convexos ce- rrados S1 y S2. Si t1 y t2 son escalares positivos, entonces: t1δS1 +t2δS2 es la funci´on soporte de cl(t1S1+t2S2)

Demostraci´on. Llamando S al conjunto convexo cerradocl (t1S1+t2S2), por definici´on

su funci´on soporte es: δS(d) = sup{ht1δS1 +t2δS2, di:s1 ∈S1, s2 ∈S2}

En la expresi´on anteriors1 y s2 act´uan independientemente de sus conjuntos ´ındices S1

y S2 y t1 y t2 son positivos, as´ı que :δS(d) = t1sups1∈S1hs, di+t1sups2∈S2hs, di

Entonces:δS(d) = t1δS1+t2δS2 ; adem´as como t1S1+t2S2 es autom´aticamente cerrado.

Si exploramos la homogeneidad positiva en la proposici´on anterior se puede escribir:

δtS(d) =δS(td), para todo d∈Rn y t >0

la condici´on se cumple tambi´en parat negativo, generalmente: Proposici´on 3.14. Sea A:Rn

Rm un operador lineal, con adjunta A∗ ( para alg´un

producto escalar ., . en Rm) para S ⊂Rn no vac´ıo se tiene:

Demostraci´on. Se escriben las definiciones : δA(s)(y) = sup s∈S As, y = sup s∈S hs, A∗yi

al usar la proposici´on 3.9 se obtiene:

δcl A(S)(y) =δS(A∗y), para todo y ∈Rm

La operaci´on imagen es otra operaci´on que implica un operador lineal: Proposici´on 3.15. Sea Sea A : Rn

Rm un operador lineal, con adjunto A∗ ( para

alg´un producto escalar ., . enRm), sea δla funci´on soporte de un conjunto S⊂Rn

convexo cerrado no vac´ıo. Si δ es minimizado sobre la imagen inversa:

A−1(d) ={p∈Rn:Ap=d}

de cada d∈Rn, entonces la funci´on soporte del conjunto (A−1)(S) es la clausura de la imagen de la funci´on: Aδ

Demostraci´on. La homogeneidad positiva de Aδ es clara, parad∈Rn y t >0

(Aδ)(t.d) = ´ınf

Ap=td

δ(p) = ´ınf

A(P /t)=dtδ(p/t) =tAq´ınf=dσ(q) = t(Aδ)(d)

As´ı la funci´on sublineal cerradacl(Aδ) soporta alg´un conjunto S0, por definici´on,s ∈S0

si y solo si:hs, di6´ınf{δ(p) :Ap=d}, para todo d∈Rn

Esto significa que: hs, Api 6 δ(p) , para todo p ∈ Rm, Esto es: As S porque

hs, Api=A∗s, p

La imagen inversa (A∗)−1(s) del conjunto cerrado S bajo el mapeo continuo A∗ es cerrado. Aδ no necesariamente es una funci´on cerrada, como caso particular suponga

que S es acotado (δS es finita en todas partes) y que A es sobreyectiva, entonces Aδ es

Observaci´on 18. La hip´otesis hecha en la proposici´on 3.14 significa exactamente que la funci´on As es en ninguna parte −∞, en otras palabras, su clausura cl (Aδ) es la

funci´on soporte de un conjunto no vac´ıo: (A∗)−1(s) 6= φ . La propiedad anterior se

podr´ıa reescribir como:

S∩Im A∗ 6=φ o´ 0∈S−im A∗ =S+ (kerA) (3.30) Como ya se mencion´o la funci´on imagen es una operaci´on interesante, de la cual otras m´ultiples son construidas: Por ejemplo:

- Sea S1 y S2 dos conjuntos convexos cerrados no vac´ıos de Rn con funciones soporte

δS1 y δS2 y con R

m =

Rn×Rn se toma A(x, y) :=x+y y δ(d1, d2) :=δ1(d1) +δ2(d2)

Observe que δ es la funci´on soporte de S =S1×S2 asociado al producto escalar:

(s1, s2),(d1, d2):=hs1, d1i+hs2, d2i

El siguiente resultado es futura ilustraci´on del isomorfismo del que tanto se habla: Cuando combinamos conjuntos convexos cerrados se sabe que sucede con sus funciones, al aplicar los resultados (3.12-3.14) . An´alogamente, cuando las funciones sublineales cerradas son combinadas uno sabe que sucede con los conjuntos que ´estos soportan: las diferentes regla implicadas se resumen en la siguiente tabla:

Conjuntos convexos cerrados funciones sublineales cerradas

S1 ⊂S2 δS1 < δS2 tS (t >0) tδ cl (S1+S2) δS1 +δS2 clA(s) ( A es lineal) δ o A∗ (A−1)∗(s) cl (Aδ) ∩j∈JSj co(´ınfj∈Jδj) co(∪j∈JSj) supj∈Jδj

Generalmente hablando , ´esto ayuda a recordar cuando un conjunto aumenta, su funci´on soporte se incrementa (primera fila, y surge de la definici´on 3.3.1.

Muchas de estas reglas son aplicadas sin convexidad cerrada en cada Sj ( recor-

dando que δS =δco S).

Muchas de estas reglas son aplicadas sin convexidad cerrada en cada conjuntoSj

(recordando que δS = δco S¯ ) Por ejemplo la equivalencia en la fila 1, requiere la

convexidad solo de S2.

Cuando interceptamos conjuntos, cada conjunto debe ser cerrado y convexo ne- cesariamente para preservar las mismas propiedades, por ejemplo: considere: A=

{0,1} y B = {0,2}, as´ı las funciones soporte no distinguen la diferencia entre

1. Las funciones sublineales son aquellas que son homog´eneas positivas y convexas a la vez, particularmente se ha trabajado con las funciones gauge y funciones soporte, que son ejemplos importantes de ´estas.

2. Dado un conjunto convexoSenRn, su funci´on soporte es el supremo de la colecci´on de todas las formas lineales sobre S.

3. Una funci´on soporte definida en un conjunto convexo cerrado acotado no vac´ıo llega ser una funci´on sublineal.

4. La maximizaci´on de funciones lineales sobre un conjunto C se puede estudiar en t´erminos de su funci´on soporte y como resultado de ´este estudio, se afirma que un conjunto convexo cerradoC se puede expresar como el conjunto de soluciones del sistema de desigualdades dada por su funci´on soporte, lo cual nos condujo a una correspondencia biyectiva entre conjuntos convexos y funciones soporte:

C −→ δC

s −→ [hs, di6δC(d), ∀ d∈Rn]

Adem´as la clausura de una funci´on sublineal resulta ser la funci´on soporte del conjunto convexo cerrado, con lo cual la biyecci´on se restringe hacia las funciones sublineales cerradas.

C ={s∈Rn:hs, di

6δC(d), ∀ x∈Rn}

[1] R. Tyrrel Rockafellar “Convex Analysis”, Princeton University Press, New Jersey 1972.

[2] Hirriart Urruty J., Lemar´echal C., “Fundamental of convex analysis.”, Springer- Verlag 2010. Berlin Heidelberge Gmbh.

[3] Diaz Albujar J., Torres Gonzales J. “Optimizaci´on Convexa y subdiferenciabilidad”, Tesis en Licenciatura, FACFYM. UNPRG. Lambayeque 2003.

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