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La historia del álgebra lineal muestra que las matrices originalmente fueron utilizadas para resolver lo que llamamos sistemas de ecua- ciones lineales. Hoy día, las matrices juegan un papel muy importante en diferentes áreas de estudio, como en economía o ingeniería. En este capítulo vemos algunas aplicaciones de las matrices que justifican el porqué del estudio independiente del conjunto de matrices en esta era computacional y de redes; esto es más provechoso que ver a las matrices como entes que sirven para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
El uso de matrices para resolver problemas prácticos no llegó con la aparición de estas, ya que su objetivo inicial consistía en re- solver los llamados sistemas de ecuaciones lineales (véase capítulo 4). Por tanto, al principio las matrices tuvieron pocas aplicaciones, las cuales no resultaban de uso común. El físico y matemático alemán Max Born (1882-1970) realizó un estudio sobre los sistemas físicos entre 1920 y 1925, a los cuales relaciona con la teoría matricial. Born fue el primero en entender que en vez de concentrarse en la evolución de los sistemas físicos de principio a fin, los esfuerzos se debían enfocar en obtener información después de conocer los estados inicial y final del sistema, sin preocuparse demasiado por saber en forma precisa lo ocurrido en el medio, y que esto tenía relación con la teoría de matrices ya establecida por los matemáticos.
La concepción de la evolución de los sistemas físicos establecida por Born fue aprendida por el físico alemán Werner Karl Heisen- berg (1901-1976), quien trabajó como ayudante de Born en 1923; dos años más tarde, en 1925, Heisenberg concibió la idea de agrupar la información de los sistemas físicos en forma de cuadros de doble entrada, además de inventar la mecánica cuántica matricial. La teoría cuántica tuvo un éxito enorme y logró explicar prácticamente todo el mundo microscópico. En 1932, poco antes de cumplir 31 años, Heisenberg recibió el Premio Nobel de Física por: La creación de la mecánica cuántica.
Otro ejemplo del uso de la teoría de las matrices lo presentó la matemática austriaca Olga Taussky-Todd (1909-1995), quien entre 1943 y 1947 trabajó como ingeniera de aviones en el Laboratorio Nacional de Física de Londres. Ahí, Olga Taussky investigó acerca de las vibraciones producidas en las alas de los aviones supersónicos (o fenómeno de la aeroelasticidad llamado fluttering) y pudo sim- plificar muchos cálculos a través de ecuaciones diferenciales con el uso de matrices. En fin, existen numerosos ejemplos exitosos en los que se ha aplicado la teoría de matrices, pero que no pertenecen a los objetivos del texto.
En este capítulo revisamos algunas aplicaciones que se pueden realizar con las matrices. La forma en que se trata cada problema es la siguiente: primero, antes del uso de las matrices, proporcionamos una introducción de los conceptos y los resultados necesarios para una mejor comprensión del tema; después, empleamos las matrices para resolver el problema. Los temas de aplicación que trata- mos en este capítulo están relacionados con administración, ciencias sociales, ingeniería industrial, informática, medicina, investiga- ción de operaciones, etcétera. Asimismo, las aplicaciones que contemplamos en este capítulo son:
Grafos. En esta aplicación revisamos qué es un grafo dirigido y no dirigido, la matriz de incidencia y su representación matricial. La aplicación del producto entre matrices nos ayuda a determinar los enlaces entre nodos.
Agencia de viajes. Una aplicación de la propiedad asociativa del producto entre matrices se puede realizar con el problema de asignación de rutas por una agencia de viajes, para poder ofrecer al cliente diferentes rutas de viaje de una ciudad a otra. La matriz del modelo puede construirse con distancias, costos y tiempo de viaje entre ciudades, entre otras.
Propagación de epidemias. Otra aplicación de la propiedad asociativa del producto entre matrices se puede ver al estudiar cómo se propaga un virus entre los habitantes de las poblaciones afectadas.
Dominancia entre personas. En las actividades sociales de los individuos de un grupo puede ser de interés conocer a los verdaderos líderes del grupo y la forma en que influyen en el resto del grupo. Las matrices y sus propiedades proporcionan una herramienta fácil, pero efectiva, para encontrar estas relaciones.
Logística. Mediante las matrices de incidencia de una red de transporte es posible determinar las diferentes rutas que pueden co- nectar un nodo con otro u otros nodos, para poder programar la logística de distribución de una empresa a sus consumidores.
Criptografía. Uno de los problemas militares más antiguos que se refieren al envío de mensajes codificados tiene en las matrices un método muy popular de codificación que presentamos más adelante.
Cadenas de Markov. Las matrices encuentran una aplicación muy importante en los problemas de la probabilidad condicional y los procesos estocásticos, para analizar las tendencias que puede tener un negocio, bajo ciertas condiciones de mejora, que se pue- den calcular a través de las matrices de transición.
Líneas de espera. El problema de las líneas de espera bajo ciertos supuestos se puede llevar a un problema estocástico que es fácil de resolver mediante matrices.
Modelo de inventarios. Otra aplicación de las cadenas de Markov se revisa mediante un modelo estocástico particular de inven- tarios.
Uso de Matlab. En esta parte de las aplicaciones resulta fundamental el uso del paquete Matlab, para realizar las operaciones entre matrices.
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En la actualidad, la teoría de grafos se ha estudiado bastante, de manera que la cantidad de áreas con las que se vincula es muy extensa. De este modo, si se tiene en cuenta que el objetivo principal del tema es su relación con las aplicaciones y matrices, en esta sección rea- lizamos una acotación sobre el tema y nos concretamos en los puntos principales de los grafos que son requeridos en las aplicaciones. La palabra grafo que hoy día utilizamos en computación y matemáticas proviene del griego grafos, que significa “dibujo, imagen o gráfica”. Aunque grafo y gráfica son lo mismo, aquí optamos por llamarla grafo, para conservar la nomenclatura usual del tema en la literatura. Hecha esta aclaración, podemos decir que en el texto los grafos se acotan al estudio de las relaciones binarias entre dos conjuntos de objetos llamados vértices o nodos unidos por segmentos de recta llamados aristas o arcos.
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Grafos. Sea N un conjunto de nodos o vértices y A un conjunto de aristas o arcos, llamamos grafo G al par ordenado G " (N, A), donde cualquier elemento de A relaciona a elementos de N. Se llama grafo dirigido (véase figura 2.1a) cuando se cumplen dos condiciones:
Ningún nodo está conectado consigo mismo.
Hay a lo más una arista que conecta un nodo con otro.
Un grafo será no dirigido cuando hay dos aristas que conectan un nodo con otro o la arista no tiene dirección (véase figura 2.1b).
Como se puede observar en la definición 2.1, restringimos a los grafos dirigidos a una sola parte de estos. Esto se debe a que en las aplicaciones que revisamos son los casos que tienen mayor interés en las aplicaciones.
2 2 4 1 3 3 5 6 1 4 a) Grafos dirigidos 2 2 4 1 3 3 5 6 1 4 b) Grafos no dirigidos -PN\YH Ejemplos de grafos.
En la definición 2.2 se contempla la ocurrencia de los siguientes grafos que no son de interés para los objetivos de las aplicaciones de este texto; en otras palabras, las siguientes situaciones no ocurrirán en los problemas revisados aquí.
Grafo nulo: Cuando N " A " 0/.
Grafo vacío: Cuando A " 0/.
Grafo trivial: Cuando N " {a} y A " 0/.
Los grafos que son de interés en las aplicaciones de este texto se contemplan en la definición 2.2.
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Grafos simples. Un grafo es simple cuando no existe enlace de un nodo con este mismo.
En la figura 2.1, ambos grafos dirigidos (véase figura 2.1a) y el grafo no dirigido que carece de direcciones (véase figura derecha de 2.1b) son grafos simples.
En el estudio de los grafos es importante conocer sus recorridos, mismos que podemos clasificar de la siguiente forma:
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Trayectoria. En un grafo, un nodo se puede unir con otro en forma directa (una arista) o indirecta (dos o más aristas). La ruta que sigue la unión de un nodo con otro se llama trayectoria o cadena. Si ocurre que una arista conecta a un nodo consigo mismo se llama bucle. Cuando la trayectoria cumple las siguientes dos condiciones se llama ciclo.
Ninguna arista puede aparecer más de una vez por una secuencia de aristas.
El nodo inicial de la trayectoria es el mismo que el nodo terminal.
Por ejemplo, sean los enlaces siguientes:
n1q n2q n3, es un enlace 2 cadena del nodo n1 al nodo n3 a través del nodo n2.
n3q n2q n5q n7, es un enlace 3 cadena del nodo n3 al nodo n7 a través de n2 y n5.
El grafo dirigido de la figura 2.2 muestra las dos trayectorias posibles para ir del nodo 1 al nodo 6, sin formar ciclos, referentes al grafo de la figura 2.1a.
Solución
Podemos apreciar que la trayectoria más sencilla es n1 q n4 q n6, que es un enlace 2 cadena. Además, se tiene la trayectoria n1q n2q n3q n4q n6 que es un enlace 4 cadena (véase figura 2.2). También podemos notar que cualquier otra trayectoria formaría ciclos, lo que no es desea- ble en las aplicaciones.
En general, una trayectoria que recorre n aristas (pasa por n 1 nodos) se llama n cadena. Cuando una trayectoria n cadena pasa o visita un nodo más de una vez, se llama redundante.
2 tr2 tr2 tr2 tr1 tr1,tr2 3 5 6 1 4 -PN\YH Trayectorias 1 y 2. ,QLTWSV
Los grafos que vamos a estudiar no deben tener bucles, además de que dos nodos no se pueden unir por más de una arista entre sí. Otra característica que pedimos a los grafos que vamos a estudiar y utilizar es que sean conexos.
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Conexo. Cuando un grafo no se puede dividir en dos grafos, sin eliminar por lo menos una de las aristas, es un grafo conexo. Un grafo dirigido se llama fuertemente conexo si se puede llegar a cualquier nodo desde cualquier otro nodo.