Bases de Control en Modo Deslizante

Como bien se conoce, los convertidores conmutados se modelan como sistemas de estructura variable, en los cuales la transferencia de la energía almacenada por sus ele- mentos es transferida a la salida de forma cíclica, cambiando a su vez la configuración topológica sucesivamente. Es decir, si un convertidor conmutado es controlado por una

única señal de control binaria, el convertidor es lineal con respecto a cada estado de la se- ñal de control. Por lo tanto, el convertidor se puede modelar como (3.2), donde la variable

xrepresenta el vector de estado del convertidor, siendo la señal de controludiscontinua

que toma valores cero o uno, siendo los puntos de transición los que corresponden a los puntos de discontinuidad y por tanto a los cambios de estructura del convertidor.

˙

x=f(x) +g(x)·u (3.2)

Los convertidores conmutados pueden ser controlados por técnicas de control lineal. Una vez modelado dinámicamente en pequeña señal en torno a un punto de equilibrio se diseña el controlador. Sin embargo, si se aplican grandes perturbaciones de linea (entra- da) o de carga, el sistema puede ser alejado bruscamente del punto de equilibrio, perdien- do la controlabilidad del sistema [Martinez-Salamero et al., 2009]. Además, la utilización de PWM, implica la necesidad de una portadora triangular de alta frecuencia, que in- teractúa con una señal continua para activar el interruptor. Por lo tanto, con la idea de mitigar la influencia de grandes perturbaciones, tanto en la entrada como en la salida, se han propuesto técnicas de control no-lineales, como lo es el control en modo de desliza- miento.

Controlar un convertidor utilizando modo deslizante conduce a una respuesta transi- toria rápida, reduce un orden la dinámica, y al mismo tiempo garantiza una sensibilidad muy baja ante perturbaciones externas. Por otro lado, en este método la señal de activa- ción del interruptor es una señal continua que toma dos valores{0,1_}en función de los estados del convertidor expresados mediante las correspondientes ecuaciones diferencia- les. El diseño del controlador en modos deslizantes se realiza en dos fases. En la primera se escoge una superficie de control que proporciona el comportamiento asintótico desea- do cuando la dinámica del convertidor se ve forzada a evolucionar sobre la misma. En la segunda fase se diseña el circuito de realimentación que dirige la dinámica del converti- dor hacia la superficie y la mantiene sobre ella. La posible existencia del modo deslizante en un convertidor conmutado se puede encontrar mediante el método de Lyapunov, nor- malmente para sistemas de una sola entrada, o mediante el método de Filippov y el in- mediato corolario propuesto por Utkin [Utkin, 1978] [Utkin, 1993], [Sira-Ramirez, 1987] conocido comúnmente como la técnica del control equivalente, que puede ser fácilmente aplicado en sistemas de varias entradas y salidas [Martinez-Salamero et al., 2010].

3.1 Resistor Libre de Pérdidas basado en Control en Modo Deslizante 39 3.1.2.1. Método del control equivalente

El método del control equivalente es un procedimiento que permite obtener las con- diciones de existencia, y la dinámica ideal del sistema, a través de la sustitución de la expresión analítica del control equivalente en la expresión de la variable de control del modelo conmutado. Es decir, si un convertidor conmutado es controlado por una señal

u _{∈ {}0,1_}, es posible expresar el sistema para los estados lineales de conmutación como

˙

x=A1x+B1 ⇒ u= 1

˙

x=A2x+B2 ⇒ u= 0

(3.3) Si se expresa (3.3) en forma compacta, se obtiene la ecuación bilineal que describe el comportamiento del sistema para todo tiempo, como

˙ x = f(x, u) = (A1x+B1)u+ (A2x+B2)(1−u) ˙ x = A2x+B2+ [(A1−A2)x+ (B1−B2)]u ˙ x = (Ax+δ) + (Bx+γ)u (3.4)

dondeA = A2, δ = B2,B = (A1 −A2) yγ = (B1 −B2). La ley de control aplicada al

sistema, se define como

u=    0 si S(x)>0 1 si S(x)<0 (3.5)

donde la funciónS(x)representa la superficie de conmutación seleccionada para contro- lar el sistema. Existen modos deslizantes si las proyecciones de los campos vectoriales pertenecientes a S(x)y a su derivada temporal tienen signos opuestos y apuntan hacia

la superficie. Estas condiciones de existencia se pueden expresar como

dS(x)

dt <0 si u= 0

dS(x)

dt >0 si u= 1

(3.6)

de tal manera que S(x) _· S˙(x) < 0. El conjunto de todos los puntos de S(x) donde se cumpla (3.6) se definirá como una región de deslizamiento. Por otra parte, la diná- mica ideal de deslizamiento se define y caracteriza por las condiciones de invarianza [Utkin et al., 2009], [Cid-Pastor et al., 2011], [Martinez-Salamero et al., 2013], expresadas por :

S(x) = 0

dS(x)

dt = 0

(3.7) Finalmente, el control equivalente, expresado en (3.9), se obtiene a partir de las con- diciones de invarianza, igualando a cero la primera derivada temporal deS(x), como se expresa en (3.8). La ecuación del control equivalente, expresa una función continua, que fuerza la trayectoria del sistema hacia la superficie definida porS(x).

dS(x) dt =h∇S(x), f(x, ueq)i=h∇s(x),(Ax+δ) + (Bx+γ)·ueqi= 0 (3.8) ueq=₋h∇S(x), Ax+δi h∇S(x), Bx+γ_i (3.9) donde∇S(x) = ∂S(x) ∂x · ∂x ∂t.

De la ecuación del control equivalente, (3.9), se desprende una de las condiciones definidas como necesarias para la existencia del régimen deslizante sobre la superficie

S(x), es decir, la condición de tranversalidad, que condiciona la existencia del control

equivalente, definida comoh∇S(x), Bx+γi 6= 0.

Finalmente, la dinámica deslizante ideal se obtiene al sustituir el control equivalente en las ecuaciones del sistema original (3.4), asignando además las condiciones iniciales sobre la región de deslizamiento [Martinez-Salamero et al., 2009] [Calvente C., 2001].

3.1.2.2. Control en modo deslizante con frecuencia de conmutación finita

La ley de control expresada en (3.5), no es físicamente realizable, ya que implicaría una frecuencia de conmutación infinita sobre la superficieS(x). Con lo cual se utiliza la lógica de conmutación siguiente

u=    0 si S(x)>∆ 1 si S(x)<₋∆ (3.10)

donde∆ es una constante positiva y representa el entorno de la superficie por donde el sistema opera en régimen deslizante, denominado "boundary layer". Con esta ley de control, la frecuencia de conmutación en modo deslizante puede ser finita.

Es posible observar que u no esta definido cuando |S(x)| < ∆, esto deja abierta la

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tenía la última vez que_|S_|fue igual a∆. Se dice en ese caso que el control tiene histéresis

[Calvente C., 2001].