Aproximaci´ on de los Par´ ametros

En apartados anteriores de este mismo cap´ıtulo, se calcul´o los par´ametros uni- dimensionales: c1, c3, V, τr y sr. Sobre c2 se dijo que se puede hacer funci´on de los dem´as. Resta, pues, hablar sobre q(vi) (definido en la secci´on 3.2.1)y los par´ame- tros de la fuerza de pista, k1 y k2 (definidos en la secci´on 3.2.2). En esta secci´on se buscar´a ponerles cotas razonables sin ahondar en valores exactos.

En el apartado3.2.1fueron enumeradas tres alternativas paraq(vi). Cada una de ellas da lugar a par´ametros distintos:

q, para la alternativa de q constante.

x∗, para la de ancho constante.

τq y sq, para la alternativa lineal.

T´omese primero el caso m´as simple, del ancho constante. El par´ametro aqu´ı es

x∗, en unidades de distancia. Su valor no debe ser tan grande que afecte la capacidad a velocidades bajas entre autos (aunque podr´ıa hacerlo para autos con buses). Con- sid´erese estas restricciones para estimar una cota superior parax∗. Un ancho de pista de 3,6 m y de los autos de 1,7 m, significa x∗ <1,9 m (de distancia neta, vale decir, descontando el ancho de los veh´ıculos). Sup´ongase que los buses afectan la capacidad de las pistas vecinas. En ese caso, se puede inferir una posible cota inferior. En efecto, un ancho de buses de 2,5 m la pondr´ıa en 1,1 m.

Para el caso de q constante, es necesario primero observar el espaciamiento de equilibrio. A flujo m´aximo y velocidad de flujo libre (y, por lo tanto, espaciamiento cr´ıtico), valores t´ıpicos del espaciamiento van de 54 a 67 m. (considerando capacidades de 1800 a 2200 veh/h y velocidades de 120 km/h≈33,3 m/s). Sup´ongase que a esa velocidad s´ı se afecta la capacidad en pistas aleda˜nas entre autos. Nuevamente, si suponemos anchos de pista de 3,6 m y de autos de 1,7 m, se puede calcular:

q < 54

3,6−1,7 ≈28,7 (4.21)

Para la cota inferior se puede seguir una l´ogica similar, a velocidad cero. S´olo se invierte el supuesto: los autos en esta situaci´on no debieran afectar la capacidad de las pistas vecinas. Suponiendo una concentraci´on de taco alta, de 0,2 veh/m (lo que implicar´ıa un espaciamiento de 5 m):

q > 5

3,6−1,7 ≈2,6 (4.22)

N´otese que el par´ametroq, y en los otros casos, la funci´onq(v), es adimensional. Para el caso lineal, se puede seguir criterios similares para obtener las cotas:

El valor de sq no puede ser tan grande como para que a velocidad 0 afecte la capacidad. Con los anchos anteriormente descritos:

sq <1,9, (4.23)

y que evite colisiones laterales a cualquier velocidad:sq >0.

De τq se espera que s´ı afecte la capacidad de la pista vecina para velocidades altas. Siguiendo con el mismo ejemplo:

sq+V τq >1,9, (4.24)

pero no dos pistas m´as all´a:

sq+V τq <5,5, (4.25)

lo que, para valores t´ıpicos de los par´ametros implica: 0< τq <

3,6

25 = 0,144, (4.26)

Un caso particular de esta formulaci´on es aquel en que τq y sq derivan de τm y

sm.

Para refinar m´as all´a estos valores, har´a falta esperar hasta los experimentos. La tabla4.4 resume los intervalos declarados hasta este punto.

Fuerza de Pista

Respecto a las constantes de pista, conviene hacer algunas consideraciones pre- vias.

En direcci´on longitudinal, se ha dicho que el modelo debiera evitar ciertas oscila- ciones. En direcci´on lateral, en cambio, nada hay evidente que las haga desaconsejables (mientras las trayectorias sigan siendo razonables).

Tabla 4.4. Cotas sugeridas para los par´ametros de q(v)

cotas sugeridas formulaci´on par´ametro inferior superior

q fijo q 2,6 28,7

ancho fijo x∗ 1,1 [m] 1,9 [m] lineal τq 0 [s] 0,144 [s]

sq 0 [m] 1,9 [m] Fuente: Elaboraci´on Propia

Moridpour et al. (2010) concluyeron que un cambio de pista (CP) tardaba en promedio 4,9 segundos (4,8 para autos7_{y 8 para veh´ıculos pesados, ponderados por su}

concentraci´on). Lo hicieron a partir de datos obtenidos en autopistas estadounidenses, entre 2003 y 2004. Una hip´otesis de trabajo de la presente tesis es que la fuerza de pista es una sola (tanto para mantenci´on como cambio de pista, seg´un se dijo en la sec. 3.2.2).

La fuerza de pista se define en funci´on de una ecuaci´on diferencial. En virtud de ello, se puede decir que un CP ser´a asint´otico. Hablando en t´erminos algebr´aicos, nunca concluye. Por razones pr´acticas, consideraremos el siguiente supuesto:

Un cambio de pista se considera exitoso si s´olo resta una fracci´on r del mismo.

N´otese querno es un par´ametro del modelo y s´olo existe para efectos de an´alisis. Un posible r se deriva del instante en que el veh´ıculo toca la mediana de la pista de destino (v. figura4.5). Para un ancho de pista de 3,6 m y uno de veh´ıculo de 1,7 m,

r≈23,6 %. Para un ancho de veh´ıculo de 1,8 m, r= 1₄.

Y medianas r∆x_p (dirección del flujo) X divisorias de pistas ∆x_p

Figura 4.5. Diagrama de un cambio de pista. ∆xp representa el ancho de la pista.res la fracci´on de medio ancho de veh´ıculo promedio sobre aqu´el. Se considera exitoso el cambio de pista cuando s´olo resta la fracci´on r. Fuente: Elaboraci´on Propia

M´as adelante se incluir´a este r en los c´alculos. Primeramente, hace falta volver sobre el proceso de un CP en s´ı. ´Este se define aplicando las condiciones iniciales pertinentes a (3.8):

¨

x(t) =−k1x˙(t)−k2x(t);x(0) = ∆xp; ˙x(0) = 0, (4.27) que representa un oscilador arm´onico amortiguado. Las condiciones iniciales se pueden leer como: ∆xp es el ancho de pista y la velocidad lateral inicial es cero. Tanto k1 comok2 deben ser positivos para que la fuerza modele una reducci´on de x(t).

De la misma definici´on se desprende que la aceleraci´on ent = 0 es−k2∆xp. Esto permite acotark2 en funci´on de la m´axima aceleraci´on lateral, axmax:

0< k2 <

ax max ∆xp

de donde cualquier valor razonable para k2 ser´a menor que 1 ₁

s2

(toda vez que una aceleraci´on lateral mayor a 3,6 _sm2

resulta inveros´ımil). Ahora bien, la soluci´on de (4.27) es:

x(t) =∆xpe− k₁ 2 t k1 p k2 1 −4k2 sinh p k2 1 −4k2 2 t ! + cosh p k2 1−4k2 2 t !! . (4.29) De modo an´alogo a la fuerza de repulsi´on, se pueden distinguir tres casos: i) k12−4k2 <0, amortiguamiento subcr´ıtico. La ecuaci´on (4.29) se puede reescribir

como: x(t) =∆xp 2√k2 p 4k2 −k21 e−k21tsin p 4k2−k21 2 t+ arg q 4k2−k12+ik1 ! , (4.30) en que la primera parte del lado derecho es laenvolvente del seno que multiplica. ii) k12−4k2 = 0, amortiguamiento cr´ıtico. Nuevamente, (4.29) se traduce en:

x(t) =∆xpe− √ k2t_{1 +}p_k 2t (4.31) iii) k12−4k2 >0, amortiguamiento supercr´ıtico.

En los tres casos, conocidosk1 y k2 se puede obtener el tiempo que toma un CP:

t|x(t) = rx(0) =r∆xp

Esto ´ultimo, permite obtener una regi´on para ambos par´ametros en el plano

k1 −k2. La figura 4.6 ilustra dicho plano. Las cotas indican el tiempo de CP para

r= 1₄ en funci´on de k1 y k2.

En los casos cr´ıtico y subcr´ıtico, incluso se puede obtener expresiones parat(k1, k2):

t =2 k1 log 2 r + 1 2log k2 k2 1 − 1 2log 4k2 k2 1 −1 , (4.32)

Figura 4.6. Plano k1−k2 de la fuerza de pista. Las cotas de nivel repre- sentan el tiempo para concretar un cambio de pista (r=25 %). Se distingue la semipar´abolak2 = k

2 1

4 de amortiguamiento cr´ıtico. A la derecha, amorti- guamiento supercr´ıtico. A la izquierda, subcr´ıtico (se consider´o la envolvente para calcular el tiempo). Fuente: Elaboraci´on Propia

para el caso subcr´ıtico (resolviendo para la envolvente), y:

t =−W−1 − r e −1 √ k2 , (4.33)

para el cr´ıtico, dondeW−1(x) es la rama inferior de la relaci´on de Lambertx=W eW. Una observaci´on importante es que si se busca minimizar el n´umero de par´ame- tros, se puede reducir a siete. Para ello, basta escoger los casos cr´ıticos parac2 yk2, y uno de los q(v) m´as simples (i.e. los que s´olo toman un par´ametro: de ancho o raz´on fijos).