Drazin
Sea Run anillo asociativo con unidad e6= 0.
En [29, (1958)], M. P. Drazin, introduce el concepto de inversa de Drazin en el marco de un anillo o semigrupo:
Un elementox∈R se dice que es pseudo-invertible (en R), si existe un elemento c∈R satisfaciendo
cx=xc, x−x2ces nilpotente en R y c=c2x.
Esta pseudo-inversa es, generalmente, llamada inversa de Drazin cl´asica o con- vencional. Se observa que la condici´on x−x2c es nilpotente es equivalente a decir que xm =xm+1c para alg´un entero positivo m. El entero m´as peque˜no que verifica la condici´on anterior se denomina ´ındice de x.
Un elemento a∈ R es llamado polar si existe un elemento idempotente p∈R tal que,
pa=ap, ap es nilpotente en R y a+p es invertible en R.
Cualquier elemento p que satisfaga estas condiciones es denominado unespectro idempotente de a. Todo elemento polar tiene un ´unico espectro idempotente. Los elementos polares son los Drazin invertibles seg´un la definici´on dada por Drazin.
6 1. Introducci´on
Llamamos B(X) al conjunto de todos operadores lineales y acotados definidos sobre un espacio de Banach complejo X. En [8, (1974)], S. R. Caradus prueba que un operador T ∈ B(X), tiene inversa de Drazin, con ´ındice de Drazin igual a k≥1, si y s´olo si el operador resolvente R(λ;T) tiene un polo de orden k en λ = 0 y, en [7, (1978)], estudia la inversa de Drazin cl´asica en B(X).
En [4, (1979)], S. L. Campbell y C. D. Meyer, desarrollan e investigan la inversa de Drazin convencional para matrices cuadradas complejas.
Si A ∈Cm×n, obviamente, la definici´on de la inversa de Drazin cl´asica definida en el contexto de un anillo no puede ser aplicada a matrices rectangulares.
R. E. Cline y T. N. E. Greville, en [25, (1980)], definen la inversa de Drazin de una matriz rectangular A∈Cm×n, usando una matriz auxiliar W ∈Cn×m:
Sean A y W matrices rectangulares de dimensiones adecuadas. Se dice que X es la W-Drazin inversa de A si
AW X =XW A, XW AW X =X y AW−(AW)2XW es nilpotente. En [74, (1981)], S. Qiao, extiende la W-Drazin inversa a la teor´ıa de operadores lineales y acotados definidos entre espacios de Banach complejos distintos.
Un operador T ∈ B(X) es cuasipolar si el 0 no es un punto de acumulaci´on del espectro de T y polar si el 0 es un polo de la resolvente de T.
R. E. Harte, en [34, (1984)], introduce la inversa de Drazin para operadores cuasipolares haciendo referencia a la inversa de Drazin para operadores polares. Tambi´en, en [36, (1988)], investiga los elementos cuasipolares de un ´algebra normada general.
En [35, (1991)], R. E. Harte introduce el concepto de elemento cuasipolar en un anillo y su inversa de Drazin, que denominaremos g-Drazin inversa.
As´ı mismo, define los elementos cuasinilpotentesacomo aquellos tales quee−xa es invertible en R, para todo x que conmuta con a. Esta definici´on est´a asociada a la noci´on de elemento cuasipolar. Denotamos por comm2(a) al conjunto de todos los elementos que conmutan con cualquier elemento que conmute con a:
Un elemento a∈R es cuasipolar si existe un elementob ∈R tal que, b∈comm2(a), ab= (ab)2 y a−a2b es cuasinilpotente en R. Un elemento b que satisfaga las condiciones anteriores y adem´asb =ab2 es llamado g-Drazin inversa de a.
1. Introducci´on 7
Los elementos cuasipolares en un anillo se pueden caracterizar de la siguiente forma:
Un elemento a ∈ R es cuasipolar si y s´olo si existe un elemento idem- potente p∈R tal que,
p∈comm2(a), ap es cuasinilpotente en R y a+p es invertible en R. Los elementos cuasipolares en anillos y ´algebras de Banach, y los operadores en
B(X) cuasipolares ser´an los elementos g-Drazin invertibles y operadores g-Drazin invertibles, respectivamente.
En [72, (1992)], M. Z. Nashed e Y. Zhao extienden la inversa de Drazin conven- cional a operadores lineales y cerrados:
Un operador lineal y cerrado T es Drazin invertible si y s´olo si el 0 es un polo de la resolvente de T.
J. J. Koliha, en [48, (1996)], introduce la g-Drazin inversa para elementos de un ´algebra de Banach unitaria, B:
Un elemento a∈B es g-Drazin invertible si existe un b∈R tal que, ab=ba, b=ab2 y a−a2b es cuasinilpotente en B. El elemento b es la g-Drazin inversa de a.
En [57, (2001)], J. J. Koliha y T. D. Tran, definen la g-Drazin inversa de un operador cerradoT en un espacio de Banach en el caso que el 0 sea un punto aislado del espectro de T.
Recientemente, A. Daji´c y J. J. Koliha, [26], han extendido el concepto de g- Drazin inversa a operadores lineales acotados entre espacios de Banach distintos, W-g-Drazin inversa.
Cap´ıtulo 2
La inversa de Drazin. Definiciones
y resultados
2.1.
Introducci´on
En este cap´ıtulo se expondr´an los principales conceptos y propiedades acerca de la inversa de Drazin de matrices cuadradas.
En la Secci´on 2.2 se introducir´a la noci´on de ´ındice y las definiciones funcional y algebraica de la inversa de Drazin. Se dar´an dos representaciones de una matriz singular: la descomposici´on core-nilpotente y la descomposici´on ´ındice 1-nilpotente, que ser´an de gran utilidad en los estudios posteriores.
En la Secci´on 2.3 se dar´an algunas propiedades b´asicas de la inversa de Drazin y de su caso especial, el Grupo inverso. Tambi´en se introducir´an las matrices EP.
En la Secci´on 2.4 se definir´a el concepto de proyecci´on espectral de una matriz correspondiente al autovalor 0 y se ver´a su relaci´on con la inversa de Drazin. Tambi´en se dar´a una caracterizaci´on de la proyecci´on espectral y varias de la equivalencias de [16, Theorem 2.1], donde se caracterizaban las matrices con igual proyecci´on espectral, entre otros resultados previos.
La Secci´on 2.6 recoger´a varias representaciones de la inversa de Drazin, y del Grupo inverso, de una matriz por bloques.
Se finalizar´a este cap´ıtulo dando una aplicaci´on de la inversa de Drazin a la resoluci´on de sistemas singulares.