Simmons menciona que los argumentos diagonales directos e indirectos son aquellos que pueden servir para la construcción de teoremas. Él denomina a estos como argumentos diagonales buenos (Simmons, 1993, p. 26). Pero menciona además, que existen argumentos diagonales que no son ni indirectos ni directos8, los cuales denomina como argumentos diagonales malos (Simmons, 1993, pp. 26-27).
En el §3 del capítulo primero se advirtió la relación entre el argumento diagonal y la célebre paradoja de Russell. Como se apreció, Russell fue escéptico, al inicio, en la aceptación de la demostración de Cantor (ver p. 35-36). Sin embargo, en Los Principios de las Matemáticas, admite que el argumento de Cantor no posee falacia alguna. Así, menciona que al implementarse sobre totalidades, ―parece que la demostración de Cantor debe contener alguna hipótesis que no se cumple en el caso de estas clases‖ (Russell, 1903 p. 681). Según Simmons, Russell afirma que el argumento diagonal ―no parece contener ninguna hipótesis dudosa. Sin embargo, hay cierto casos en que la conclusión resulta aparentemente falsa‖ (Russell, 1903, p. 684). Russell revisa un número de tales casos (Russell, 1903, p. 684-685), incluyendo su propia paradoja, lo que conlleva a concluir que ―la aplicación del argumento de Cantor a los casos dudosos origina contradicciones, aunque no he podido encontrar ningún punto [dice Russell] en el que el argumento parezca falso‖ (Russell, 1903 p. 685). Lo casos a los que alude Russell son la paradoja de Richard, la paradoja heterológica y algunas otras paradojas tanto lógicas como semánticas. Como aprecia Russell, hay casos en lo que el argumento diagonal genera paradojas, pero también se ha visto que la diagonalización no solo es una herramienta para construir círculos viciosos, también se emplea en la demostración de teoremas: la no numerabilidad de los reales, el teorema de Cantor, el lema diagonal, el primer teorema de incompletez de Gödel, el lema de Kleene, la indefinibilidad de la verdad de Tarski y, muchos teoremas de teoría de la recursión. Para Simmons, los argumentos que generan paradojas son malos, mientras que los que permiten construir teoremas son argumentos diagonales buenos. Dicha denominación no es afortunada para expresar el poder que ejercen dichos argumentos en las matemáticas. Es por ello que los argumentos malos de Simmons se denominarán destructivos, en relación que se
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consideran nocivos para la fundamentación de las matemáticas; entretanto, los argumentos buenos se denominarán constructivos. Se está juzgando parcialmente el papel de los argumentos destructivos, pues es claro que las matemáticas avanzan gracias a los escollos que supera y, en este sentido, los ―monstruos‖ que generen los argumentos destructivos, no son tan perjudiciales como lo parecen a primera vista, pues en aras de explicarlos, se han constituido bases un poco más sólidas que aquellas en donde los ―monstruos‖ eran aceptados o ignorados.
Según Simmons, los argumentos directos e indirectos son ambos constructivos. Ello se aprecia cuando se determina por qué se genera un argumento destructivo. Por ejemplo, se ha observado en el §2 del presente capítulo que el resultado de Richard no es un argumento directo y por generar una paradoja, la clasificación de Simmons lo ubica inmediatamente como argumento destructivo. Que no sea directo se debe a que uno de los elementos que interviene en la diagonalización, el ―conjunto‖ E (el lado del arreglo) no está bien definido y, por tanto, no es un conjunto. Es claro que en un argumento diagonal, ya sea directo o indirecto, intervienen unos componentes que permiten que la diagonalización sea posible: el lado, la parte superior, el arreglo, la diagonal y, la sucesión antidiagonal. Tanto en los argumentos directos como indirectos, todos estos componentes están bien determinados. Entretanto, en los argumentos destructivos, al menos uno de ellos no está bien determinado. En el caso de la paradoja de Richard, el conjunto E; en la paradoja de Russell, el conjunto X de todos los conjuntos; en las paradojas de Cantor y Buralli-Forti, los conjuntos de todos los cardinales y ordinales. Se podría pensar que los argumentos destructivos pueden ser a la vez directos e indirectos y, por tanto, la categoría de clasificación destructivo/constructivo se puede cruzar con la categoría indirecto/directo. Pero ello no es posible por lo siguiente: los argumentos directos asumen de antemano que todos los componentes de la diagonalización (dados) están bien determinados, cosa que no ocurre con los argumentos destructivos, por tanto, no es posible hablar de un argumento directo- destructivo; los argumentos indirectos pueden aceptar componentes que no estén bien determinadas, pero ello se hace en aras de la contradicción: cuando se ha generado la contradicción, se pone en evidencia que alguno (o algunos) de los elementos no estaba bien definido. Mientras tanto, en un argumento destructivo, si uno de los componentes no está bien definido, no se asume ello en aras de una contradicción: el componente es
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dado, no asumido y, si surge una contradicción, genera una paradoja. Es necesario hacer hincapié en que el razonamiento en todos los argumentos es el mismo, lo único que varía son los presupuestos y si los componentes de la diagonalización están bien definidos. Simmons menciona que,
Ya que el razonamiento es válido, un argumento diagonal destructivo (malo) puede ser convertido en un argumento diagonal directo -solo es necesario reemplazar cualquier componente problemático por un conjunto apropiado bien definido. O podríamos ser capaces de transformar un argumento diagonal destructivo en un argumento diagonal indirecto; si podemos identificar el componente problemático, podemos hacer la
suposición de que existe para implementar una reducción al absurdo (Simmons, 1993, p. 29).
El caso del teorema de incompletez de Gödel, es una transformación del argumento destructivo de Richard en uno constructivo directo.
A pesar de la atención que tiene Simmons en dos categorías de clasificación, no es muy clara la diferencia entre las dos clasificaciones. Si se recurre a la clasificación sugerida entre argumentos directos e indirectos, relativa al uso de los teoremas 1c ó 2c, se puede advertir que los argumentos directos pueden ser constructivos o destructivos, pero los indirectos son eminentemente constructivos. Las paradojas expuestas (Russell, Richard, del mentiroso) son argumentos directos, pero también son nocivos por lo que son destructivos, mientras que los demás argumentos directos son constructivos. Si se cruza la categoría de clasificación directo/indirecto con la categoría constructivo/destructivo
no se obtienen cuatro clases, sino una tricotomía: un argumento puede ser directo- constructivo, directo-destructivo, o bien, indirecto-constructivo. Debido a que no se ha implementado el teorema 2c para construir paradojas, la clase indirecto-destructivo, está por fuera de la clasificación de todos los argumentos diagonales.