El arrastre exploratorio: Hacia la constitución de un ESU

Un problema ampliamente reconocido, sobre todo en los AGD y en relación con el arrastre, lo constituye la relación entre dibujo y figura, es decir, la falta de distinción entre el dibujo y el objeto geométrico representado.

El dibujo como objeto perceptible tiene la facultad de aludir, simbolizar e incluso representar al objeto geométrico. El objeto geométrico por su parte, es abstracto por naturaleza y su representación solo puede darse mentalmente aludiendo a la generalidad, como una relación de carácter geométrico.

En este sentido, LABORDE (1998) reconoce la figura como una relación compleja entre el dibujo y el objeto geométrico representado:

“… el dibujo puede ser considerado como un significante de un referente teórico (objeto de una teoría geométrica). La figura geométrica consiste en el emparejamiento de un referente dado con todos sus dibujos, queda entonces definida como el conjunto de pares formados por dos elementos: el referente y todos los dibujos posibles del referente.”

De esta concepción podemos asumir, por ejemplo, que un dibujo es un producto material, el cual se obtiene mediante procedimientos particulares; dichos procedimientos involucran conocimientos geométricos, los cuales son validados por determinada teoría en Geometría, es decir, las estrategias para producir dibujos corresponden a un sistema teórico determinado, aunque este no siempre esté dado de manera explícita.

Esta característica es vital para definir la naturaleza mediada de la figura geométrica y su relación con los dibujos en Cabri Géomètre, al respecto, LABORDE y CAPPONI (1994) argumentan que:

“Una figura no se refiere a un objeto sino a una infinidad de objetos. Lo que es invariante son las relaciones entre los objetos”.

Al reconocer el papel de las teorías en la producción de los dibujos, y el carácter eminentemente teórico y abstracto de la figura como objeto geométrico, podemos asumir la figura geométrica mediada por Cabri Géomètre como un sistema de relaciones invariantes, las cuales se “validan” en el ambiente, a partir del arrastre (validación situada): la figura no pierde sus propiedades así sea sometida parcial o totalmente al arrastre.

Como se puede apreciar en la Figura 4.4, donde el paralelogramo ABCD ha sido construido tomando en consideración conocimientos geométricos, de manera que al arrastrar los puntos B y D, éste no pierde sus propiedades. Por su parte, el cuadrilátero MNOP ha sido producido por efectos perceptivos, de manera que al arrastrar el punto O pierde las propiedades de paralelogramo.

Frente a un dibujo realizado en el ambiente Cabri Géomètre, el estudiante tiene un fuerte obstáculo cognitivo: ver más allá del dibujo y aproximarse a la figura geométrica, es decir, a las propiedades geométricas implícitas en el dibujo y que constituyen la figura geométrica.

FIGURA 3.4 El papel del arrastre y la exploración de propiedades

El proceso de producir un dibujo que represente un objeto geométrico mediado en el ambiente Cabri, tiene sus propias características; requiere comunicar al AGD una serie de peticiones, dicho proceso se realiza a partir de procedimientos que implícitamente conllevan determinadas propiedades geométricas, al obtener un resultado, como lo ejemplificado en la Figura 4.4, la gran dificultad para los estudiantes es interpretar lo que han obtenido.

Al respecto, LABORDE y CAPPONI (1994) insisten en los procesos de interpretación, y en el papel del profesor para movilizar conocimientos geométricos que le permitan al estudiante acercarse a la figura geométrica como constructo abstracto:

“Un dibujo geométrico no es necesariamente interpretado como un objeto geométrico, las interpretaciones de un objeto son múltiples tanto por las interpretaciones del lector y sus conocimientos, como por la naturaleza misma del dibujo, que por sí mismo no puede caracterizar un objeto geométrico”.

Es decir, el proceso didáctico se orienta a que el estudiante pueda superar el obstáculo cognitivo y le brinde la posibilidad de aproximarse a la figura geométrica, en términos de relaciones invariantes, posibilitando explicitar aquellas relaciones geométricas subyacentes, no solo respecto a un dibujo particular, sino a una familia de dibujos, o el universo de todos los posibles dibujos del objeto geométrico o referente (LABORDE y CAPPONI, 1994).

En este sentido, múltiples investigaciones, especialmente el trabajo de RESTREPO (2008), respecto al arrastre, han determinado el papel preponderante que éste tiene sobre los objetos de la pantalla. Tanto así, que para muchos investigadores, el arrastre se configura en una de las cualidades más determinantes para el dinamismo propio de los AGD.

Desde un punto de vista instrumental, podemos decir que el arrastre se constituye en un artefacto integrado a un sistema más complejo (el AGD), y dependiente de las posibilidades de la pantalla de un computador.

En este sentido, y recogiendo principalmente las ideas de MARIOTTI (2000 y 2003) en un ambiente como Cabri, el arrastre siempre va a estar vinculado a las restricciones impuestas a través de la construcción geométrica. De esta manera, el arrastre puede llegar a constituir un control teórico sobre la actividad de los estudiantes.

La potencialidad semiótica del arrastre se relaciona con una de sus principales características: la capacidad de activarse o desactivarse a petición del usuario sobre determinadas figuras en la pantalla. Lo que, desde la perspectiva instrumental, abre una amplia zona del valor funcional de arrastre como artefacto.

Esta posibilidad anudada a la naturaleza del arrastre sobre las figuras, realza la sensación del sujeto de poder “modificar” elementos de la figura, en términos de su generalidad; aspecto que vale la pena maximizar cuando se proponen situaciones en la que los estudiantes exploran propiedades al modificar las figuras e identificar invariantes.

De esta manera, el uso del arrastre, según MARIOTTI (2003), puede llevar a que los estudiantes identifiquen determinada “ausencia de libertad” al notar que su acción de “desplazarse sobre la pantalla” posee ciertas restricciones vinculadas a un control teórico.

Sin embargo, es de vital importancia reseñar que el arrastre ha sido objeto de múltiples investigaciones, y que producto de esto ha sido la creación de distintas tipologías como las de ARZARELLO, F., OLIVERO, F., PAOLA, D., y ROBUTTI, O. (2002), en las que se explicitan las posibles modalidades cognitivas atribuidas al arrastre, especialmente cuando interesan procesos de construcción de una demostración.

En este sentido, OLIVERO (2003) retoma una tipología de siete tipos de arrastre, de la cual, para efectos de nuestra secuencia didáctica se retomarán los siguientes:

 “Arrastre errante: el mover los puntos básicos en la pantalla de manera aleatoria, sin un plan, a fin de descubrir configuraciones o regularidades interesantes.

 Arrastre de borde: el mover un punto semi - arrastrable que ya está ligado a un objeto.

 Arrastre de lieu muet: el mover un punto básico de tal manera que la figura mantenga una propiedad descubierta; esto significa que está siguiendo una trayectoria oculta (lieu muet), incluso sin ser consciente de esto.”

Pero es RESTREPO (2008), quien hace un acercamiento que permite entender y concebir el arraste, o desplazamiento, como un instrumento de actividad matemática, y en este sentido, considerar las posibilidades y condiciones por las cuales el arrastre emerge, es decir, es elaborado por el sujeto a través de un proceso de génesis instrumental.

En esta perspectiva, el seguimiento a las génesis instrumentales permite identificar el paso de un desplazamiento sin intención matemática, a un desplazamiento exploratorio de propiedades (que ya contiene una intención matemática). Justamente, en el diseño de la secuencia didáctica propuesta en esta investigación, el arrastre exploratorio será considerado vital en relación con el arrastre errante, de borde o por un lugar oculto.

Al respecto, RESTREPO (2008) desarrolla la noción de arrastre exploratorio como aquel que posibilita tres actividades centrales:

“1. Déplacement pour identifier les invariants de la figure: étant donnée une construction, on déplace les points de base afin de trouver ses invariants. Ainsi, on peut identifier les propriétés géométriques de la figure.

2. Déplacement pour constater les variations au cours du mouvement :