Aproximaciones teóricas que proponen

presupuestos teóricos y matemáticos que permiten la determinación de diámetros de planetas y descripciones de órbitas planetarias, ubicación de astros, distancias entre planetas, el Sol, la Luna y la Tierra.

El trabajo de Teets y Whitehead (1998) parte del supuesto que “no es muy común encontrar en la historia de la ciencia y de las matemáticas grandes problemas cuyas

soluciones son accesibles a los estudiantes de primer o segundo año de pregrado” (p. 397). Este supuesto presenta una contradicción con lo que se ha planteado en secciones

anteriores, en las que se ha argumentado, por ejemplo, que de hecho la astronomía ha permitido el establecimiento de principios y construcciones matemáticas, muchas de las cuales se abordan hoy en día en las escuelas y colegios, aunque en tales casos sin una relación evidente con el estudio del universo o de la Tierra. Dicha afirmación contradice además los supuestos de esta investigación y de hecho no corresponde con la gran cantidad de literatura que puede encontrarse sobre la astronomía. Tal vez el punto de contradicción esté relacionado con la claridad necesaria que hay que establecer cuando los autores hablan de “grandes problemas”, pues el calificativo es difícil de dimensionar en todos los

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Independiente de ello, estos autores plantean el problema de calcular las orbitas planetarias en el aula de matemáticas, partiendo de dos vectores en R3, para describir la posición respecto del Sol y calcular además los parámetros para determinar su posición en cualquier momento. El objetivo de su indagación se resume en presentar un método accesible para estudiantes partiendo de ese modesto contexto, sin la pretensión de obtener resultados extremadamente precisos. Para ello exponen que se requiere un fundamento en cálculo y geometría analítica (productos entre vectores, ecuaciones de líneas y de planos, trigonometría, coordenadas polares de la elipse, áreas, etc.), aspectos que se ubican más bien en contextos de pregrado y no de manera directa en los últimos grados de secundaria. Sin embargo, su aproximación permite ejemplificar un caso de estudio astronómico que puede implementarse en relación con las matemáticas y eventualmente con estudiantes más avanzados del último grado de secundaria.

El mismo Teets (2007) sugiere una aproximación, con un grado de complejidad mayor, para definir el tratamiento algebraico necesario para la programación de un

telescopio electrónico (más conocidos como Go To Telescopes), del que se quiere que siga un cuerpo celeste durante su desplazamiento. El problema se trata entonces de encontrar varios sistemas coordenados que simplifiquen los diferentes movimientos de la Tierra y de otro cuerpo celeste y relacionarlos con las rotaciones y traslaciones de los ejes coordenados. El texto aborda conceptos diversos relacionados con la ubicación astronómica de cuerpos celestes (altitud y azimuth), derivadas respecto del tiempo, sistema coordenados en R3, trigonometría y matrices. La conclusión de este trabajo sugiere el asombro que genera el hecho del poco espacio (algunas páginas de un artículo) que se requiere para conocer con buen nivel de precisión lo que a Kepler y a Galileo les tomó muchos años.

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Las aproximaciones de Teets y Whitehead (1998) y de Teets (2007), permitieron evidenciar de manera clara la aplicabilidad de las matemáticas en la astronomía y la manera en la que la astronomía requiere de las matemáticas, aspecto que resultó central para este proyecto.

En el trabajo de Ryden (1999) se sugiere que los estudiantes (de geometría y álgebra) de sus cursos comprenden los problemas propios de la astronomía relacionados con el método llamado parallax (paralaje en español), que se explica en el texto; que han determinado distancias astronómicas usándolo y que han realizado medidas específicas, en grupos de cuatro, de distancias dentro del salón, medidas afuera del aula (como una torre de agua o una antena telefónica) a manera de aplicación del método. Éste consiste en un proceso de triangulación para determinar distancias inaccesibles, que describe el fenómeno que ocurre cuando se pone el dedo en frente de la cara y alternamente se cierran de a uno los ojos, generando la sensación que el dedo se mueve respecto del fondo.

Para contextualizar el tema relacionado con las matemáticas para la astronomía, Ryden realiza un registro histórico de problemas de la historia (en tanto ofrece una explicación de los mismos), como la medida de la circunferencia de la Tierra por parte de Erastótenes; la medida de Aristaco de Samos del Sol a la Tierra y a la Luna; los periodos orbitales de los planetas y las distancias al Sol, por parte de Copérnico, en unidades

astronómicas (UA) y usando los periodos sinódicos, exponiendo los cálculos realizados por él, presentando algunos ejemplos con Marte, Venus y Júpiter; explica las leyes de Kepler, rebatiendo las circularidad de las órbitas planetarias, midiendo en varios puntos la posición de marte en su órbita; hace una exposición sobre la determinación de la ley universal de la gravitación por Newton partiendo de las tres leyes de Kepler y la manera en que derivó en

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la invención del cálculo (se explica la deducción de la aceleración de la caída de la Luna sobre la Tierra).

Durante este tratamiento Ryden aborda diversos conceptos astronómicos y establece una relación con las matemáticas. Por ejemplo explica los conceptos de periodo sideral (el tiempo requerido para que un planeta complete una órbita relativa a un estrella fija), el periodo sinódico (intervalo de tiempo entre un alineamiento entre el Sol, la Tierra y un planeta y el siguiente alineamiento equivalente) y el concepto de UA; nociones todas estas claves para el desarrollo de la presente investigación.

Un último ejemplo de este grupo de aproximación lo presentan Camino y Gangui (2012). Ellos pretenden orientar los procesos necesarios para determinar la latitud de un lugar con precisión y para lograrlo parten del supuesto de que la longitud y la orientación de la sombra producida por un gnomon depende de la hora del día y de la estación (o temporada en el trópico) del año, así como de la latitud del lugar donde se observa, que se convierte en el centro de su estudio. Aprovechan los equinoccios, pues en estas fechas los extremos de las sombras siguen una línea. Así, usando hilos y palos, calcularán la latitud, resultado de la medida de un ángulo fácilmente obtenible.

Una reflexión remarcable del trabajo de estos autores en su texto es que no existe sorpresa cuando a los estudiantes se les habla de la rotación terrestre y su relación con el día y la noche, pero sí cuando se les pide un modelo topocéntrico de observación para estudiar el Sol. Aspecto que sugirió un referente interesante para trabajar en el aula.

Dentro de los conceptos y procedimientos que abordan, estos autores explican el arco que sigue el sol no arbitrariamente en diferentes latitudes, la inclinación del plano que contiene a la Tierra y al Sol (plano de la eclíptica), las propiedades de los equinoccios (en marzo y en septiembre) y el concepto de proyección celeste local del Ecuador.

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Esta experiencia se implementó el 20 de marzo de 2009, en cinco lugares de Sur América con profesores de ciencias y física de secundaria y primaria y con profesores universitarios, generando debates relacionados con física y astronomía y cómo implementar este conocimiento en el aula. Terminan concluyendo que, a pesar de que aún hay mucho que hacer para que la astronomía se integre apropiadamente a los currículos, este tipo de actividades, que pueden articular experiencias universitarias y del colegio, son un beneficio para todos.