Aviso acerca de la participación en el sistema de intercambio

Ta l mmata 2.4.3-2.5.3 (selÐdec 31-41) twn teqnik¸n apaloif c pou parousiˆsame sthn prohgoÔmenh enìthta, apoteloÔn tic genikèc peript¸seic apaloif¸n.

An basizìmastan mìno se autˆ ta l mmata, tìte oi apodeÐxeic twn gewmetrik¸n jewrhmˆtwn ja  tan polÔ megˆlec se èktash. Me skopì na mei¸soume thn èktash twn apodeÐxewn ja eisˆgoume tic teqnikèc apaloif c shmeÐwn se eidikèc peript¸seic.

Prin parousiˆsoume merikèc apì tic teqnikèc autèc eÐnai anˆgkh na shmei¸soume ìti prin proboÔme sthn efarmog  twn eidik¸n teqnik¸n a- paloif c prèpei pr¸ta na sulleqjoÔn apì tic kataskeuèc ìla ta suggram- mikˆ shmeÐa kai oi parˆllhlec eujeÐec, ètsi ¸ste na mporeÐ o algìrijmoc na efarmìsei tic teqnikèc autìmata. Gia ton skopì autì eisˆgoume èna ei- dikì sÔsthma, thn gewmetrik  bˆsh plhrofori¸n (GIB), h opoÐa basÐzetai sthn kataskeuastik  perigraf  thc prìtashc kai saf¸c emploutÐzetai me ìla ta suggrammikˆ shmeÐa kai tic parˆllhlec eujeÐec pou perièqei h prì- tash. To (GIB) eÐnai èna polÔ isqurì sÔsthma sthn autìmath paragwg  gewmetrik¸n protˆsewn.

∗ Eidikèc peript¸seic tou l mmatoc 2.4.14 (selÐda 37).

An Γ = SABY kai K=(INT ER Y (LINE P Q)(LINE U V ))

P Q V U Y A B U Y V P Q A P Q U Y A V Y U V P Q A B B B P Y Q U V A B Sq ma 2.36:

Apìdeixh: AfoÔ to Y brÐsketai pˆnw sthn UV tìte AB k UY ˆra apì thn prìtash B.4 (selÐda 15) isqÔei SABY = SABU.

PERIPTWSH 2. An AB k P Q tìte SABY = SABP.

Apìdeixh: 'Omoia me thn perÐptwsh 1.

PERIPTWSH 3. An U, V, A suggrammikˆ tìte SABY = SU BV_{SU P V Q}SAP Q.

Apìdeixh: PaÐrnoume ton lìgo SABY

SU BV. AfoÔ ta U, V, A eÐnai suggram-

mikˆ apì thn prìtash B.1 (selÐda 13)ja èqoume SABY

SU BV =

AY

U V kai tèloc apì

to l mma 2.4.7 (selÐda 33) èqoume ìti AY U V =

SAP Q

SU V P Q. H zhtoÔmenh sqèsh

plèon eÐnai emfan c.

PERIPTWSH 4. An U, V, B suggrammikˆ tìte SABY = SAU V_{SU P V Q}SBP Q.

Apìdeixh: 'Omoia me thn perÐptwsh 3.

PERIPTWSH 5. An P, Q, A suggrammikˆ tìte SABY = SP BQ_{SP U QV}SAU V.

Apìdeixh: PaÐrnoume ton lìgo SABY

SP BQ. AfoÔ ta P, Q, A eÐnai suggram-

mikˆ apì thn prìtash B.1 (selÐda 13)ja èqoume SABY

SP BQ =

Y A

to l mma 2.4.7 (selÐda 33) èqoume ìti Y A U V =

SAU V

SP U QV. H zhtoÔmenh sqèsh

plèon eÐnai emfan c.

PERIPTWSH 6. An P, Q, B suggrammikˆ tìte SABY = SAP Q_{SP U QV}SBU V.

Apìdeixh: AkoloujoÔme thn Ðdia diadikasÐa me thn perÐptwsh 5.

PERIPTWSH 7. An to U   to V brÐskontai pˆnw sthn AB tìte SABY = SU P QSABV_{SU P V Q}−SV P QSABU.

Apìdeixh: An U brÐsketai pˆnw sthn AB tìte apì thn prìtash B.3 (selÐda 15) paÐrnoume: SABY = V Y_{U V}SABU + Y U_{U V}SABV. 'Omwc apì prìtash

B.2 (selÐda 14) èqoume: U Y U V = SU P Q SU P V Q V Y UV = SV P Q SU P V Q

PERIPTWSH 8. Se kˆje ˆllh perÐptwsh SABY = SP U VSABQ_{SU P V Q}+SQV USABP

Genik  perÐptwsh (bl. apìdeixh l mmatoc 2.4.14).

∗ Eidikèc peript¸seic tou l mmatoc 2.4.15 (selÐda 37).

An Γ = SABY kai K=(INT ER Y (LINE U V )(P LINE R P Q))

R P Q Y U V A B A _B P Q R U V Y A Y U V R P Q B R Y U V A B P Q S Sq ma 2.37:

Apìdeixh: AfoÔ to Y brÐsketai pˆnw sthn UV tìte AB k UY ˆra apì thn prìtash B.4 (selÐda 15) isqÔei SABY = SABU.

PERIPTWSH 2. An AB k P Q tìte SABY = SABR.

Apìdeixh: AfoÔ to Y brÐsketai pˆnw sthn eujeÐa R kai AB k P Q tìte RY k AB_{. Opìte apì thn prìtash B.4 (selÐda 15) isqÔei S}ABY = SABU.

PERIPTWSH 3. An U, V, A suggrammikˆ tìte SABY = SU BV_{SU P V Q}SAP RQ.

Apìdeixh: PaÐrnoume ton lìgo SABY

SU BV. AfoÔ ta U, V, A eÐnai suggram-

mikˆ apì thn prìtash B.1 (selÐda 13) èqoume SABY

SU BV =

AY

U V kai tèloc apì

to l mma 2.4.8 (selÐda 34) èqoume ìti AY U V =

SAP RQ

SU P V Q. H zhtoÔmenh sqèsh

plèon eÐnai emfan c.

PERIPTWSH 4. An U, V, B suggrammikˆ tìte SABY = SAU V_{SU P V Q}SBP RQ.

Apìdeixh: 'Omoia me thn perÐptwsh 3.

PERIPTWSH 5. An AY k P Q tìte SABY = SBQRP_{SP U QV}SAU V.

Apìdeixh: PaÐrnoume RS = P Q sunep¸c to SRP Q eÐnai parallhlì- grammo. Apì thn prìtash B.5 (selÐda 16 èqoume SBQRP = SBQP−SRQP =

SBRS. PaÐrnoume ton lìgo S_SABY_BRS, sÔmfwna me thn prìtash B.1 (selÐda

13) èqoume SABY

SBRS =

AY

RS. Tèloc apì to l mma 2.4.8 (selÐda 34) èqoume ìti Y A RS = SAU V SRU SV = SAU V SP U QV.

PERIPTWSH 6. An BY k P Q tìte SABY = SAP RQ_{SP U QV}SBU V.

Apìdeixh: AkoloujoÔme thn Ðdia diadikasÐa me thn perÐptwsh 5.

PERIPTWSH 7. Se kˆje ˆllh perÐptwsh SABY = SP U QRSABV_{SP U QV}+SP RQVSABU

∗ Eidikèc peript¸seic tou l mmatoc 2.4.16 (selÐda 38). R W P Q U V Y B A R A B P Q Y W U V U V Y W P Q A R _S B Sq ma 2.38:

An Γ = SABY kai K=(INT ER Y (LINE R P Q)(P LINE W U V ))

PERIPTWSH 1. An AB k UV tìte SABY = SABW.

Apìdeixh: AfoÔ to Y brÐsketai pˆnw sthn UV kai AB k UV tìte W Y k AB. 'Ara apì thn prìtash B.4 (selÐda 15) isqÔei SABY = SABW.

PERIPTWSH 2. An AB k P Q tìte SABY = SABR.

Apìdeixh: AfoÔ to Y brÐsketai pˆnw sthn eujeÐa R kai AB k P Q tìte RY k AB. Opìte apì thn prìtash B.4 (selÐda 15) isqÔei SABY = SABU.

PERIPTWSH 3. An AY k P Q tìte SABY = SAU W V_{SP U QV}SBQRP.

Apìdeixh: PaÐrnoume RS = P Q sunep¸c to SRP Q eÐnai parallhlì- grammo. Apì thn prìtash B.5 (selÐda 16) èqoume SBQRP = SBQP −

SRQP = SBRS. PaÐrnoume ton lìgo S_SABY_BRS, sÔmfwna me thn prìtash B.1

(selÐda 13) èqoume SABY

SBRS =

AY

RS. Tèloc apì to l mma 2.4.9 (selÐda 34)

èqoume ìti Y A RS = SAU W V SRU SV = SAU V SP U QV.

Apìdeixh: 'Omoia me thn perÐptwsh 3.

PERIPTWSH 5. An AY k UV tìte SABY = SBV W U_{SU P V Q}SAP RQ.

Apìdeixh: 'Omoia me thn perÐptwsh 3.

PERIPTWSH 6. An BY k UV tìte SABY = SAU W V_{SU P V Q}SBP RQ.

Apìdeixh: AkoloujoÔme thn Ðdia diadikasÐa me thn perÐptwsh 3.

PERIPTWSH 7. Se kˆje ˆllh perÐptwsh SABY = SP W QR_{SP U QV}SAU BV +SABW

Genik  perÐptwsh (bl. apìdeixh l mmatoc 2.4.16). EFARMOGH TOU SUSTHMATOS GIB.

PARADEIGMA

'Estw duo parˆllhlec eujeÐec AB kai CD. 'Estw P to shmeÐo tom c twn eujei¸n AC kai BD. 'Estw Q to shmeÐo tom c twn eujei¸n AD kai BC. 'Estw M to shmeÐo tom c twn eujei¸n P Q kai AB. IsqÔei ìti to shmeÐo M eÐnai mèson thc AB.

DIATUPWSH

K1 : (P OIN T S A B P ): 'Estw trÐa aujaÐreta shmeÐa A, B, P

K2 : (ON − LINE C A P ): 'Estw C shmeÐo pˆnw sthn eujeÐa AP .

K3 : (INT ER D (LIN E B P )(P LINE C A B)): 'Estw D to shmeÐo

tom c thc eujeÐac BP kai thc eujeÐac pou pernˆ apì to shmeÐo C kai eÐnai parˆllhlh sthn AB.

K4 : (INT ER Q (LINE A D)(LINE B C)): 'Estw Q to shmeÐo tom c

K5 : (INT ER M (LIN E A B)(LIN E P Q)): 'Estw M to shmeÐo tom -

c twn eujei¸n AB kai P Q. S: IsqÔei: AM = BM.

Sullog  ìlwn twn suggrammik¸n shmeÐwn kai twn parˆllhlwn eujei¸n:

(M, P, Q)(Q, A, D)(Q, B, C)(M, A, B)(D, P, B)(C, A, P ) kai DC k MAB.

ALGORIJMOS

BHMA 1. Gia kajèna apì ta shmeÐa, me thn akìloujh seirˆ, M, Q, D, C, P, B, A ekteloÔme ta parakˆtw b mata.

BHMA 2. 'Elegqoc perioristik¸n sunjhk¸n twn parapˆnw kataskeu¸n: AD ∦ BC, AB ∦ P Q kai A 6= P , B 6= M. .

BHMA 3. Metaforˆ ìlwn twn gewmetrik¸n posot twn sto pr¸to mèloc.

'Etsi èqoume: G1 = −AM_BM = 1 kai ektel¸ ta parakˆtw b mata.

BHMA 4. Apaloif  bohjhtik¸n shmeÐwn apì thn G1.

(Apaloif  shmeÐou M, qrhsimopoioÔme thn prìtash B.2 (selÐda 14) )

(AM BM = SAP Q SBP Q) −AM BM = − SAP Q SBP Q

(Apaloif  shmeÐou Q, qrhsimopoioÔme thn trÐth kai thn èkth eidik  perÐptwsh teqn. apaloif c tou l mmatoc 2.4.14 (selÐda 37) )

= −SAP DSABC(−SABDC)

(−SBP CSABD)SABDC =

−SAP DSABC

SBP CSABD

(Apaloif  shmeÐou D, qrhsimopoioÔme thn pr¸th kai thn tètarth eidik  perÐptwsh teqn. apaloif c tou l mmatoc 2.4.15 (selÐda 37) )

(SABD = SABC, SAP D = SABP_{SBAP B}SP ACB = −SP ACB, SP ACB = SP AC +

SP CB = SBP C, epeid  (C, A, P ) suggrammikˆ)

= −SBP CSABC

−SBP CSABC

BHMA 5. Nèec gewmetrikèc posìthtec apoteloÔmenec apì anexˆrthtec metablhtèc - aplopoi seic.

=1.